Tỡm cc tr trong i s 9
A. Đặt vấn đề
I. Lý DO CHọN đề TàI:
Xu thế đổi mới phơng pháp dạy học toán hiện nay là phát huy tính tích cực học
tập của học sinh. Học sinh là chủ thể, ngời quyết định việc tiếp nhận tri thức toán nói
chung và việc vận dụng vào giải bài tập toán nói riêng. Do đó, quá trình giảng dạy giáo
viên phải giúp các em tiếp cận với các dạng toán mà sự vận dụng của các em còn quá bở
ngỡ.
Dạng toán Tìm cực trị trong Đại số 9 là một vấn đề phức tạp và khó đối với
mọi đối tợng học sinh nói chung đặc biệt đối với các em có hạn chế về t duy toán học.
Khi gặp các dạng bài tập này không ít học sinh lúng túng, không biết nên bắt đầu từ
đâu, hớng giải quyết thế nào.
Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời giúp các em có đợc một cách
nhìn nhận mới, giúp các em xây dựng phơng pháp giải loại toán này trên nền tảng kiến
thức cơ bản đã đợc trang bị trong chơng trình toán THCS (Hằng đẳng thức bình phơng
tổng hoặc hiệu; bất đẳng thức Côsi; Công thức nghiệm phơng trình bậc hai; ) qua đó
giúp các em nâng cao chất lợng học toán, phát triển các phẩm chất trí tuệ nh: cách nhìn
nhận vấn đề, khai thác vấn đề, phát huy tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong quá trình
giải toán.
Chính lẽ đó tôi đúc kết lại một số kinh nghiệm Tìm cực trị trong Đại số 9
nhằm nâng cao kỷ năng giải toán nói chung và giải toán Tìm cực trị trong Đại số 9
nói riêng, đặc biệt là trong thi tuyển sinh THPT giúp các em có điều kiện học toán tốt
hơn.
II. Đối tợng, thời gian và Phạm vi thực hiện đề tài
Tôi thực hiện đề tài này trong năm học, trên đối tợng là lớp 9A năm học 2010
- 2011.
Trong quá trình thực hiện tôi tập trung đi sâu phân tích, khai thác, nhìn nhận,
xây dựng một số giải pháp nhằm định hớng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng
toán Tìm cực trị trong Đại số lớp 9 .
B. Nội dung đề tài
I. Cơ sở khoa học.

2.4. áp dụng bất đẳng thức Cô si:
a b 2 ab (a,b 0)+
để tìm GTNN,
GTLN. Dấu = xảy ra khi a = b.
2.5. áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai:
0 ( ' 0) r r
. Dấu = xảy ra khi phơng trình có nghiệm kép
b b'
x (x )
2a a

= =
.
II. Cở sở thực tế.
1. Tình hình thực tế:
1.1. Thuận lợi
Trờng THCS Mỹ Thủy đã nhiều năm có truyền thống về chất lợng dạy và
học, là trờng trọng điểm chất lợng cao của huyện, có bề dày thành tích
trong công tác dạy và học, nhất là kết quả thi học sinh giỏi và chất lợng tuyển sinh
THPT hàng năm.
Phụ huynh học sinh xã Mỹ Thuỷ quan tâm đến việc học tập của con em, nên
đã tạo điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt.
Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ớc mơ, hoài bão do đó đã
tạo thuận lợi cho chất lợng dạy và học.
1.2. Khó khăn
1.2.1. Định tính
Đa số học sinh đều có tâm lí sợ học toán đặc biệt là dạng toán Tìm cực trị
nói riêng các em thờng lúng túng không biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu từ cái gì
do đó dễ nãy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực. Đặc biệt
đối với các em học sinh lớp 9 kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng quên nên gây

2 2
1 2 1 2
P x x x x= + −
(KiĨm tra HKII to¸n 9 Së GD §T Qu¶ng B×nh n¨m häc 2008-2009)
VÝ dơ 2: T×m GTNN cđa
P x 2 xy 3y 2 x 1= − + − +
víi
x,y 0≥

