Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

MỤC LỤC
Trang
A. PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài…………………………………………………………………...…2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. Cơ sở lý luận của đề tài………………………………………………………....4
II. Thực trạng của đề tài…………………………………………………………...4
2.1. Thực trạng chung……………………………………………………………....4
2.2. Thực trạng đối với giáo viên…………………………………………………..5
2.3. Thực trạng đối với học sinh…………………………………………………....5
III. Các giải pháp thực hiện………………………………………………………...6
3.1. Một số sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp, xác suất của học sinh
THPT……………………………………………………………………………… 6
3.2. Biện pháp giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán tổ hợp, xác
suất……………………………………………………………………………… 22
C. KẾT LUẬN………………………………………………………………… 24

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-1-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có

Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
II. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán
tổ hợp, xác suất từ đó nêu ra biện pháp khắc phục.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu một số quan điểm lí luận về sai lầm thường gặp trong giải toán
tổ hợp, xác suất của học sinh.
- Nghiên cứu những biện pháp khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ
hợp, xác suất.
IV: Giới hạn của đề tài:
Đề tài tập trung vào nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT
khi giải toán tổ hợp, xác suất.
V. Phương pháp nghiên cứu:
Để hoàn thành đề tài người viết ngoài việc tích cực học tập, trau dồi các kiến
thức đã học ở chuyên đề, tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan còn sử dụng
nhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học
để áp dụng thực hiện đề tài.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-3-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.

Cơ sở lý luận của đề tài.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-4-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
hợp được nhiều mặt giáo dục. Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩ năng tương ứng
cần truyền thụ cho học sinh trong chương trình phổ thông là hoàn toàn mới.
2.2.

Thực trạng đối với giáo viên.

Đối với đa số giáo viên không quen và không hào hứng khi dạy phần này, bởi
vì: Nội dung tổ hợp, xác suất mới được đưa vào chương trình phổ thông, cách suy
luận không hoàn toàn giống suy luận toán học thuần túy, hơn nữa các kiến thức về
Lí thuyết xác suất mặc dù giáo viên đã học ở chương trình đại học nhưng lâu
không dùng đến những kiến thức này đã ít nhiều bị mai một. Bên cạnh đó không
nhiều giáo viên ý thức được sự cần thiết phải dạy xác suất ở chương trình phổ
thông. Dường như đối với họ sự tuân thủ chương trình của bộ đề ra là vấn đề quan
trọng, còn vì sao chương trình phải có phần này thì họ không quan tâm lắm.
2.3.

Thực trạng đối với học sinh.

Đối với học sinh, hầu hết các em đều không hứng thú đối với việc học xác suất
vì những kiến thức này khó và mới lạ. Những điều đó là: Học sinh phải làm quen
với các khái niệm phép thử, không gian mẫu, các biến cố liên quan đến phép thử,
các phép toán trên biến cố, các định nghĩa xác suất và các công thức tính xác suất,
các vấn đề khó như: Các suy luận có lí có tính không đơn trị: Chúng có thể được
hiểu khác nhau đối với những bộ óc khác nhau và đối với những hoàn cảnh cụ thể

biến cố ngẫu nhiên sau đây :
Biến cố A1 : Không có mặt sấp nào xuất hiện
Biến cố A2 : Có một mặt sấp xuất hiện
Biến cố A3 : Có hai mặt sấp xuất hiện
Biến cố A4 : Có ba mặt sấp xuất hiện
Giải : HS giải như sau :
Ở kết quả của phép thử T : « Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng », có thể
xảy ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây :
A1 ; A2 ; A3 ; A4 và các biến cố này là đồng khả năng. Từ đó vận dụng định nghĩa cổ
1
điển của xác xuất sẽ tính được : P( A1) = P( A2 ) = P( A3 ) = P( A4 ) =
4
Sai lầm: Do HS ngộ nhận rằng các biến cố A 1; A2 ; A3 ; A4 là đồng khả năng.
Nhưng thực tế thì khi thực hiện phép thử T, biến cố A 1 chỉ có thể xảy ra một
trường hợp là trong kết quả của phép thử T, cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa.
Còn biến cố A2 có thể xảy ra trong 3 trường hợp:

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-6-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
- Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ nhất xuất hiện
mặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ hai xuất hiện
mặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ ba xuất hiện mặt
sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
Vậy khi thực hiện phép thử T, biến cố A 2 có khả năng xảy ra nhiều hơn biến

Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T , ở đồng xu thứ 2 xuất hiện mặt
sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T , ở đồng xu thứ 3 xuất hiện mặt
sấp, còn hai đồng xu khác xuất hiện mặt ngửa.
Vậy biến cố A2 có khả năng xảy ra nhiều hơn biến cố A1 , khi phép thử T thực
hiện. Bởi vậy các biến cố A1 , A2 , A3 , A4 là không đồng khả năng. Như vậy việc phân
tích này bước đầu cho ta thấy “trực giác” trên của học sinh là sai.
Lời giải đúng
a) Gọi Bi là biến cố “Đồng xu thứ i sấp” ( i = 1,2,3) , ta có:
1
A1 = B1 B2 B3 , P Bi =
2
Các biến cố B1 , B2 , B3 độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có
1
P ( A1 ) = P B1 P B2 P B3 = .
8
b) Ta có A2 = B1 B2 B3 ∪ B1B2 B3 ∪ B1 B2 B3
Theo quy tắc cộng xác suất, ta có
P ( A2 ) = P B1 B2 B3 + P B1B2 B3 + P B1 B2 B3

( )

( ) ( ) ( )

(

)


1
8

3

3
Vậy P ( A2 ) = .
8
c) Ta có A3 = B1B2 B3 ∪ B1 B2 B3 ∪ B1B2 B3
1
Lập luận tương tự câu b) ta được P ( A3 ) = .
8
d) Ta có A4 = B1B2 B3 , các biến cố B1 , B2 , B3 độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất,
ta có:
1
P ( A4 ) = P ( B1B2 B3 ) = P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) = .
8

3.1.2 Sai lầm khi nhận dạng và thể hiện khái niệm tổ hợp, xác suất

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-8-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Trong nhiều trường hợp, HS không hiểu rõ bản chất của các khái niệm tổ
hợp, xác suất do đó dẫn đến sai lầm khi giải toán.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa khác màu vào 5 lọ hoa khác
nhau ( mỗi lọ cắm không quá một bông )


1
6

1

Thì B là biến cố HS thứ hai lấy được quả lê, P( B) = 4
Gọi C là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau. Khi đó :
C = A.B + A.B . Áp dụng công thức cộng và nhân xác suất ta có :

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-9-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
1 1 1 1 1
P (C ) = P ( A).P ( B ) + P ( A).P ( B) = . + . =
6 4 4 6 12

Sai lầm: HS đã cho rằng các biến cố A và B là độc lập nên đã áp dụng sai
công thức nhân xác suất. Thực tế ở đây các biến cố không độc lập với nhau nên
không được sử dụng công thức nhân xác suất.
Nhưng lời giải đúng phải được trình bày như sau:
n(Ω) = A102 = 90

Gọi A là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau.
TH1: HS thứ nhất chọn được quả táo thì HS thứ hai chọn được quả lê
Có : 6 x 4 = 24 ( cách chọn )
TH2: HS thứ nhất chọn được quả lê thì HS thứ hai chọn được quả táo

c có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
a có 4 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân thì số các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau cần
tìm là : 4.6.5.4 = 480 số
Sai lầm: Ở đây HS đã quên mất điều kiện rằng buộc để abcd trở thành số tự
nhiên có 4 chữ số là a ≠ 0 , vì thế trong lời giải trên đã không xét đến trường hợp
trong 480 số có trường hợp có a = 0 và do đó nó không còn là số tự nhiên có 4 chữ
số nữa.
Lời giải đúng phải là:
Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có dạng : abcd
TH1: d = 0, Khi đó : a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân ta có tất cả : 6.5.4 = 120 số
TH2: d ≠ 0 khi đó : d có thể là 2,4,6 nên d có 3 cách chọn
a có 5 cách chọn ( do a ≠ 0 )
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân có tất cả : 3.5.5.4 = 300 số
3.1.6. Sai lầm trong việc nhận thức các suy luận hợp lý trong sự phân biệt
với các suy luận diễn dịch.
Trong mối liên hệ logic của Toán học ứng dụng, khi học Lí thuyết xác suất
học sinh buộc phải làm việc với cả suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí; thêm vào
đó cũng tại thời điểm này, các em đã và đang phải rèn luyện sử dụng các suy luận
diễn dịch. Do đó, làm thế nào để học sinh nhận thức được các suy luận hợp lí trong
sự phân biệt với các suy luận diễn dịch? Đồng thời, làm thế nào để giúp các em sử
dụng kết hợp hai suy luận này trong quá trình học Xác suất?
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 11 -


