Không gian véc tơ Euclide

Bài giảng số 5. Đường và mặt bậc hai
I. Tóm lược lý thuyết
Định nghĩa 5.1: Tập F   được gọi là không gian hình học Euclide n chiều tựa trên E

nếu mỗi cặp điểm (M , N )  F tương ứng với một véc tơ của E , ký hiệu là MN thoả mãn
hai điều kiện sau đây:
  
a) MN  NP  MP với mọi M , N , P  F ;


b) Với mỗi điểm M  F và véc tơ a  E tồn tại duy nhất điểm N  F để MN  a.
Khi F là một không gian hình học Euclide thì các phần tử thuộc F được gọi là điểm.
Định nghĩa 5.2: Cho F là một không gian hình học Euclide tựa trên E , O là một điểm
của F ; hệ véc tơ {e1 , e2 , , en } là một cơ sở trực chuẩn của E . Khi đó bộ {O; e1 , e2 ,, en }
được gọi là hệ toạ độ trực chuẩn của F với gốc toạ độ O .
Định nghĩa 5.3: Giả sử {O; e1 , e2 ,, en } là một hệ toạ độ trực chuẩn của không gian hình

học Euclide F . Khi đó điểm M thuộc F sẽ tương ứng với véc tơ OM thuộc E và toạ độ

của OM theo cơ sở {e1 , e2 , , en } của E là toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ

{O; e1 , e2 ,, en } .
Định nghĩa 5.4: Tập con U của không gian hình học Euclide F được gọi là một siêu
phẳng của F nếu với mỗi hệ toạ độ trực chuẩn {O; e1 , e2 ,, en } của F thì U có dạng:

U  {M ( x1 , x2 ,, xn )  F | a1 x1  a2 x2    an xn  0}
Định nghĩa 5.5: Đường bậc hai hay đường Cônic là một tập hợp () các điểm trong không

Khi đó phương trình cônic có dạng:
1 x '2  2 y '2  2d ' x '  2e ' y '  f '  0
Trường hợp 1: 12  0
Khi đó phương trình của đường bậc hai () có dạng:

d' 2
e' 2
d '2 e '2
'
'
1 ( x  )  2 ( y  )  f 
  0.
1
2
1 2
'

d'

'
X

x


1

Đặt 
'
Y  y '  e


(4)

(5)

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

Định nghĩa 5.6: Mặt bậc hai hay đường Quadric là một tập hợp () các điểm trong không
gian hình học Euclide 3 mà các toạ độ trong hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương
trình:
ax 2  by 2  cz 2  2dxy  2eyz  2 fzx  mx  ny  pz  q  0.
(6)
Các hệ số a , b, c, d , e, f , m, n, p, q là các hệ số thực.
Chú ý rằng các hệ số a , b, c, d , e, f là các số thực không đồng thời bằng không.
Phân loại mặt bậc hai
Xét dạng toàn phương f ( x, y , z )  ax 2  by 2  cz 2  2dxy  2eyz  2 fzx
Gọi 1 , 2 , 3 là các giá trị riêng của dạng toàn phương.
Trường hợp 1: Nếu 1 , 2 , 3 đều khác 0 và cùng dấu, thì phương trình của mặt bậc hai

X 2 Y2 Z2


 1
đưa về dạng:

 1
hoặc
(10)
a 2 b2 c2
X 2 Y2 Z2


0
hoặc
(11)
a 2 b2 c 2
(9) là phương trình của mặt hypecbôlôit một tầng. Nếu a  b thì mặt bậc hai có dạng:
X 2 Y2 Z2


1
(12)
a 2 a2 c2
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

(12) là một hypecbôlôit tròn xoay một tầng sinh bởi hypecbôn có phương trình

X 2 Z2



1 X 2  2Y 2  k  0

(16)

(15) là phương trình của mặt parabôlôit. Đặc biệt khi 1  2 thì (15) là parabôlôit tròn
xoay sinh bởi parabol có phương trình: X 2 

2k
Z  0 trong mặt phẳng Oxz khi nó quay
1

quanh trục Oz.
(16) là phương trình của mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz. Đặc biệt khi 1  2
thì (16) là mặt trụ tròn xoay có phương trình: X 2  Y 2 

k
.
1

Trường hợp 3: Nếu 1  0, 2  3  0 , khi đó phương trình của mặt bậc hai có dạng:

X 2  2 pY 2  0

(17)

(17) là phương trình của mặt trụ parabôlic.
II. Các ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Nhận dạng các đường bậc hai sau đây:
1) 5 x 2  8 xy  5 y 2  18 x  18 y  9  0 ;

x

0
 1
2
vậy véc tơ riêng tương ứng là v1  (1,1) .
Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   9 thoả mãn hệ phương trình:

 4 x1  4 x2  0
 x1  x2 .