(Tun sinh líp 10 THPT Së GD §T Qu¶ng B×nh n¨m 2008 - 2009)
VÝ dơ 3 . Cho x, y > 0,
x y 1+ =
. T×m GTNN cđa
2 2
1 1
A 1 1
x y
 
 
= − −
 ÷
 ÷
 
 
.
(Tun sinh líp 10 THPT Së GD §T Qu¶ng B×nh n¨m 2010 - 2011)
ChÝnh v× thÕ trong bµi viÕt t«i xin tr×nh bµy mét sè gi¶i ph¸p nh»m ®Þnh h-
íng häc sinh c¸ch t×m tßi lêi gi¶i d¹ng to¸n “T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9”.
III. GI¶I PH¸P THùC HIƯN
Qu¸ tr×nh thùc hiƯn ®Ị tµi “T×m cùc trÞ trong §¹i sè 9” t«i ®· thùc hiƯn c¸c gi¶i

A ax bx c= + +
hay
A ax b x c= + +
đối với dạng này hớng dẫn
học sinh biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức bình phơng tổng, hiệu.
Cụ thể: Biến đổi biểu thức
2
A [f(x)] m= +
hay
2
A [f (x)] m= +
với m hằng số.
+ Dạng 2:
A f (x) g(x)=
đối với dạng này hớng dẫn học sinh vận dụng
bất đẳng thức
a b a b (a b 0)
để tìm giá trị lớn nhất.
+ Dạng 3:
A f (x) g(x)= +
đối với dạng này hớng dẫn học sinh vận dụng
bất đẳng thức
a b a b (a,b 0)+ +
để tìm giá trị nhỏ nhất. áp dụng bất đẳng
thức Cô si:
a b 2 ab (a,b 0)+
để tìm GTLN.
+ Dạng 4:
A f(x) g(x)= +
đối với dạng này hớng dẫn học sinh áp dụng bất

2
2 2 2
5 5 5 5 19 19
A x 2. x 11 x
2 2 2 2 4 4
x


ữ ữ ữ

= + + = +
Vậy GTNN của A là
19
4
khi
5 5
0
2 2
x x= =
Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức
A x 3 x 4= +
Hoaứng Thaựi Anh Trửụứng THCS Myừ Thuỷy
4
Tỡm cc tr trong i s 9
Hớng dẫn:
2
2 2
7 7
x x 0
4 4

1 1 1
P (x 2 xy y 2 x 2 y 1) 2(y 2. y )
2 4 2
= + + + + +
2 2
1 1 1
P ( x y 1) 2( y )
2 2 2
= +
Vậy GTNN của P là
1
2

khi và chỉ khi
x y 1 0
1
y 0
2





=
=

1
x 1 0
2
1

x 2mx m 1 0 + =
a. Giải phơng trình với m = 5.
b. Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm phân biệt với mọi m.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2 1 2
P x x x x= +
(Kiểm tra HKII toán 9 Sở GD ĐT Quảng Bình năm học 2008-2009)
Hớng dẫn câu c.
Theo Vi ét:
1 2
2
1 2
x x 2m
x x m 1





+ =
=
2 2 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( ) 4m 3m 3 m 3 3 mP x 2x x x 3x x x x 3x x+ = + = + = + = +
Vậy GTNN của P là 3 khi m = 0.
4.2. Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng
A = f(x) - g(x)
.

2
khi x = 3 hoặc x = 5.
4.4. Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng
A = f(x) + g(x)
.
Phơng pháp giải:
- Bình phơng biểu thức A
- áp dụng bất đẳng thức Cô si:
2 ab a b (a,b 0) +
- Dấu = xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
Ví dụ 7. Tìm GTLN của
A 3x 5 7 3x= +
Hớng dẫn:
Điều kiện:
5 7
x
3 3

2
A 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x3x 5 7 3x 2 2= = + + +
2
A 2 3x 5 7 3x 4 + =+
GTLN của
2
A
là 4 khi
3x 5 7 3x 6x 12 x 2 = = =
Vậy GTLN của A là 2 khi
x 2=
Tổng quát: Tìm GTLN của

Phơng pháp giải:
Hoaứng Thaựi Anh Trửụứng THCS Myừ Thuỷy
6
Tỡm cc tr trong i s 9
- Nhân và chia f(x) cùng một số khác 0
- áp dụng bất đẳng thức Cô si:
2 ab a b (a,b 0) +
Ví dụ 8. Tìm GTLN của
x 9
A
5x

=
Hớng dẫn:
Điều kiện:
x 9
1 x 9
x 9
x 9 9
3
.3
2 3
x 9 1
3
3
A
5x 5x 5x 10x 30

ữ


b
2
b
ax b
. b
b
a
A
cx cx
2c b


+
ữ

=

=
+
a
Max A
2c b
=
khi
n
2b
x
a
=
4.5. Các bài toán tìm GTNN biểu thức dạng

x
= =
Ví dụ 10: Cho x

0. Tìm GTNN của biểu thức
2
x 2x 17
M
2(x 1)
+ +
=
+
Hớng dẫn:
Hoaứng Thaựi Anh Trửụứng THCS Myừ Thuỷy
7
Tỡm cc tr trong i s 9
2
(x 1) 16 x 1 8 x 1 8
2 . 2 4 4
2(x 1) 2 x 1 2 x 1
M =
+ + + +
+ = =
+ + +
=
Min M = 4 Khi
2
x 3
x 1 4
x 1 8

P x x 3 x 3.100 300
x x x x x
= = + + + = =
Min P = 300 khi
2
x
1000
x 10
x
==
Ví dụ 12: Tìm GTLN của biểu thức
2 x
Q
x 1
=
+
Hớng dẫn:
2 x 1 x 1 x 1 x 1 1
Q 2 . 2. 1
x 1 Q 2 2 2
2 x 2 x 2 x

+
= = = + = =
+
Min
1
Q
= 1 khi
x 1



= = + + = =

4.7. Các bài toán tìm GTNN, GTLN áp dụng công thức nghiệm và điều
kiện có nghiệm phơng trình bậc hai.
Ví dụ 14: Tìm GTNN, GTNN của biểu thức
2
4x 3
A
x 1

=
+
Hớng dẫn:
Gọi a là một giá trị của A. Phơng trình
2
4x 3
a
x 1

=
+
(1) có nghiệm.
Hoaứng Thaựi Anh Trửụứng THCS Myừ Thuỷy
8
Tỡm cc tr trong i s 9
2
(1) x 4x a 3 0a + + =
(2)

+
=
+ +
Hớng dẫn:
Gọi a là một giá trị của B. Phơng trình
2
2
x x 1
a
x x 1
+
=
+ +
(1) có nghiệm.
2
(1) (1 a)x (1 a)x 1 a 0 + + =
(2)
- Nếu a = 1 thì (2) x = 0
- Nếu
a 1
thì pt (2) là phơng trình bậc hai.
2
2 2
(1 a) 4(1 a) 3a 10a 3= + = + r
Pt (2) có nghiệm
2
1
0 3a 10a 3 0 a 3
3
+ r

Bài tập 1: Cho phơng trình
2
x (2m 1)x m 0+ =
. Gọi
1 2
x ,x
là các nghiệm của ph-
ơng trình. Tìm m để
2 2
1 2 1 2
A x x 6x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 2: Cho phơng trình
2
x mx m 1 0

+ =
. Gọi
1 2
x ,x
là các nghiệm của phơng
trình. Tìm GTNN, GTLN của
1 2
2 2
1 2 1 2
2x x 3
B
x x 2(x x 1)
+
=

