CHỦ ĐỀ
PHÁT TRIỂN CHƯƠNG TRÌNH DẠY HỌC THEO CHỦ ĐỀ PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11 CHO HỌC SINH YẾU KÉM

MỤC LỤC:
I. Mở đầu
1.1 Lời mở đầu
1.2 Các khái niệm liên quan đến chuyên đề
II. Nội dung
2.1 Tìn hiểu chương trình dạy học
2.1.1 Mục tiêu dạy học theo chủ đề phương trình lượng giác lớp 11
2.1.2 Phân phối chương trình phần dạy học phương trình lượng giác lớp 11
2.1.3 Thức trạng dạy và học toán nội dung phần phương trình lượng giác ở
trường THPT
2.1.4 Những lưu ý khi dạy học phần phương trình lượng giác
2.2 Chương trình dạy học phương trình lượng giác
2.2.1 Hệ thống lý thuyết và các dạng bài tập phần phương trình lượng giác lớp
11
2.2.1.1 Hệ thống lý thuyết
a) Công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biết
b) Các công thức lượng giác cơ bản
1


2.2.1.2 Hệ thống các bài tập lượng giác
a) Một số dạng bài tập cơ bản
b) Một số dạng bài tập khác
2.3 Những khó khăn và sai lầm mắc phải khi dạy và học phần phương trình
lượng giác
2.4 Một số hình thức tổ chức dạy học phương trình lượng giác lớp 11
2.5 Một số giáo án phần phương trình lượng giác

Toán học có vị trí rất quan trọng trong nhà trường và trong cuộc sống vì tất cả
các môn khoa học khác đều nghiên cứu dựa trên nền tảng của toán học. Những
kiến thức, kĩ năng của môn toán giúp học sinh phát triển năng lực tư duy như
phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa...và rèn luyện tính cẩn thận, tỉ
mỉ, chính xác, phê phán , sáng tạo...qua đó góp phần hình thành và phát triển
nhân cách cho học sinh. Do vậy, toán học là môn quan trọng. Trong chương
trình toán THPT phần nội dung kiến thức “ phương trình lượng giác”( Đại số và
giải tích 11) là một nội dung quan trọng nhưng không dễ đối với học sinh đặc
biệt là học sinh yếu kém.
3


“Phương trình lượng giác” là một chủ đề khó , chưa gây được hứng thú học tập
đối với học sinh THPT mà trong các đề thi quốc gia thường có nội dung
này.Đặc biệt, học sinh yếu kém có tâm lí ngại và sợ học chủ đề này dẫn tới hiệu
quả của việc dạy và học chưa cao. Để cải thiện tình trạng nói trên cần xây dựng
một chương trình dạy học tích cực, phù hợp với năng lực của học sinh.
1.2 Các khái niệm liên quan đến chuyên đề
- Chương trình (curriculum)
Theo thời gian, tùy thuộc vào quan điểm triết học, quan điểm về giáo dục trong
nhà trường của mỗi người mà cách hiệu quả và giải thích về chương trình của họ
sẽ khác nhau.Chẳng hạn họ hiểu và giải thích chương trình là:
1)Những gì được giảng dạy trong nhà trường
2) Tập hợp các môn học
3) Tất cả những gì diễn ra trong nhà trường.Bao gồm việc dạy, những hoạt động
trong giờ ngoài giờ học và các mối quan hệ giữa các cá nhân với nhau.
4) Những gì được dạy trong và ngoài nhà trường do nhà trường định hướng
5) Những hoạt động, kinh nghiệm mà người học trải qua trong trường và những
gì người học thu nhận được qua quá trình học của chính mình trong nhà
trường...

các tình huống, hoàn cảnh khác nhau.( theo tác giả Nguyến Hữu Châu)
-Thế nào là học sinh yếu kém môn toán? là những học sinh có kết quả học tập
toán thường xuyên dưới trung bình.Việc lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng
cần thiết ở những học sinh này thường đòi hỏi nhiều công sức và thời gian so
với những học sinh khác.

5


II, Nội Dung.
2.1 Tìm hiểu chương trình dạy học.
2.1.1 Mục tiêu dạy học theo chủ đề phương trình lượng giác lớp 11.
- Giúp học sinh giải được các bài toán về phương trình lượng giác một cách
thành thạo ,đạt hiệu quả.Qua đó phát huy tính tích cực ,tự giác chủ động của học
sinh , tác động đến tình cảm, đem lại niêm vui hứng thú học tập cho học sinh.
- Thông qua đó giúp bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn.
2.1.2 Phân phối chương trình phần dạy học phương trình lượng giác lớp 11.
Bài
§1. Các hàm số lượng giác.

Số tiết
3 tiết

Luyện tập

5 tiết.

§2. Phương trình lượng giác
cơ bản.


Luyện tập
Thực hành sử dụng máy tính
cầm tay
§3. Một số dạng phương
trình lượng giác thường gặp.

