Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.

A. PHẦN MỞ ĐẦU:
I. Lí do chọn đề tài:
1.1. Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá độ lên chủ nghĩa xã hội
(bổ sung, phát triển năm 2011) đưa ra định hướng phát triển giáo dục và đào tạo
trong thời kỳ quá độ: “Giáo dục và đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển
nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây
dựng nền văn hóa và con người Việt Nam. Phát triển giáo dục và đào tạo cùng với
phát triển khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu; đầu tư cho giáo dục và
đào tạo là đầu tư phát triển…” điều đó một lần nữa khẳng định giáo dục là quốc
sách hàng đầu và việc phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài là nhiệm vụ
vừa cấp thiết, vừa lâu dài của toàn đảng toàn dân ta. Xuất phát từ định hướng đó
Đảng ta nói chung, ngành giáo dục nói riêng luôn quan tâm, đầu tư đến việc bồi
dưỡng học sinh giỏi. Sự quan tâm và đầu tư đó đã gặt hái được nhiều thành quả
tích cực như: Nhiều học sinh đạt giải cao trong các kì thi học sinh giỏi quốc tế,
chất lượng nguồn lao động ngày càng được nâng cao… Vì lẽ đó việc phát hiện,
tuyển chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi càng phải cần tiếp tục được quan tâm và
thực hiện tốt hơn.
1.2. Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong
chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên
suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương
trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến
thức về Đại số, Giải tích và Hình học. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến
thức lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy
định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương
trình cho học sinh nói chung, học sinh giỏi THPT nói riêng có ý nghĩa quan trọng
trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán


Như vậy dù có hiểu về khái niệm tư duy hàm hay không thì chắc chắn học sinh đã
sử dụng tư duy hàm trong học tập môn toán nói riêng, các môn học khác nói
chung. Tuy nhiên nhiều học sinh dù là khá giỏi cũng gặp nhiều khó khăn trong
việc tìm tòi phát hiện, sử dụng sự tương ứng của các yếu tố toán học. Vì lẽ đó việc
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

2


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
phát triển tư duy hàm cho học sinh giỏi càng cần thiết, đóng vai trò quan trọng
trong việc phát triển năng lực toán học và hình thành nhân cách của học sinh.
Những lí do nêu trên là cơ sở để tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển tư
duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải phương
trình, bất phương trình ”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh giỏi THPT thông qua
dạy học chủ đề giải phương trình, bất phương trình.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu một số quan điểm lí luận giáo dục về tư duy hàm đối với việc
nâng cao năng lực học tập của học sinh cũng như việc hình thành nhân cách học
sinh.
- Nghiên cứu vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học
giải phương trình, bất phương trình.
- Nghiên cứu những ứng dụng hiệu quả của lí luận về phát triển tư duy hàm
đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua chủ đề phương trình, bất
phương trình.
IV: Giới hạn của đề tài:
Đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu dạy học phương trình và bất phương trình

hợp đó, trong sự vận động của chúng.
Nguyễn Bá Kim thì thay vì đưa ra định nghĩa tư duy hàm, đã đưa ra các
hoạt động đặc trưng cho nó, ông quan niệm tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt
động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng. Như vậy, tư
duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứu những quy luật của sự
vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sự phụ thuộc lẫn nhau của
chúng. Theo nhà toán học Khinsin : “ không có khái niệm nào khác có thể phán
ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và thực tại
như khái niệm tương quan hàm ,không có một khái niệm nào có thể thể hiện được
ở trong nó những nét biện chứng của tư duy khái niệm toán học hiện đại như khái
niệm tương quan hàm.Thật vậy bản chất của vật chất là vận động,và sự vận
động diễn ra trong những mối tương quan nhất định. Với khái niệm hàm ,người
ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nó chứ không phải
trong trạng thái tĩnh tại ,trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời
nhau.Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

4


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
duy biện chứng chính là ở chỗ đó .Chính vì vậy khái niệm hàm là một trong những
khái niệm cơ bản nhất của toán học;nó giữ vị trí trung tâm của môn toán ở
trường phổ thông ,toàn bộ việc giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông đều xoay
quanh khái niệm này ” ( Trích : Phương pháp giảng dạy Toán Nguyễn Bá Kim –
Nxb GD 1994)
Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt
các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh
mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán.

1.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học
phương trình, bất phương trình.
Trong dạy học toán học ở trường việc phát triển tư duy hàm cho học sinh
không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về tư duy hàm. Nhiệm vụ tư duy hàm
không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức. Muốn phát triển tư
duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và trên cơ sở đó
tìm ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho học sinh, phát triển tư duy hàm là mục
đích kép.
Khi dạy học phương trình, bất phương trình cần hình thành cho học sinh
thói quen luôn ý thức về diễn biến của tập nghiệm. Sau khi biến đổi thì tập nghiệm
của phương trình, bất phương trình ban đầu và tập nghiệm của phương trình, bất
phương trình thu được có quan hệ với nhau như thế nào? Có những khả năng nào
xảy ra?
Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả năng
sau:
Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau
Khả năng 2: Tập nghiệm của phương trình trước là tập con của tập nghiệm
của phương trình sau
Khả năng 3: Tập nghiệm của phương trình sau là tập con của tập nghiệm
của phương trình trước
Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhưng không tập nghiệm
nào là bộ phận của tập nghiệm kia.
Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này. Căn cứ vào đâu để
nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?
Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phương trình về một phương
trình đơn giản đã biết cách giải
Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phương trình thay đổi
Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được tương đương với
phương trình đã cho. Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phương trình mới
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán


⇒ x − 5 = x 2 − 2x = 1
⇔ x 2 − 3x − 4 = 0
⇔ x 2 − 3x − 4 = 0
 x = −1
⇔
(x = -1 là nghiệm ngoại lai, sau phép thử
x = 4
phải loại bỏ "nghiệm này").
Khi giải phương trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định ta
cần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều này không
chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khi làm bài
mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

7


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phương trình
Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tượng mất nghiệm của phương
trình đầu, phương trình đầu là hệ quả của phương trình cuối cùng thu được. Khi
đó, tập nghiệm của phương trình thu được là tập con của phương trình đầu, phép
biến đổi phương trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị mất ( nếu có ) rơi
vào phần thu hẹp của tập xác định.
Trong trường hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập xác
định vào phương trình đã cho để khắc phục hiện tượng thiếu nghiệm. Tuy nhiên,
không có quy tắc tổng quát cho mọi trường hợp mà tuỳ từng bài toán cụ thể mà ta
có cách tìm lại nghiệm đã bị mất.

Do thu hẹp tập xác định từ ¡ thành ¡ \ { π + kπ} ; do đó nếu không thử:
x = π + kπ vào (1), ta sẽ gặp hiện tượng mất nghiệm x = π + kπ . Thật vậy: thay
x = π + kπ vào (1) ta được 2sin( π + kπ) − cos( π + kπ) = 1 ⇒ 1 = 1 (luôn đúng).
Ví dụ 4: Giải phương trình: x 2 − 9 = 3x + 9

(2)

⇔ (x − 3)(x + 3) = 3(x + 3)
⇒ x − 3 = 3 hay x = 6
Do thu hẹp tập xác định từ R thành ¡ \ { 3} nên ta cần thử x = 3 vào (2) để
tránh mất nghiệm.
Như vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định của
phương trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì cần
phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phương trình ban đầu tránh làm mất
nghiệm.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

8


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
Lưu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không là nghiệm
của phương trình đã cho, thì tập nghiệm của phương trình ban đầu trùng với tập
nghiệm của phương trình thu được. Khi đó, ta nói hai phương trình này tương
đương với nhau.
Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x + cos x = 1

(3)



Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

9


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 6: Phép chuyển từ phương trình: f (x)k(x) = f (x)g(x) (f (x) ≠ 0)
sang phương trình: k(x) = g(x) làm mất nghiệm (nếu có) của phương trình ban
đầu.
Ví dụ 7: Phép chuyển từ phương trình:
log
f (x) = log
g(x)
k(x)
k(x)
sang phương trình:

f (x) = g(x)

(5)
(6)

và phép chuyển ngược lại từ (6) sang (5).
- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tập nghiệm
- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tập nghiệm.
Tóm lại: Khi dạy học giải phương trình, ta cần hình thành cho học sinh lập
luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữa các
phương trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu " ⇒ "," ⇐ "," ⇔ " đúng, từ đó

sinh hiểu rõ các thuật ngữ “phương trình”, “bất phương trình”, “giải phương
trình”... mà còn rèn luyện và phát triển về mặt tư duy hàm cho học sinh.
Ví dụ 1: Giải phương trình:

3

2x
1 1
+3 +
=2
x +1
2 2x

(1)

Điều kiện: x ≠ 0 vµ x ≠ -1
Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức dưới dấu căn? Từ đó đưa ra cách giải?
Đặt t =