4
x

4
x

0
 1
2
Vậy véc tơ riêng tương ứng là v2  (1,1)
Đặt u1 

v1
1 1
v
1 1
 (
,
), u2  2  ( ,

2
2
Đặt    P  '   
 y
y 
 y  1 x'  1 y '

2
2
thay vào phương trình đường cônic ta có:
'

x '2  9( y '  2)2  9 .
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

 X  x '
Đặt: 
'
Y  y  2

X2 Y2

 1.
thì đường bậc hai là một Elip chính tắc có dạng:

Vậy véc tơ riêng tương ứng là v1  (1, 3) .
Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   2 thoả mãn hệ phương trình:

  x1  3x2  0
 x1  3x2

3
x

3
x

0

1
2
Vậy véc tơ riêng tương ứng là v2  ( 3,1)

 1

v1
1 3
v2
3 1
2
Đặt u1 
 ( ,
), u2 
 ( , ) . Khi đó ma trận P  
v1

Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

3

2 
1 

2 




Không gian véc tơ Euclide

thay vào phương trình đường cônic ta có:
( x '  1)2  ( y '  1)2  1

 X  x'  1
Đặt: 
'
Y  y  1
thì đường bậc hai là một hypecbol chính tắc có dạng: X 2  Y 2  1 .
Ví dụ 2: Nhận dạng và đưa các mặt bậc hai sau đây về dạng chính tắc:
1) x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  1  0 ;
2) 2 xy  2 xz  2 yz  6 x  6 y  4 z  0 .
Giải:
1) Xét dạng toàn phương: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx


 1



  0

3
 

2
Với   0 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:
1
1

 x1  2 x2  2 x3  0

1
 1
  x1  x2  x3  0  x1  x2  x3
2
 2
1
 1

x

x2  x3  0
1
 2
2
Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   0 là v1  (1, 1, 1).
3

2
 2
1
1
 1
  2 x1  2 x2  2 x3  0
Nghiệm tổng quát của hệ có dạng: (a  b, a, b) (a, b  )
3
là:
2
v2  (1, 1, 0), v3  v1  v2  (1,  1, 2) .

Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng  

Trực chuẩn hoá hệ véc tơ trực giao v1 , v2 , v3  ta được hệ véc tơ sau:

1 1 1
1 1
1
1 2 

), u2  (
,
, 0), u3  (
,
,
)
u1  ( , ,
3 3 3
2 2

1 

là ma trận trực giao.
6

2 

6 


1 ' 1 ' 1 '

x
x
y 
z

3
2
6
'
x  
x
1 ' 1 ' 1 '
  


Đặt  y   P  y '    y 
x
y 


Không gian véc tơ Euclide

0 1 1
A   1 0 1 
1 1 0


Khi đó phương trình đặc trưng của ma trận A có dạng:
 1
1
A  I  0  1
1


1

1 0


  2
 (  1)( 2    2)  0  
   1
Với   2 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
 2 x1  x2  x3  0

 x1  2 x2  x3  0  x1  x2  x3
 x  x  2x  0
3
 1 2





Khi đó ma trận P  (v1 v2 v3 )  





1
3
1
3
1
3



1
2
1
2
0

1 
6 
1 
là ma trận trực giao.
6 



Đặt  y   P  y '    y 
x
y 
z
3
2
6
z
 z'  
 
  
1 '
2 '
x

z
z 
3
6

Thay vào phương trình của mặt bậc hai, ta có:
16 '2 4 '
2 x '2  y '2  z '2 
x 
z 0
3
6
4 2


1) Xác định đường bậc hai ứng với gốc toạ độ;
2) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng của dạng toàn phương:
(a  1) x 2  2bxy  (a  1) y 2 .
3) Nhận dạng và đưa đường bậc hai (C) về dạng chính tắc biết điểm M nằm trên
đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
Giải:
1) Đường bậc hai tương ứng với điểm O(0, 0) có dạng:
x 2  y 2  1
Đây là phương trình của đường tròn ảo.
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

2) Ma trận của dạng toàn phương trên là:
b 
 a 1
A
 a  1
 b
Đa thức đặc trưng của ma trận có dạng:

   1  r
A   I  0  (  1) 2  a 2  b 2  0  
   1  r
Với   1  r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:

3) Vì M nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 nên ta có r  1 .




sin
cos

2
2  là ma trận trực giao.
Khi đó ma trận P  (v1 v2 )  



 cos
sin 

2
2

 '
 '

x


sin
x

cos

Khi đó đường bậc hai (C ) là một Parabol có dạng:
Y  2X 2
'

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

III. Bài tập tự giải
Bài 1: Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc các đường bậc hai sau:
1) x 2  2 xy  y 2  8 x  y  0;
2) 11x 2  24 xy  4 y 2  15  0;
3) 2 x 2  4 xy  5 y 2  24  0;
4) 5 x 2  4 xy  2 y 2  24 x  12 y  18  0.

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với cơ sở chính tắc xét điểm M (a, b ) trong đó

a  r cos , b  r sin  (r  0), và đường bậc hai tương ứng với điểm M có phương trình:
(a  1) x 2  2bxy  (a  1) y 2  2ax  2by  (a  1)  0

(C)

Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc đường bậc hai (C) trong các trường hợp sau:
1) M nằm trong đường tròn tâm O bán kinh bằng 1.
2) M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kinh bằng 1.
Bài 3: Nhận dạng và đưa về chính tắc các mặt bậc hai sau: