T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Xu thế đổi mới phương pháp dạy học tốn hiện nay là phát huy tính tích cực
học tập của học sinh. Học sinh là chủ thể, người quyết định việc tiếp nhận tri thức
tốn nói chung và việc vận dụng vào giải bài tập tốn nói riêng. Do đó, q trình
giảng dạy giáo viên phải giúp các em tiếp cận với các dạng tốn mà sự vận dụng
của các em còn q bở ngỡ.
Dạng tốn “Tìm cực trị trong Đại số 9” là một vấn đề phức tạp và khó đối
với mọi đối tượng học sinh nói chung đặc biệt đối với các em có hạn chế về tư duy
tốn học. Khi gặp các dạng bài tập này khơng ít học sinh lúng túng, khơng biết nên
bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào.
Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời giúp các em có được một
cách nhìn nhận mới, giúp các em xây dựng phương pháp giải loại tốn này trên nền
tảng kiến thức cơ bản đã được trang bị trong chương trình tốn THCS (Hằng đẳng
thức bình phương tổng hoặc hiệu; bất đẳng thức Cơsi; Cơng thức nghiệm phương
trình bậc hai; ...) qua đó giúp các em nâng cao chất lượng học tốn, phát triển các
phẩm chất trí tuệ như: cách nhìn nhận vấn đề, khai thác vấn đề, phát huy tính độc
lập, linh hoạt, sáng tạo trong q trình giải tốn.
Chính lẽ đó tơi đúc kết lại một số kinh nghiệm “Tìm cực trị trong Đại số 9”
nhằm nâng cao kỷ năng giải tốn nói chung và giải tốn “Tìm cực trị trong Đại số
9” nói riêng, đặc biệt là trong thi tuyển sinh THPT giúp các em có điều kiện học
tốn tốt hơn.
II. ĐỐI TƯỢNG, THỜI GIAN VÀ PHẠM VI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Tơi thực hiện đề tài này trong năm học, trên đối tượng là lớp 9A năm học
2010 - 2011.
Trong q trình thực hiện tơi tập trung đi sâu phân tích, khai thác, nhìn
nhận, xây dựng một số giải pháp nhằm định hướng học sinh cách tìm tòi lời
giải dạng tốn “Tìm cực trị trong Đại số lớp 9” .

Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy

x=

−b
−b'
(x =
).
2a
a

II. CỞ SỞ THỰC TẾ.
1. Tình hình thực tế:
1.1. Thuận lợi
Trường THCS Mỹ Thủy đã nhiều năm có truyền thống về chất lượng
dạy và học, là trường trọng điểm chất lượng cao của huyện, có bề dày thành
tích
trong cơng tác dạy và học, nhất là kết quả thi học sinh giỏi và chất lượng tuyển
sinh THPT hàng năm.
Phụ huynh học sinh xã Mỹ Thuỷ quan tâm đến việc học tập của con em,
Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy
2


T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9
nên đã tạo điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt.
Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hồi bão do
đó đã tạo thuận lợi cho chất lượng dạy và học.
1.2. Khó khăn
1.2.1. Định tính
Đa số học sinh đều có tâm lí “sợ học tốn” đặc biệt là dạng tốn “Tìm cực
trị” nói riêng các em thường lúng túng khơng biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu

TB

12

2

5

5

19

10

9

38,7%

6,5%

16,1%

16,1%

61,3%

32,3%

29,0%


- Chứng minh bất đẳng thức Cơ si: a + b ≥ 2 ab (a,b ≥ 0)
- Cơng thức nghiệm và điều kiện của phương trình bậc hai.
Giải pháp 2: Rèn luyện kỉ năng nhìn nhận, vận dụng kiến thức.
2.1. Nhìn nhận.
Giá trị biểu thức F(x) ≥ m ∀x ∈ R hay F(x) ≤ m ∀x ∈ R với m hằng số.
Khi đó biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất là m (Dấu “=” xảy ra)
2.2. Kết hợp nhìn nhận và biển đổi để đi đến kết quả.
+ Dạng 1: A = ax 2 + bx + c hay A = ax + b x + c đối với dạng này
hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức bình phương
tổng, hiệu.
Cụ thể: Biến đổi biểu thức A = [f (x)]2 + m hay A = −[f (x)]2 + m với m hằng số.
+ Dạng 2: A = f (x) − g(x) đối với dạng này hướng dẫn học sinh vận
dụng bất đẳng thức a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥ 0) để tìm giá trị lớn nhất.
+ Dạng 3: A = f (x) + g(x) đối với dạng này hướng dẫn học sinh vận
dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b (a,b ≥ 0) để tìm giá trị nhỏ nhất. áp dụng
Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy
4