3

2x
1 1 1
; t ≠0⇒ 3 +
= .
x +1
2 2x t

Lúc đó (1) trở thành:


nhận giá trị bằng 2 là đơn trị.
+3 +
x +1
2 2x

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

11


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

( 34 − x ) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x = 30
3

(3)

34 − x − 3 x + 1

Rõ ràng, hình thức bài toán trông phức tạp, dễ tạo ra sự “ngợp” nhưng nếu
chịu khó để ý, tìm mối quan hệ giữa

3

x + 1 với

3


3

mãn x ≠

33
3
x
+
1
=
34 − x

 x = 26
2
⇔

(thoả
2
x
=
7

3
3
 x +1 =
34 − x

3

33

x = a − ( a + 1) a − ( a + 1) x 2  . Bằng việc trừu tượng hoá ta có thể tổng quát bài
2

toán thành giải phương trình: x = a − b ( a − bx 2 )

2

Hướng dẫn giải:
2
 x = a − bu 2

u
=
a
−
bx

⇔
Đặt u = a − bx 2 . Ta thu được hệ 
2
x
=
a
−
bu
( x − u ) 1 − b ( x + u )  = 0


 x − u = 0
 x = u

Có khi hệ thức cho trước đó chỉ thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm (các
giá trị ra) mà không thoả mãn hệ thức đối xứng, có khi thoả mãn hệ thức đối xứng
và bằng một giá trị cụ thể nào đó hoặc thoả mãn một điều kiện nào đó. Khi

giải

loại toán này thông thường là vận dụng định lý Viet kết hợp với hệ thức bài cho
nhằm tìm ra giá trị hoặc điều kiện của giá trị vào.
Ví dụ 4: Cho phương trình:

x 2 − 2mx + 2m + 3 = 0

(4)

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

13


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
2
2
Tìm m sao cho biểu thức E = x1x 2 − x 1 − x 2 đạt giá trị lớn nhất, trong đó x 1,

x2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Hoạt động:
+ Tìm giá trị vào là m
+ Giá trị ra là x1, x2 và điều kiện đối với giá trị ra là E đạt giá trị lớn nhất
+ Tìm sự tương ứng

14


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
Cần nhấn mạnh cho học sinh khi vận dụng định lý Viet phải chú ý đến điều
kiện cần của định lý là phương trình có nghiệm, nếu lơ là hoặc không ý thức về
điều này, có thể dẫn đến thiếu sót thậm chí sai lầm trong lời giải. Chẳng hạn như
bài toán trên, học sinh “vô tư” khi áp dụng định lý Viet để tính E theo m:
2

3  45 45 .

≤
E = −4m + 6m + 9 = −  2m − ÷ +
2
4
4

2

Rồi kết luận E max =

45
3
3
khi m = (Sai lầm! Vì m = phương trình vô nghiệm).
4
4
4


Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

15


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
Mặt khác: 2x 2 = x1 + x 3 thay vào (5) ta được x2 = 1. Lúc đó f(1) = 0 ⇔ m = 11 ,
đây mới là điều kiện cần. Kiểm tra lại điều kiện đủ, khi m = 11 phương trình trở
thành:
x 3 − 3x 2 − 9x + 11 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2x − 11) = 0
Phương trình có 3 nghiệm x = 1, x = 1 − 2 3 , x = 1 + 2 3 thoả mãn điều kiện đủ.
Vậy m = 11.
Đối với loại toán này, được ra với phương trình bậc hai là phổ biến. Tìm giá trị
(điều kiện) tham số để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn hệ thức cho
trước. Nếu hệ thức bài toán ra thoả mãn hệ thức đối xứng như

1 1 x1 x 2
+ ;
+
x 1 x 2 x 2 x1

; x13x 2 + x32 x1 thì hoàn toàn có thể biểu diễn chúng theo tổng và tích các
nghiệm dựa vào hệ thức Viet. Việc giải chúng để tìm giá trị vào (giá trị tham số)
không có gì khó khăn. Nhưng đối với các hệ thức bài ra không đối xứng thì sao?
Không lẽ đi giải các nghiệm x1, x2 theo công thức nghiệm rồi thay vào hệ thức để
tìm giá trị của tham số? Vì mục đích đi tìm giá trị tham số.
Công việc này rõ ràng gặp nhiều khó khăn phức tạp và nghiệm của phương
trình bậc hai chứa căn thức (trong trường hợp tổng quát) khá cồng kềnh, rắc rối.

f ( t ) = 3t 4 − 20t 3 + 36t + 24m − 12m 2 ≥ 0 với ∀t ∈ [ −1; 1]
f ( t ) = 12t ( t 2 − 5t + 6 )
t

Bảng

biến

thiên:

f ( t)
f ( t)
'

0

-1
-

0

1
+

Min f ( t ) = f ( 0 ) = 24m − 12m 2 .
Để

f ( x ) ≥ 0 víi ∀x th× min f ( t ) ≥ 0
(Sự tương ứng).
−1 ≤ t ≤ 1

phương trình f ( t ) = ( m − 2 ) t − 2 ( m + 1) t + m = 0 ” ở ví dụ 9.

Học sinh phải nhận thức được việc đặt t = x 2 chính là việc thiết lập tương
ứng giữa t và x. Từ đó có kết luận:
- Với nghiệm t < 0 thì sẽ vô nghiệm x
- Với nghiệm t = 0 thì có nghiệm x = 0
- Với nghiệm t > 0 thì sẽ có 2 nghiệm x phân biệt là x = ± t
Khi đã nắm bắt được mối quan hệ này kết hợp với kiến thức “Giải và biện
luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 ”, học sinh không khó khăn đưa ra các
trường hợp giải và biện luận phương trình (8) nói riêng và giải và biện luận
phương trình dạng : ax 4 + bx 2 + c = 0 nói chung.
Cần phải khẳng định ở đây ta không đi rèn luyện kỹ năng giải toán “Giải và
biện luận” mà qua đây cho học sinh thấy được bức tranh tổng quát về mối quan hệ
phụ thuộc giữa giá trị vào và giá trị ra cũng như số giá trị ra. Sau khi “Giải và biện
luận” xong có thể yêu cầu học sinh trả lời nhanh (không giải) cho biết nghiệm, số
nghiệm của phương trình khi tham số nhận giá trị cụ thể để học sinh thấy rõ mối
quan hệ này. Hoặc chỉ rõ các bài toán: Tìm m để phương trình (8) có 1 nghiệm, 2
nghiệm, 3 nghiệm, 4 nghiệm là các trường hợp riêng của bài toán “Giải và biện
luận”. Loại bài toán này yêu cầu tính giá trị vào khi biết điều kiện đối với số giá trị
ra. Tổng quát hóa ta có bài toán sau:
Tìm điều kiện các hệ số a, b, c của phương trình trùng phương
ax 4 + bx 2 + c = 0 để phương trình đó:
a. Vô nghiệm

d. Có 3 nghiệm

b. Có 1 nghiệm

e. Có 4 nghiệm


Có nhận xét gì về hàm vế trái và hàm vế phải của phương trình?
x
Có dạng f ( x ) = 2 + x
x
Hàm số f ( x ) = 2 + x có tính chất gì?

2x
+ 1 > 0 ∀x ∈ ¡ nên f(x) đồng biến trên ¡ .
Ta có: f ( x ) =
2 ln x
'

Lợi dụng tính chất này mà ta có:

( 10 ) ⇔ f ( a 2x + 6 ) = f ( 4x + 3a ) ⇔ a 2x + 6 = 4x + 3a ⇔ ( a 2 − 4 ) x = 3a − 6
Từ việc giải quyết bài toán đối với phương trình mũ ta đưa về giải quyết bài
toán đối với phương trình dạng đơn giản ax + b = 0. Phương trình có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi a 2 − 4 ≠ 0 . Bên cạnh các bài toán xác định giá trị ra khi biết giá
trị vào được ra ở dạng tường minh , đơn giản (đơn giản ở đây không phải là đơn
giản ở cách làm mà ở cách hiểu, cách xác định yêu cầu bài toán)
Thông qua giải toán phương trình, cần tập luyện cho học sinh xác định giá
trị ra khi cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào khi biết giá trị ra đối với tập hợp

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

19


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.

5

4
2
2
Dựng đồ thị (C): y = x − 4x + 3 và đường thẳng (d): y = log 1 ( a − a + 1) . Khi
5

đó số nghiệm của phương trình chính là

f( x) = ( x⋅x-4⋅x) +3
8

số giao điểm của hai đồ thị (Sự tương
ứng 1:1 giữa số nghiệm và số giao điểm

y

6

(C)

của hai đồ thị).