2 2
1 2 1 2
B x x x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 5:
a. Tìm GTNN của
A 12x 2006 12x 2007= +
b. Tìm GTNN của
4 4
A 30x 1975 30x 2007= +
Bài tập 6:
a. Tìm GTNN của
A 20x 11 1982 20x= +
b. Tìm GTNN của
5 5
A 19x 1890 19x 2010= + +
Bài tập 7: Cho x + y = 15. Tìm GTNN của
A x 4 y 3= +
Bài tập 8:
a. Tìm GTLN của
A x 5 23 x= +
b. Tìm GTLN của
5 5
A 7x 1954 7x 2007= + +
Bài tập 9: Cho x + y = 15. Tìm GTLN của
A x 4 y 3= +
Bài tập 10: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
x 16
A
7x

x
+
=
8
7
7x 256
B
x
+
=
2
2x 6x 5
C
2x
+
=
Bài tập 12: Cho x

0. Tìm GTNN của biểu thức
x
x
x 6 34
N
3
+ +
=
+
Bài tập 13: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức:
1 x x
M

Hoaứng Thaựi Anh Trửụứng THCS Myừ Thuỷy
10
Tìm cực trị trong Đại số 9
IV. KÕt qu¶ ®¹t ®ỵc
Qua qu¸ tr×nh thùc hiƯn, kiĨm nghiƯm ®Ị tµi t«i cã kÕt qu¶ nh sau:
1. So s¸nh kÕt qu¶ kiĨm tra 45 phót bµi sè 1 §¹i sè 9 vµ kÕt qu¶ kiĨm tra häc kú
I n¨m häc 2010-2011 ë líp 9A Trêng THCS Mü Thủ thu ®ỵc kÕt qu¶:
Bµi
kiĨm tra
Tỉng sè
häc sinh
5≥§iĨm
§iĨm <5
Giái Kh¸ TB Ỹu KÐm
Bµi sè 1 31
12 2 5 5 19 10 9
38,7% 6,5% 16,1% 16,1% 61,3% 32,3% 29,0%
Häc kú I 31
22 16 3 3 9 8 1
71,0% 51,6% 9,7% 9,1% 29,0% 25,8% 3,2%
2. KÕt qu¶ kiĨm tra bµi sè 4 §¹i sè, bµi kh¶o s¸t häc kú 2 vµ kÕt qu¶ chÊt l-
ỵng bé m«n To¸n n¨m häc 2010-2011 líp 9A trêng THCS Mü Thđy nh sau:
Bµi
kiĨm tra
Tỉng sè
häc sinh
5≥§iĨm
§iĨm <5
Giái Kh¸ TB Ỹu KÐm
Bµi sè 4 31

hơn.
C. Kết luận
Có thể khẳng định rằng, với cách làm trên tôi đã giúp đỡ, hỗ trợ rất lớn cho
các em học sinh trong việc học toán, giúp cho các em có thêm phơng pháp Tìm
cực trị trong Đại số 9. Giúp các em không còn thấy lo sợ, e ngại khi làm các bài
toán dạng này và tạo cho các em một niềm tin, tạo cho các em có sự cảm nhận, sáng
tạo và ngày càng yêu thích môn Toán hơn, thấy đợc vẽ đẹp muôn màu của Toán học.
Trên đây là một số kinh nghiệm về việc Tìm cực trị trong Đại số 9 mà bản
thân tôi đã áp dụng tại trờng THCS Mỹ Thủy trong năm học 2010 - 2011. Dù rằng
còn khá mới mẽ song hiệu quả mà nó đem lại là rất lớn, góp phần nâng cao chất l-
ợng giảng dạy và giáo dục của trờng.
Trong bài viết này chắc chắn không thể tránh đợc những thiếu sót, tôi rất
mong nhận đợc sự góp ý của Hội đồng khoa học, cùng các thầy cô giáo để kinh
nghiệm của bản thân ngày một tốt hơn, đợc bạn bè đồng nghiệp áp dụng rộng rãi,
nhằm nâng cao chất lợng môn toán nói riêng và chất lợng giáo dục nói chung.
Mỹ Thủy, ngày 15 tháng 05 năm 2011
Hoaứng Thaựi Anh Trửụứng THCS Myừ Thuỷy
12
Tỡm cc tr trong i s 9
ý kiến nhận xét HĐKH Ngời viết
Hoàng Thái Anh
Hoaứng Thaựi Anh Trửụứng THCS Myừ Thuỷy
13