T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9
bất đẳng thức Cơ si: a + b ≥ 2 ab (a,b ≥ 0) để tìm GTLN.
+ Dạng 4: A = f (x) + g(x) đối với dạng này hướng dẫn học sinh áp dụng
bất đẳng thức Cơ si: a + b ≥ 2 ab (a,b ≥ 0) để tìm GTLN.
+ Dạng 5: A =

f (x)
f (x)
hay A = g(x) biến đổi biểu thức và áp dụng bất
g(x)


Vậy GTNN của A là

5
5
19
khi x − = 0 ⇔ x =
2
2
4

Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức A = x − 3 x + 4
2

2

2


3
3 7 7
3
 3
∀x ≥ 0
Hướng dẫn: A = x − 2. x +  ÷ + 4 −  ÷ =  x − ÷ + ≥
2
2 4 4
2
 2



Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy
5


T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9

Vậy GTNN của P là

1
−
2

khi và chỉ khi

 x − y −1 = 0


1
 y− =0

2

1
3 
9


 x − 2 − 1 = 0
 x = 2
 x = 4

Vậy GTNN của P là 3 khi m = 0.
4.2. Các bài tốn tìm GTLN biểu thức dạng A = f(x) - g(x) .
Phương pháp giải:
- Áp dụng bất đẳng thức a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥ 0)
- Dấu “=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b.
Ví dụ 5. Tìm GTLN của A = x + 1 − x − 8
Hướng dẫn:
Điều kiện: x ≥ 8
A = x +1 − x − 8 ≤ x +1 − x + 8 = 9 = 3
Vậy GTLN A là 3 khi x - 8 = 0 ⇔ x = 8.
4.3. Các bài tốn tìm GTNN biểu thức dạng A = f(x) + g(x) .
Phương pháp giải:
- Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b (a,b ≥ 0)
- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
Ví dụ 6. Tìm GTNN của A = x − 3 + 5 − x
Hướng dẫn:
Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy
6


T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9
Điều kiện: 3 ≤ x ≤ 5
A = x −3 + 5− x ≥ x −3+ 5− x = 2
Vậy GTNN A là 2 khi x = 3 hoặc x = 5.

4.4. Các bài tốn tìm GTLN biểu thức dạng A = f(x) + g(x) .
Phương pháp giải:
- Bình phương biểu thức A
- Áp dụng bất đẳng thức Cơ si: 2 ab ≤ a + b (a,b ≥ 0)
- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.

- Nhân và chia f(x) cùng một số khác 0
- Áp dụng bất đẳng thức Cơ si: 2 ab ≤ a + b (a,b ≥ 0)

Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy
7


T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9
x −9
5x

Ví dụ 8. Tìm GTLN của A =
Hướng dẫn:
Điều kiện: x ≥ 9
x −9
.3
x −9
3
A=
=
≤
5x
5x
GTLN của A là

1  x −9  x −9+9
+ 3÷
2  3
1
=


1  ax n − b
+ b÷

2
b
=
≤ 
n

cx

a
2c b

a
2b
khi x n =
2c b
a

f(x)
4.5. Các bài tốn tìm GTNN biểu thức dạng A = g(x) (bậc f(x) lớn
hơn g(x)).
Phương pháp giải:
- Biến đổi biểu thức thành tổng các biểu thức mà tích của chúng là
hằng số.
- Áp dụng bất đẳng thức Cơ si: a + b ≥ 2 ab (a,b ≥ 0)
(x + 1994)2
Ví dụ 9: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức A =

(x + 1)2 + 16 x + 1 8
x +1 8
=
+
≥2
.
=2 4=4
2(x + 1)
2
x +1
2 x +1

Min

M

=

4

Khi

x = 3
 x + 1 = 4
x +1
8
=
⇔ (x + 1) 2 = 16 ⇔ 
⇔ 
2

2 x
x +1

Hướng dẫn:
Q=

2 x
1 x +1
x
1
⇒ =
=
+
≥2
x +1 Q 2 x
2 2 x

Min

1
x
1
=
⇔ x = 1. Vậy Max Q = 1 khi x = 1.
= 1 khi
Q
2 2 x

x 1
1

2−x x
P

=

7

khi

9x
2−x
1
=
⇔ 9x 2 = x 2 − 4x + 4 ⇔ x 2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x =
2−x
x
2
4.7. Các bài tốn tìm GTNN, GTLN áp dụng cơng thức nghiệm và
Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy
9