4

Dựa vào đồ thị ta dễ dàng suy ra kết
2

luận: (13) có 4 nghiệm phân biệt khi và


20


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
 x 2 + 2x + a ≤ 0
 2
x − 4x − 6a ≤ 0
Hoạt động tìm lời giải:
a ≤ − x 2 − 2x

- Biến đổi hệ về dạng tương đương: 
x 2 − 4x
a ≥

6
2
Dựng đồ thị (C1): f ( x ) = −x − 2x và

a
6

x 2 − 4x
đồ thị (C2): g ( x ) =
trên cùng hệ trục
6

g ( x) =


+

-4

f( x) = -x⋅x-2⋅x

gạch.
- Hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng a = α cắt miền gạch tại một điểm
duy nhất, tức là từ đồ thị suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi a =1 hoặc a = 0.
2.2. Xét tính chất của tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất
phương trình.
Khi phương trình (kể cả phương trình hàm) học sinh thường loay hoay với
các thủ thuật như: Biến đổi, phân tích, đặt ẩn phụ để giải chúng, có khi cho kết
quả ngắn gọn, nhanh chóng có lại khi phức tạp, thậm chí bế tắc. Giáo viên cần
hình thành ở học sinh thói quen xem xét vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
Đặc biệt giúp họ đoán nhận và giải quyết bài toán phương trình bằng việc sử dụng
công cụ hàm số, ánh xạ, dựa vào đặc điểm phương trình. Chẳng hạn nhận thấy hai
vế phương trình hoặc các biểu thức thành phần của phương trình là các hàm số
khác biệt nhau (giống nhau) về loại hình, tính chất. Nói cách khác, đặt phương
trình và giải quyết bài toán phương trình theo quan điểm hàm.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

21

10


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
Việc xét tính chất của tương ứng hàm, có ý nghĩa to lớn khi giải toán

chứng minh phương trình f(x) = 0 có thể có 1001 nghiệm phân biệt, thì trên ¡ ta
phải chỉ ra có đoạn [a; b] sao cho tồn tại các số chia đoạn [a; b] thành 1001
khoảng:

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

22


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
f(a).f(T1 ) < 0

f(T1 ).f(T2 ) < 0
a < T1 < T2 < … < T1000 < b thoả mãn: 
.....
f(T1000 ).f(b) < 0
Hoặc ngược lại thì phải chỉ ra không tồn tại đoạn [a; b] thoả mãn điều kiện trên.
Công việc này quả thật không dễ chút nào!
TX§ : R ®èi xøng qua x = 0
Hướng 2: Nhận thấy: 
f( −x) = f(x) ∀x ∈ R
Hàm số f(x) là hàm số chẵn trên ¡ , ta có f(0) = 1 ≠ 0 nên x = 0 không phải
là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Vì f(x) là hàm chẵn nên phương trình f(x) =
0 có nghiệm x0 thì - x0 cũng là nghiệm mà x = 0 không phải là nghiệm. Do đó f(x)
= 0 nếu có nghiệm thì số nghiệm phải là số chẵn tức là (1) không thể không thể có
đúng 1001 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
1
≥ 1 + m2

VT = f(x) =

3

(ax + b)2 + 3 (ax − b)2 + 3 a 2 x 2 − b 2 . Xác định trên ¡ và f(x) = f(-

x) nên VT là hàm số chẵn thì ta có thể vận dụng tính chất hàm số chẵn để giải bài
toán một cách dễ dàng. Thu được kết quả a ≠ 0 , b = 0 hoặc b = 1.
Qua các ví dụ trên cho thấy: Nếu khai thác và lợi dụng tính chất chẵn lẻ của
hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình thật hiệu quả đặc biệt là loại
tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất, hoặc có một số
các nghiệm nào đó .
Ví dụ 4: Giải bất phương trình :

sin2x > sin4x

(3)

Thông thường, học sinh biến đổi tương đương, thực hiện lời giải sau:
(3) ⇔ sin4x - sin2x < 0 ⇔ sinx.cos3x < 0
 sinx > 0

cos3x < 0
⇔
 sin x < 0

 co3x > 0
Trường hợp 1:
2kπ < x < π + 2kπ
2kπ < x < π + 2kπ

 π

⇔ π
⇔  − + 2kπ < x < 2kπ ÷

π
 6

cos3x > 0
− 2 + 2kπ < 3x < 2 + 2kπ

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

24


Phát triển tư duy hàm để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT thông qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình.
 5π

hoặc  − + 2kπ < x < π + kπ ÷
 6


( ∗∗)

Kết hợp ( ∗) và ( ∗∗) suy ra nghiệm là:
π
π


0)
x ≠ 0,x ≠ π
π

π
 5π

⇔  π
⇔  < x < ÷ hoặc 
< x < π ÷.
3π 
5π
2
6
 6

 2 < 3x < 2 ÷ hoÆc ( 6 ) ≤ 3x < 3π)



Vậy nghiệm của bất phương trình (3):
π
π

 5π

 6 + kπ < x < 2 + kπ ÷ hoặc  6 + kπ < x < π + kπ ÷


