Trường ĐH Sư phạm kĩ thuật TP HCM
Khoa KHCB-Bộ môn Toán

Đề thi môn Toán cao cấp A1 (MATH130101)
Ngày thi: 15/8/2014
Thời gian: 90 phút

Câu I (3.5 điểm)
1. Cho số phức z =
2. Cho hàm số

√
1+i
√ . Tính z 2016 và 5 z.
1 − 3i

 x · ln(3x + 1)
f (x) =
ex2 − 1
3 cos x + x

khi x > 0
khi x ≤ 0

a. Khảo sát sự liên tục của hàm f (x) tại x = 0.
b. Tính f (1).
Câu II (1.5 điểm)
√
Khảo sát và vẽ đường cong r = 3 + 2 sin φ trong tọa độ cực.
Câu III (2.0 điểm)
1. Tính tích phân suy rộng I =

n +n
3. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) tuần hoàn với chu kì T = 2π và được xác định bởi
1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

+∞
n=1

f (x) =

3
0

khi0 < x < 3π
2
khi 3π
≤
x
≤ 2π
2

1


ĐÁP ÁN
Câu
I

Ý
1


(ex

−1

Với x > 0, f (x) =

1

(ln 4+ 34 )(e−1)−2e ln 4
f (1) =
(e−1)2
TXĐ: R, T = 2π
2 cos φ
, r = 0 ⇔ φ = π2 , 3π
r = √
2
2 3 + 2 sin φ
3 + 2 sin φ
tan w =
, tan w = ∞ ⇔ φ = π2 , 3π
2
cos φ
φ
0
π/2
3π/2
r
+
0
0


(ex2 −1 )2

0.25
0.25
0.5
0.25
2π
+

√

3

√
2−a
√
(2t2 − 4)
2
√
3
2−a
2t
√
−
4t
|
3
2


+∞
dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
1
5
x −x+3
n+1
√
n
limn→+∞ n un = limn→+∞ n+1
= 1e < 1
n
limn→+∞ aan+1

0.25
0.25
0.25
0.25

) − 2x2 · ex · ln(3x + 1)

2b

Câu II

Câu IV

0.5

với k = 0, 1, 2, 3, 4
2

đan dấu, 2
giảm và → 0 khi n → +∞
Tại x = 1, n=1 2
n +n
n +n
nên hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
1
1
1
+∞
Tại x = −1, n=1 2
có 2
∼ 2 hi n → +∞,
n +n
n +n
n
1
+∞ 1
+∞
hội tụ
n=1 2 hội tụ nên
n=1 2
n
n +n
Vậy miền hội tụ là [−1, 1].
1 3π/2
3x 3π/2
9
1 2π
f (x)dx =

2π
bn = π1 0 f (x) sin(nx)dx, n ≥ 1
3nπ
3π/2
3π/2
bn = π1 0
3 sin(nx)dx = −3
= −3
cos
−1
nπ cos(nx) |0
nπ
2
a0
+∞
x = 3π/2 + 2kπ, 2kπ: f (x) =
+ n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)]
2
x = 3π/2 + 2kπ, 2kπ, S(x) = 3/2

2

0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25