T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9
điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai.
Ví dụ 14: Tìm GTNN, GTNN của biểu thức A =

4x − 3
x 2 +1

Hướng dẫn:

x 2 − x +1
x2 + x +1

Hướng dẫn:
Gọi a là một giá trị của B. Phương trình

x 2 − x +1
= a (1) có nghiệm.
x 2 + x +1

(1) ⇔ (1 − a)x 2 − (1 + a)x +1 − a = 0 (2)
- Nếu a = 1 thì (2) ⇔ x = 0
- Nếu a ≠ 1 thì pt (2) là phương trình bậc hai.
2

r= (1 + a)2 − 4(1 − a)2 = −3a + 10a − 3
2
1
Pt (2) có nghiệm ⇔r≥ 0 ⇔ −3a + 10a − 3 ≥ 0 ⇔ ≤ a ≤ 3
3

1
1+
1
+
a
3
1
Vậy: Min B = khi pt(2) có nghiệm kép x = 2(1 − a) =  1  = 1
4

b. Tỡm GTNN ca A = 30x 4 + 1975 30x 4 2007
Bi tp 6:
a. Tỡm GTNN ca A = 20x 11 + 1982 20x
b. Tỡm GTNN ca A = 19x 5 1890 + 19x 5 + 2010
Bi tp 7: Cho x + y = 15. Tỡm GTNN ca A = x 4 + y 3
Bi tp 8:
a. Tỡm GTLN ca A = x 5 + 23 x
b. Tỡm GTLN ca A = 7x 5 1954 + 7x 5 + 2007
Bi tp 9: Cho x + y = 15. Tỡm GTLN ca A = x 4 + y 3
Bi tp 10: Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
A=

x 16
7x

B=

3x 25
7x

D=

10x 49
2006x

E=

2x 2 25
2006x 2


x + 6 x + 34
x +3

Bài tập 13: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: M =

1− x + x
x

N=

x +8
x +1

Bài tập 14: Cho x > 9. Tìm GTNN của biểu thức Q =

4x
x −3

Bài

của

tập 15:

A=x+

1
x −1

Cho

học kỳ I năm học 2010-2011 ở lớp 9A Trường THCS Mỹ Thuỷ thu được kết quả:
Bài

Tổng số

kiểm tra

học sinh

Bài số 1

31

Học kỳ I

31

§iĨm ≥ 5
Giỏi
Khá

Điểm

3

9

8

1

71,0%

51,6%

9,7%

9,1%

29,0%

25,8%

3,2%

2. Kết quả kiểm tra bài số 4 Đại số, bài khảo sát học kỳ 2 và kết quả chất
lượng bộ mơn Tốn năm học 2010-2011 lớp 9A trường THCS Mỹ Thủy như
sau:
Bài
kiểm tra

Tổng số

24

12

7

5

7

6

1

77,4%

38,7%

22,6%

16,1%

22,6%

19,4%

3,2%

23


6

13

5

5

0

83,9%

22,6%

19,4%

41,9%

16,1%

16,1%

0%

So sánh đối chiếu với kết quả điều tra và kết quả đạt được rõ ràng có sự
tăng trưởng về chất lượng học tốn của học sinh.
3. Điều đặc biệt hơn là tâm lý “lo sợ” học tốn của học sinh đã giảm hẳn,
học sinh ứng khởi say sưa với học tốn hơn, u thích mơn tốn hơn, do đó đã
góp phần khẳng định thương hiệu mơn tốn của Trường THCS Mỹ Thủy nói
riêng, chất lượng giáo dục của Lệ Thủy nói chung.

Dù rằng còn khá mới mẽ song hiệu quả mà nó đem lại là rất lớn, góp phần
nâng cao chất lượng giảng dạy và giáo dục của trường.
Trong bài viết này chắc chắn khơng thể tránh được những thiếu sót, tơi
rất mong nhận được sự góp ý của Hội đồng khoa học, cùng các thầy cơ giáo để
kinh nghiệm của bản thân ngày một tốt hơn, được bạn bè đồng nghiệp áp dụng
rộng rãi, nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn nói riêng và chất lượng giáo dục
nói chung.

Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy
14


T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9
Mỹ Thủy, ngày 15 tháng 05 năm
2011
Ý KIẾN NHẬN XÉT HĐKH

NGƯỜI VIẾT

Hồng Thái Anh

Hoàng Thái Anh – Trường THCS Mỹ Thủy
15