( )

phương trình (*), giáo viên nên hướng dẫn học sinh thử bằng máy tính bỏ túi.
Ví dụ 8: Bài tập 42, SGK tr85 ĐS-GT11 nâng cao.
Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm
trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9.
Bài giải của học sinh: Các kết quả của phép thử Ω = 63 = 216.
Kết quả của phép thử là bộ 3 số (x,y,z) trong đó x,y,z tương ứng là kết quả của
việc gieo con súc sắc thứ nhất, thứ 2, thứ 3. Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên
mặt xuất hiện của 3 con súc sắc là 9”.
Ta có: 9=1+2+6=1+3+5=2+3+4=1+4+4=2+2+5=3+3+3.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là Ω A = 6.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 12 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
6
1
Vậy P ( A ) = 3 = .
36
6
Bài giải trên của học sinh đã sai khi tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố A .

Kết quả mà học sinh tìm được là cái trực quan mà không suy luận lôgic.
Lời giải đúng
Ta có:

Ví dụ 9: Bài tập 26, tr 75 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để
a) Số được chọn là số nguyên tố.
b) Số được chọn chia hết cho 3.
 Sai lầm thường gặp
Số các phần tử của không gian mẫu là: Ω = 8
a) Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”.
Tập các số nguyên tố nhỏ hơn 9 là {2, 3, 5, 7}.
Do đó ta có Ω A = 4
Ω
4 1
Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) = A = = .
Ω 8 2
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 13 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
b) Gọi B là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”.
Tương tự, ta có Ω B = 2
Ω
2 1
Vậy P ( B ) = B = = .
Ω 8 4
 Nguyên nhân sai lầm
Học sinh đã nhầm lẫn giữa tập hợp các kết quả đồng khả năng và tập hợp các
kết quả thuận lợi với số kết quả đồng khả năng và số kết quả thuận lợi của một
biến cố. Học sinh mới tiếp cận với khái niệm xác suất, nên các em chưa hiểu được
bản chất của định nghĩa cổ điển của xác suất.


Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 14 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Giả sử một công việc X có thể thực hiện theo một trong k phương án A 1, A2, …,
Ak. Phương án Ai có ni cách thực hiện (i=1…k). Khi đó số cách thực hiện công việc
X là n1+n2+…+nk.
Quy tắc nhân:
Giả sử để hoàn thành công việc X cần phải thực hiên theo thứ tự k công đoạn
A1, A2,…, Ak. Công đoạn Ai có ni cách thực hiện (i=1…k). Khi đó số cách thực hiện
công việc X là n1.n2…nk.
Ví dụ 10: Bài tập 32, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” có thể dừng lại ở một
trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim
của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.
 Sai lầm thường gặp
Ba lần quay, mỗi lần quay có thể trúng 1 trong 7 vị trí, nên các kết quả có thể
xảy ra của phép thử là: Ω = 3.C17 .
Gọi A là biến cố: “Trong 3 lần quay chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại
ở ba vị trí khác nhau”.
1 1 1
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = C7 .C6 .C5
C17 .C1 .C51
A
6
=
.

C7 .C7 .C7
Ví dụ 11: Bài tập 31, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.

Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính
xác suất để trong 4 quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh.
 Sai lầm thường gặp
4 = 210.
Các kết quả có thể xảy ra của phép thử: Ω = C10
Gọi A là biến cố: “Trong 4 quả được chọn có cả quả màu đỏ và màu xanh”.
Tìm kết quả thuận lợi cho biến cố A
Trường hợp 1: Trong 4 quả được chọn có 1 quả màu đỏ và 3 quả màu xanh. Có
C1 + C 3 cách chọn.
4
6

Trường hợp 2: Số cách chọn được 2 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh là:
C 2 + C 2 cách.
4
6
Trường hợp 3: Số cách chọn được 3 quả đỏ và 1 quả xanh: C43 + C16 cách.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
Ω = C1 + C 3 + C 2 + C 2 + C 3 + C1 = 55
A
4
6
4
6
4
6
Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) =

4 6
Vậy xác suất của biến cố A là:
194
P ( A) =
= 0,924.
210
3.1.9. Sai lầm trong việc vận dụng công thức tính hoán vị - chỉnh hợp và tổ
hợp.
Ví dụ 12: Bài tập 29, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong một danh sách 20 người được đánh số từ
1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 (tính
chính xác đến hàng phần nghìn).
 Sai lầm thường gặp
Việc chọn 5 người có tên trong danh sách 20 người được đánh số thứ tự từ 1
5 .
đến 20 là tổ hợp chập 5 của 20. Do đó Ω = A20
Gọi A là biến cố: “Trong 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10”.
5
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = A10
A 5
10
Vậy xác suất của biến cố A : P ( A ) = 5 = 0,016.
A
20
 Nguyên nhân sai lầm

Học sinh vận dụng được lí thuyết để tìm ra số phần tử của không gian mẫu hay
số kết quả thuận lợi cho A là một số tổ hợp. Nhưng khi tính toán lại viết công thức
tính chỉnh hợp.
 Biện pháp khắc phục

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
5
Do đó xác suất của biến cố A : P ( A ) = 5 .
C
52
 Nguyên nhân sai lầm
Học sinh đã vận dụng quy tắc đếm sai để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố
A . Thực ra để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố A ta áp dụng quy tắc nhân mới
đúng.
 Biện pháp khắc phục
Nhắc lại hai quy tắc đếm cơ bản sau đó cho học sinh nhận xét nên dùng quy tắc
nào là đúng.
 Lời giải đúng
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = 1
1
Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) = 5 .
C
52

3.1.10. Khó khăn, sai lầm trong khi vận dụng các qui tắc tính xác suất
Quy tắc cộng xác suất:
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
Một cách tổng quát
Nếu k biến cố A1 , A2 , ..., Ak đôi một xung khắc thì:

(

) ( ) ( )

P A ∪ A ∪ ... ∪ A = P A + P A + ... + P ( An ) .

Nhắc lại cho học sinh quy tắc nhân xác suất và quy tắc cộng xác suất. Yêu cầu
học sinh nhắc lại giá trị xác suất của một biến cố luôn nằm trong đoạn nào?
 Lời giải đúng
Gọi A1 là biến cố: “ Thí sinh vượt qua vòng 1”. Ta có P ( A1 ) = 0,8.
Gọi A2 là biến cố: “ Thí sinh vượt qua vòng 2”. Ta có P ( A2 ) = 0,7.
Gọi A3 là biến cố: “ Thí sinh vượt qua vòng 3”. Ta có P ( A3 ) = 0,8.
Gọi A là biến cố: “Thí vượt qua 3 vòng thi”.
Áp dụng quy tắc nhân xác suất. Ta có xác suất biến cố A là:
P ( A ) = P ( A1 ) .P ( A2 ) .P ( A3 ) = 0,8.0,7.0,8 = 0,448 .
Ví dụ 15: Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập mỗi người
bắn một viên đạn, biết rằng trong đó có một viên trúng đích. Tìm xác suất để chỉ có
một người bắn trúng đích. Biết xác suất bắn trúng đích của từng người tương ứng
là 0,5; 0,7.
 Sai lầm thường gặp
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 19 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Gọi A1 là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng đích”. Ta có P ( A1 ) = 0,5.
Gọi A2 là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng đích”. Ta có P ( A2 ) = 0,7.
Gọi A là biến cố: “Một người bắn trúng đích”.
P ( A ) = P ( A1 ) .P ( A2 ) = 0,5.0,7 = 0,35.
 Nguyên nhân sai lầm
Đây bài toán tổng hợp, vận dụng cả quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất và tính
xác suất của biến cố đối. Do học sinh đã không đọc kỹ đề bài nên chỉ vận dụng quy
tắc nhân xác suất vào bài toán nên dẫn tới kết quả sai.
 Lời giải đúng
Ta có A = A1 A2 ∪ A1A2



Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
P ( B1 ) = 0,75 ; P ( B2 ) = 0, 25 (do đồng xu B có xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3
lần xác suất xuất hiện mặt ngửa và P ( B1 ) + P ( B2 ) = 1 ).
Gọi G là biến cố: “Khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đồng xu đều ngửa”.
Ta có xác suất của biến cố G là
P ( G ) = P ( A2 B2 ) = P ( A2 ) P ( B2 ) = 0,5.0, 25 = 0,125 .

3.1.12. Sai lầm khi xác định biến cố đối và tính xác suất của biến cố đối.
Biến cố đối:
Cho A là biến cố đối. Khi đó biến cố “không xảy ra A”, kí hiệu A , được gọi là
biến cố đối của A.
Định lí
Cho A là một biến cố. Xác suất của biến cố đối A là
P A = 1 − P ( A) .

( )

Ví dụ 17: Bài tập 35, tr.83 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để
trong ba lần bắn độc lập:
a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.
b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.
 Sai lầm thường gặp
a) Gọi H là biến cố: “Trong 3 lần bắn người đó bắn trúng hồng tâm đúng một
lần”.
Vậy xác suất của biến cố H là: P ( H ) = 0, 2.
b) Ta có 3 trường hợp


(

)

(

)

Ta có P ( K ) = P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3
Mặt khác
P A1 A2 A3 = P ( A1 ) P A2 P A3 = 0, 2.(1 − 0, 2).(1 − 0, 2) = 0,128

(

)

( ) ( )
Tương tự ta có: P ( A A A ) = P ( A A A ) = 0,128
1

2

3

1

2

3

G.Polya thì phương pháp chung để giải một bài toán có thể tiến hành theo 4 bước
như sau: Tìm hiểu nội dung bài toán; tìm cách giải; trình bày lời giải; kiểm tra và
nghiên cứu lời giải
GV có thể lưu ý thêm cho HS sơ đồ tìm kiếm lời giải bài toán như sau: Khi
tìm hiểu nội dung bài toán thì cố gắng xác định bài toán thuộc dạng nào? Nếu bài
toán thuộc dạng chuẩn quen thuộc đã có thuật giải cụ thể thì chỉ việc áp dụng để
giải. Nếu bài toán là chưa thuộc dạng chuẩn quen thuộc thì cần phân tích theo hai
hướng: một là tách bài toán ra thành các bài toán nhỏ có dạng chuẩn (thủ pháp chia
nhỏ), hai là diễn đạt bài toán theo một cách khác dẫn đến bài toán có dạng chuẩn
(thủ pháp mô hình hoá).
Với mục đích hạn chế và sửa chữa những sai lầm cho HS thì GV cần nhắc
HS chú trọng đến bước thứ 3 và 4 trong quá trình giải toán mà G.Polya đề xuất:
+ Hãy thực hiện lời giải bài toán với các gợi ý nhằm tránh sai lầm. Hãy kiểm
tra lại từng bước làm và xem có thể chứng minh được tính đúng đắn của từng bước
làm hay không ?
+ Sau khi giải xong hãy xem xét lại lời giải với các gợi ý của đề bài để kiểm
tra. Hãy thử xem kết quả tìm được có phù hợp với bài toán không, có đúng trong
trường hợp riêng hay trường hợp tổng quát không …
- HS được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm
trong lời giải. GV chú trọng hướng dẫn cho HS tự phát hiện ra những sai lầm của
mình, HS biết được nguyên nhân của những sai lầm đó là gì, cách khắc phục
những sai lầm đó như thế nào và cuối cùng là sau khi khắc phục những sai lầm đó
HS rút ra được những kinh nghiệm gì để không mắc phải những sai lầm tương tự.
Một cách học hiệu quả đối với HS là học từ chính những sai lầm của mình
để từ đó rút ra những kinh nghiệm để tránh những sai lầm có thể mắc phải. Vì thế
việc giúp cho HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm trong quá trình giải toán là
rất quan trọng trong quá trình dạy học của GV.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 23 -



Trịnh Trọng Trung
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 24 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu (2011), Phát hiện và sửa chữa sai
lầm cho học sinh trong dạy học Đại số - Giải tích ở trường phổ thông, NXB Đại
học sư phạm.
2. Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy
học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm.
3. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học
sư phạm.
4.G. Pôlya(1995), Toán học và những suy luận có lý. Nxb Giáo dục.
5.G. Pôlya (1997), Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục.
6.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê
Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số và giải tích 11 nâng cao. Nxb Giáo dục.
7.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê
Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số và giải tích 11 nâng cao (Sách giáo viên).
Nxb Giáo dục.
8.Đào Tam (2008), Tiếp cận các phương pháp dạy học không truyền
thống trong dạy học Toán ở trường đại học và trường phổ thông. Nxb Đại học sư
phạm.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 25 -