PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ
PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẳNG
1.ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
1.1.Ví dụ mở đầu
Trong mặt phẳng cho một đường thẳng
∆
cố định và
một véc tơ
→
v

≠
0
sao cho
→
v
không là véc tơ chỉ phương của
∆
.Với mỗi điểm M , ta xác định M’ như sau: vẽ d đi qua M
nhận
→
v
làm véc tơ chỉ phương và M’ = d
∩
∆
. Khi đó M’
duy nhất.
1.2.Định nghĩa 1
Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác
định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó.
Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh)

*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.
1.3.Ảnh của một hình qua một phép biến hình
1
∆
M
M'
Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M’=F(M) với M
∈
H} gọi là ảnh của
hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H’.
1.4.Tích của hai phép biến hình
*Định nghĩa 2
Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình F và G là phép biến hình H
có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình G và F. Ký hiệu là: H =
F

G.
Như vậy, theo định nghĩa:H(M) = F

G(M) = F(G(M)). (Có thể mở rộng cho
tích của một số phép biến hình).
2.PHÉP CHIẾU THEO PHƯƠNG
→
v
LÊN ĐƯỜNG THẲNG (PHÉP CHIẾU SONG SONG)
2.1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng
∆
và véc tơ
→

v
F
.
KÝ HIỆU
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
∆
: Ax + By + C = 0. Ký hiệu
→
n
= (A; B) là
véc tơ pháp tuyến của
∆
và
→
u
= (B; -A) là véc tơ chỉ phương của
∆
.
-Với mỗi điểm M(x
M
; y
M
), ta ký hiệu
∆
(M) = Ax
M
+ By
M
+ C là số thực khi
thay tọa độ của M vào vế trái

∆

biết rằng Aa +Bb
≠
0.
Giải: Đặt
→
v
= (a;b) là véc tơ chỉ phương của d, tacó
→
v
.
→
n
= Aa +Bb
≠
0. Ta cần
xác định giá trị t
0
thỏa mãn : A(x
0
+ at
0
) +B(y
0
+ bt
0
) + C = 0
⇔
(Aa +Bb)t

, y’
0
= y
0
+ bt
0
.
2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phương
→
v

Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau
*ĐỊNH LÍ 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
∆
: Ax + By +C = 0 và
→
v
= (a;b) sao cho
→
v
.
→
n
= Aa +Bb
≠
0. Khi đó
∆
→
v

=(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng
∆
:
0
3
2
32 =+− yx
.
2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phương
→
v
Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau
*HỆ QUẢ : Nếu
∆
→
v
F
biến M(x;y) thành M’(x’;y’) thì :



+=
+=
kbyy
kaxx
'
'
(Ib)
trong đó k = -
→→

n
=4
≠
0. Lấy M
0
(0;1) trên
d
⇒

∆
0
= 2.0 -1.1 +3 = 2. Khi đó k
0
=-
→→
∆
nv .
)(
0
= -
2
1
Vậy





=−−=
−=−=

d
u
=(3;-2) và
→
n
=(4; 5)
⇒

→
v
.
→
n
=2
≠
0. Lấy M
0
(1;-1)
∈
d
⇒
∆
0
= -7.
Khi đó k
0
= -
→→
∆
nv .

2
23
;-8).
3.PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẲNG
3.1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng
∆
và véc tơ pháp
tuyến
→
n
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:



∆∈
=
'
'
M
nkMM
(II)
gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng
∆
. Kí hiệu là:
∆⊥
F
.
*Lưu ý : ta thường sử dụng H thay cho M’ trong phép chiếu vuông góc.
4

n
(1), và H
∈
∆
(2).Thật
vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M
∈
∆
nghĩa là
∆
(M) = 0 suy ra k = 0. Khi đó từ (IIa)
⇒
H
≡
M.
- Nếu M
∉
∆
.Khi đó từ (IIa) suy ra (1). Từ k = -
2
)(
→
∆
n

⇔
k
2
→

*Chú ý : Trong định lí 1 chọn
→
v
=
→
n
ta có ngay định lí 2.
3.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu vuông góc
*HỆ QUẢ 1: Nếu
∆⊥
F
biến M(x;y) thành H(x
H
;y
H
) thì :



+=
+=
kByy
kAxx
H
H
(IIb)
trong đó k = -
2
)(
→

.
5