ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
———————————————

LÊ SỸ HIẾU

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CHO
HỌC SINH THCS TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 9
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. BÙI THỊ HẠNH LÂM

THÁI NGUYÊN - 2016


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam. Tôi
cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Thái nguyên, 18 tháng 4 năm 2016
Tác giả Luận văn

Lê Sỹ Hiếu



Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Danh mục kí hiệu viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Danh mục các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN . . . . . . . . . . . 5
1.1. Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Khái niệm kỹ năng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Phân loại kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Khái niệm chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Cấu trúc của chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3. Phân tích một chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4. Các yêu cầu của chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5. Phân loại chứng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Kỹ năng chứng minh toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học đối
với GV và HS THCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1. Đối với GV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2. Đối với HS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


3.3.2. Đánh giá định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

95
95
95
95
96
96
96
96
99
99
99
100
101
101
104


Danh mục các từ viết tắt
Viết tắt
GV
HS
SBT

1.5

Cảm nhận của HS trong giờ Hình học . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6

Khó khăn đối với bài toán chứng minh Hình học . . . . . . . . 34

3.1

Điểm bài kiểm tra số 1 lớp thử nghiệm 9B . . . . . . . . . . . 98

3.2

Điểm bài kiểm tra số 1 lớp đối chứng 9A . . . . . . . . . . . . 98

3.3

Điểm bài kiểm tra số 1 lớp đối chứng 9C . . . . . . . . . . . . 98

3.4

Điểm bài kiểm tra số 2 lớp thử nghiệm 9B . . . . . . . . . . . 100

3.5

Điểm bài kiểm tra số 2 lớp 9A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6


hình học. Riêng hình học là một phân môn rất khó với lứa tuổi HS THCS
1


vì tính trừu tượng của hình học khá cao. Ở cấp học này, hình học suy
diễn đã thay thế hình học quy nạp - thực nghiệm. Thực trạng hiện nay
cho thấy phần lớn HS hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trong việc học
tập hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên
đề,. . . đến kỹ năng, kỹ xảo hoàn thiện các lập luận, suy luận.
Trong chương trình hình học THCS nói chung và Hình học 9 nói
riêng toán chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu đối với GV là hướng
dẫn HS tìm cách chứng minh bài toán chứ không phải là giúp HS có được
lời giải cho bài toán. Thông qua việc hướng dẫn của GV giúp HS đúc kết
được phương pháp chứng minh, tiến tới đó là đúc kết được phương pháp
học tập bộ môn Hình học.
Đối với các dạng toán chứng minh hình học, các em thường không
có kỹ năng phân tích đề bài, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng phân tích để tìm
hướng chứng minh. Khi gặp các bài toán chứng minh hình học các em
không biết bắt đầu từ đâu, giải quyết bằng cách nào cho đúng. Chính vì
vậy việc rèn luyện cho HS hình thành và phát triển tư duy hình học, có
kỹ năng chứng minh thành thạo một số bài toán chứng minh hình học
cơ bản từ đó có khả năng khám phá những bài toán nâng cao là một yêu
cầu cơ bản đối với việc giảng dạy hình học ở bậc THCS.
Xuất phát từ tầm quan trọng của bộ môn Hình học 9 và tình hình
thực tế của nhà trường, yêu cầu đổi mới phương pháp dạy và học của Bộ
Giáo dục và Đào tạo, với mong muốn giúp HS học tốt hơn bộ môn Hình
học để có được nền tảng vững chắc cho những năm học sau, đặc biệt giúp
HS có được kỹ năng trong các dạng toán chứng minh hình học 9 nên tôi
chọn đề tài:
“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CHO HỌC SINH



- Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, tài liệu liên
quan đến dạy học chứng minh và chứng minh định lý, chứng minh một
bài toán.
- Nghiên cứu SGK, sách giáo viên và SBT Toán lớp 9.
- Tìm hiểu về sách báo, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài.
5.2. Phương pháp điều tra phỏng vấn
- Khảo sát điều tra nhằm tìm hiểu thực trạng kỹ năng chứng minh hình
học của HS lớp 9 THCS.
- Dự giờ GV dạy Toán nhằm tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ năng chứng
minh trong dạy học hình học cho HS lớp 9 THCS.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức dạy thực nghiệm để bước đầu đánh giá hiệu quả và tính
khả thi của một số biện pháp sư phạm đã đề xuất.
6. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng
chứng minh hình học cho HS lớp 9 và thực hiện chúng một cách hợp lý
thì sẽ góp phần phát triển năng lực chứng minh hình học cho HS lớp 9
nói riêng và cho HS THCS nói chung.
7. Cấu trúc của luận văn
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng chứng minh cho
học sinh THCS trong dạy học hình học lớp 9.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Kết luận
Tài liệu tham khảo
4


động, có kỹ năng.
b. Quan điểm 2: Kỹ năng được xem xét dưới góc độ năng lực hành động
của con người. Một số tác giả theo quan điểm 2: Vũ Dũng, Nguyễn Quang
Uẩn, A.V Petrovski, K.K. Platônôv, N.D.Lêvitôv, G.G. Gôbulev,. . .
Theo Từ điển Tiếng việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [14,tr.426]
Theo từ điển Tâm lý học do Vũ Dũng chủ biên: “Kỹ năng là năng
lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ
thể lĩnh hội để thực hiện nhiệm vụ tương ứng” [6, tr.132].
A.V Petrovski cho rằng: “Năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức
hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc
tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
hay lý luận hay thực hành xác định, gọi là kỹ năng” [2, tr.149].
Ngoài ra còn có một số quan điểm khác về kỹ năng của các nhà tâm
lý học. Chẳng hạn, K.K. Platônôv cho rằng “Cơ sở tâm lý của kỹ năng
là sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và
phương thức hành động”[9, tr.77], N.D.Lêvitôv quan niệm “Kỹ năng là sự
thực hiện có kết quả một động tác hay một hoạt động phức tạp bằng cách
lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn có tính đến những điều
kiện của nó”[10, tr3], G.G. Gôbulev nhấn mạnh “Kỹ năng là năng lực của
con người thực hiện hành động có kết quả với một chất lượng nhất định
trong những điều kiện khác nhau”[9, tr12],. . .
Theo quan điểm thứ hai, các tác giả đều chú trọng tới mặt kết quả
của hành động.

6


Dù xét theo quan điểm nào thì khái niệm kỹ năng ở mỗi quan điểm
đều không hề phủ định lẫn nhau. Sự khác biệt của hai quan điểm trên là

cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng,
vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động.
- Qua đặc điểm và vị trí của kỹ năng trên, ta thấy kỹ năng giải toán
cũng phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng,
phương pháp), do đó nói kỹ năng giải toán không thể tách rời với phương
pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng đó.
Để hiểu rõ về kỹ năng ta cần phân biệt khái niệm kỹ năng và kỹ
xảo. Kỹ năng và kỹ xảo đều là cách thức của hành động, là thành phần
không thể thiếu của hành động, song giữa chúng có những khác biệt sau
đây:

Bảng 1.1: Bảng so sánh kỹ năng và kỹ xảo
Tiêu chí so sánh

Kỹ năng

Kỹ xảo

Cao

Thấp, máy móc, khuôn mẫu

Có sự tham gia của ý thức

Ý thức được giải phóng

Có sau

Có trước


thể với môi trường. Phản xạ mang tính thụ động. Kỹ năng là phản ứng
có ý thức và hoàn toàn mang tính chủ động.
8


Sự khác nhau giữa kỹ năng và thói quen: Hầu hết các thói quen
hình thành một cách vô thức và khó kiểm soát. Trong khi đó kỹ năng
được hình thành một cách có ý thức do quá trình luyện tập.
Thói quen rất khác với kiến thức. Bởi vì, kiến thức là biết, là hiểu
nhưng chưa bao giờ làm, thậm chí không bao giờ làm. Trong khi đó kỹ
năng lại là hành động thuần thục trên nền tảng kiến thức. Vì không tác
động vào thực tại khách quan nên kiến thức thường ít tạo ra những thành
quả cụ thể.
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Kỹ năng có ở mỗi con người đều trải qua quá trình hình thành và
phát triển lâu dài, phức tạp, qua nhiều giai đoạn. Để hình thành bất kì
một kỹ năng nào cũng cần được tiến hành thông qua các hoạt động luyện
tập, củng cố, vận dụng nhờ việc tiến hành các thao tác, hành động và
diễn ra theo quy trình trong thời gian nhất định. Theo K.K Platônôv và
G.G Gôbulev (1963) quá trình hình thành kỹ năng thường trải qua năm
giai đoạn:
Giai đoạn 1: Con người được đặt trước tình huống mới, nhận thức được
tình huống và mục đích của hành động, từ đó tìm kiếm cách thức hành
động từ sự hiểu biết, kinh nghiệm và hệ thống kỹ xảo đã có. Chủ thể vận
dụng chúng thành những kỹ năng sơ đẳng có tính kinh nghiệm.
Giai đoạn 2: Chủ thể đã có hiểu biết và phương thức hành động nhờ
việc sử dụng các tri thưc, kỹ xảo đã có. Nhưng đó không phải những kỹ
xảo và những kỹ năng chuyên biệt nhằm hành động để giải quyết tình
huống. Chủ thể đã biết phương thức hành động nhưng chưa đầy đủ, còn
nhiều thiếu sót, sai lầm cũng như những thao tác thừa,. . .

Nếu xét theo tổng quan thì kỹ năng phân ra làm 3 loại:
+ Kỹ năng chuyên môn.
+ Kỹ năng sống.
+ Kỹ năng làm việc.
10


Nếu xét theo liên đới chuyên môn thì kỹ năng được phân làm các
loại sau:
+ Kỹ năng cứng.
+ Kỹ năng mềm.
+ Kỹ năng hỗn hợp.
Theo tính hữu ích cộng đồng: hữu ích và phản lợi ích xã hội. Có thể
hiểu rằng kỹ năng mềm hay kỹ năng sống cũng chỉ là một nhóm kỹ năng
với tên gọi khác nhau. Chúng ta cũng nhận thấy rằng kỹ năng mềm hay
kỹ năng sống là những nhóm kỹ năng thiết yếu giúp cho chủ thể tồn tại
và thăng hoa trong cuộc sống.
Kỹ năng “mềm” (soft skills): là loại kỹ năng mà chúng ta có được từ
hoạt động thực tế cuộc sống hoặc thực tế nghề nghiệp, là thuật ngữ dùng
để chỉ các kỹ năng quan trọng trong cuộc sống con người (kỹ năng sống,
giao tiếp, lãnh đạo, làm việc theo nhóm, sáng tạo và đổi mới,...). Kỹ năng
“mềm” liên quan tới tập hợp các đặc tính con người, thái độ xã hội, thói
quen cá nhân, tính thân thiện, sự lạc quan, sử dụng ngôn ngữ,... mà dựa
vào đó con người được đánh giá theo nhiều mức độ khác nhau. Kỹ năng
mềm thiên khá nhiều về yếu tố bẩm sinh, tuy nhiên phần lớn con người
nếu chịu khó rèn luyện thì vẫn có thể nâng cao đáng kể kỹ năng của bản
thân.
Kỹ năng “cứng” (hard skills): là kỹ năng mà chúng ta có được do
được đào tạo từ nhà trường hoặc tự học, đây là kỹ năng có tính nền tảng.
* Trong Toán học có thể phân chia kỹ năng thành các loại:

dưới dạng các công thức như sau: A1 , A2 , A3 ,. . . An .
Sao cho, với mọi i (i=1, 2,. . . , n) Ai phải thỏa mãn một trong các điều
kiện sau:
(i) Hoặc Ai là tiên đề, hoặc Ai là một định lý, hoặc Ai là giả thiết (hay
điều kiện) đã cho trước.
(ii) Hoặc Ai là công thức tương đương với một công thức có mặt trong
12


dãy đứng trước nó.
(iii) Hoặc Ai là hệ quả logic được suy ra từ các công thức có mặt trong
dãy đứng trước nó.”
Tác giả Nguyễn Bá Kim định nghĩa:
“Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1 , A2 , A3 ,. . .
An thỏa mãn các điều kiện sau:
• Mỗi Ai (i=1, 2,. . . , n) của dãy đó hoặc là tiên đề hoặc định nghĩa, hoặc
suy ra từ một số trong các A1 , A2 , A3 ,. . . An−1 nhờ những quy tắc kết
luận logic.
• An chính là mệnh đề T” [8, tr.368].
1.2.2. Cấu trúc của chứng minh
Mỗi một chứng minh gồm các thành phần:
1) Luận đề: Các kết luận, kết quả của các bước thay thế, trong đó mệnh
đề cần chứng minh gọi là luận đề.
Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh cái gì”. Ta còn gọi luận đề là kết
luận.
2) Luận cứ: Các mệnh đề mà dựa vào nó để suy ra mệnh đề cần chứng
minh.
Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh dựa vào cái gì?”. Trong các bài toán
chứng minh, luận cứ còn là các định nghĩa, định lý, tiên đề, quy tắc, công
thức đã biết.

∃x, A(x) ∀x, A(x)
+ Quy tắc (nguyên lý) quy nạp toán học.
4) Các điều kiện vào (các tiền đề - prémisses): đó là các mệnh đề đã cho
(giả thiết), các mệnh đề kết luận của các bước trước đó, mệnh đề đúng
đã biết. Như vậy, chứng minh được hiểu là một dãy hữu hạn các bộ ba
sau đây:

14


Hình 1.1: Sơ đồ chứng minh

“Nguồn: Lê Văn Tiến - 2005 [19, tr.62]”.

15


1.2.3. Phân tích một chứng minh
Phân tích một chứng minh là phân tích cấu trúc của chứng minh
đó. Nói cách khác là chỉ rõ trong mỗi bước của chứng minh ta đã có những
tiền đề nào, kết luận rút ra là gì, các quy tắc thay thế (luận cứ) và các
quy tắc suy diễn nào đã được sử dụng.
Việc phân tích một chứng minh cho phép HS hiểu rõ hơn cấu trúc
của chứng minh, cho phép phát hiện những sai lầm (nếu có) và nguyên
nhân của sai lầm ở đâu.
Đối với bài toán chứng minh không phải bài toán nào cũng có con
đường chứng minh cụ thể. Do đó hoạt động tìm tòi, khám phá tìm ra con
đường chứng minh có ý nghĩa rất quan trọng. Đứng trước yêu cầu chứng
minh thì ta có thể nghĩ đến việc chứng minh trực tiếp, hoặc gián tiếp tùy
theo yêu cầu và đặc điểm của bài toán. Vấn đề đặt ra là cần phải xác định

Hình 1.2

biết.

b. Phương pháp phân tích đi xuống: Phân tích khai thác triệt để giả
thiết của bài toán, liệt kê cụ thể các vấn đề cần thiết cho chứng minh.
Sơ đồ của phân tích đi xuống: T ⇒ T1 ⇒ T2 ⇒ ... ⇒ Tn (đã biết đúng
hoặc sai).
Trong đó, T là mệnh đề cần xác định tính đúng hay sai. Nếu Tn sai ta kết
luận T sai. Nếu Tn đúng ta chưa kết luận được gì về tính đúng sai của T.
Khi đó, cần kiểm tra sơ đồ ngược lại: Tn ⇒ Tn−1 ⇒ ... ⇒ T2 ⇒ T1 ⇒ T
Nếu suy luận này là đúng thì kết luận T đúng.
Ví dụ 1.2.2. Cho (O), hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm AO, OB. CN cắt (O) tại I. IM cắt (O)
tại J. CM cắt (O) tại K. Khi đó, kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề
CM I = 90o .

17


Ta phân tích theo sơ đồ:
CM I = 90o (T) ⇒ IJ

KD (T1 )

⇒ JK = DI (T2 ) ⇒ JK = KD (T3 ), do
KD = ID ⇒ ICK = KCD (T4 ) ⇒ ∆JCL
cân tại C (T5 ) ⇒ JM = M L (T6 )
⇒ ∆JM A = ∆LM O (T7 ) ⇒ JAM = 90o
(T8 ) ⇒ ∆AJB có hai góc vuông (sai) (T9 ).

Cách 1: sử dụng tam giác đồng dạng.
∆AM B, ∆CM A ⇒ ... ⇒ ∆AM B ∼ ∆CM A ⇒ ... ⇒ M A2 = M B.M C
18