3 tiết
1 tiết
4 tiết

3. Phương trình = a.
4. Phương trìnnh = a.
Bài tập cần làm trang 28,29.
Tiết 1

6

I. Phương trình bậc nhất đối với một
hàm số lượng giác.
1.Định nghĩa.
2.cách giải
3.Phương trình đưa về dạng phương
trình bậc hai đối với một số hàm số


lượgn giác.
Tiế 2

Tiết 3

- Do thời lượng tiết học trên lớp còn hạn chế mà kiến thức cần truyền tải tương
đối rộng nên người giáo viên phải bố trí thời gian sao cho hợp lí và có những
phương pháp giảng dạy phù hợp để học sinh dễ tiếp thu hơn.
-Hầu hết học sinh đều thấy cần thiết phải học toán nhưng chưa có ý thức tự giác
học, ít có hứng thú mà chủ yếu là do áp lực kiểm tra thi cử, gia đình.
- Việc học của học sinh hầu như chỉ dừng lại ở việc học bài cũ và làm bài tập về
nhà trong sách giáo khoa, rất ít em chịu khó tìm thêm những sách tham khảo và
nâng cao để đọc.
- Đối với phần đa số học sinh trừ một số em thích học phần lượng giác ra thì đều
thấy rằng kiến thức phần này là rất khó do công thức lằng nhằng khó nhớ, hơn
nữa đây lại là phần kiến thức mới nên các em vẫn còn bỡ ngỡ.
- Chính vì các em học sinh thấy khó ở phần này từ đó đâm ra có tâm lý nản và
lười học dẫn tới học kém phần này.
7


2.1.4. Những lưu ý khi dạy học phần phương trình lượng giác.
- Cần tạo động cơ , gây hứng thú say mê yêu thích học tập môn toán.
- Tạo hứng thú sự yêu thích bộ môn toán thông qua việc cho học sinh thấy tầm
quan trọng của môn toán trong chương trình phổ thông và cấp học trên vai trò và
tầm quan trọng của môn toán trong cuộc sống.
- Tạo hứng thú cho học sinh bằng sự đổi mới phươg pháp, hình thức học tập.

2.2 Chương trình dạy học phương trình lượng giác
2.2 .1.Hệ thống lý thuyết và các dạng bài tập phần phương trình lượng giác
lớp 11
2.2.1 .1 Hệ thống lý thuyết
a) Công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biệt
 Hai cung đối nhau: (α và -α)



Sin(a ± b)= sina.cosb ± cosa.sinb
Cos( a ± b)= cosa.cosb sina.sinb
Tan( a ± b)=

* công thức nhân đôi,nhân ba
•
•
•
•
•
•

Sin2a = 2sina.cosa
Cos2a =
Tan2a =
Sin3a = 3sina –4a
Cos3a = 4
Tan3a =

* công thức hạ bậc
•
•
•

•

a=

* công thức biến đổi tổng thành tích

Nếu m là các giá trị đặc biệt tức là m {0;±1;±;± ;±}
Ta thay m=cosα ta được cosx=cosα 
Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì cosx = m  x=±arccos +k2π
• Dạng 3: phương trình tanx=m, m € R, điều kiện x≠
Nếu m là các giá trị đặc biệt m € { 0;±1;±;±}
Thì thay m = tanα ta được tanx=tanα  x=α+kπ, k € Z
Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì tanx = m  x=arctanm+kπ
• Dạng 4: phương trình cotx=m, m € R, điều kiện x≠
•

Nếu m là các giá trị đặc biệt m € { 0;±1;±;±}
Thì thay m = cotα ta được cotx=cotα  x=α+kπ, k € Z
Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì tanx = m  x=arccotm+kπ,k €Z
 Các giá trị đặc biệt:
• Sinx=1  x=
• Sinx=-1  x= • Sinx= 0  x= kπ
• Cosx=1  x=
• Cosx=-1 x=
• Cosx=0  x=
Gía trị lượng giác của một số cung đặc biệt cần ghi nhớ
α

0

π

0

1


Dạng 1: Áp dụng công thức lượng giác chứng minh,tính biểu thức.
Bài 1: Chứng minh rằng:
a, +x
b, 1- x =
Giải:
a, VT= =, = + =x+x =x=VP
b, VT =1- x =1- = = =
=

=

= VP

Bài 2:Đơn giản biểu thưc
a, P = 2
b,Q = ,
Bài 3: Tính các giá trị lượng giác của góc α biết sinα= và α € (0;
Bài 4: Chứng minh rằng: = 0
Dạng 2:Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương trình có dạng: at+b = 0, a,b ≠ 0,t là 1trong các hàm số lượng giác
Phương pháp:chuyển vế và chia 2 vế của phương trình cho a ta được phương
trình về phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1: giải các phương trình sau:
a, 3cosx+5 = 0
b,cotx – 3 =0
giải:
11

||



Ví dụ 2: Giải phương trình
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai, ta có:
1 <=>
Đặt ta được: <=>
Với t = 1 => , k�
Bài tập: Giải các phương trình sau
a,
b, 8
c, 2
d,
Dạng 4: Phương trình đẳng cấp bậc hai.
Phương trình có dạng: a (1)
Phương pháp giải:
Bước 1: Nếu thay vào (1) xem thỏa mãn không? Nếu thỏa mãn thì là 1 họ
nghiệm
Bước 2: , ta chia cả hai vế của phương trình (1) cho , ( đẳngcấp bậc ba)
Áp dụng công thức lượng giác : = 1 + => Đưa về phương trình đối với 1 hàm
số lượng giác là
Ví dụ: Giải phương trình:
6 (2)
Giải: + Nếu <=> thay vào phương trình (2) ta được
6.+ ( ( Vô lí).
13


+ Vậy ta chia cả hai vế của phương trình (2) cho x ta được: 62 +1
<=> 6
<=>4x +
<=> <=>(k

a, 2
b, 3
c,2
d,
Dạng 6: Phương trình đối xứng với
Dạng: a() +b
Phương pháp giải: Đặt = t,
=> =
Dạng tương tự:

a(

Phương pháp giải: Đặt t = =) = ) , => =
* Chú ý: Một số công thức đặc biệt
15


+
+
+)
+)
+)
Ví dụ: Giải phương trình. 5 (4)
Giải: (4) <=> 10
Đặt => =
Phương trình (4) trở thành: 10(
<=> 5 <=> 5 <=>
Với t=1, ta có: <=>
<=> <=> <=> (k
<=> (k

Ví dụ: Giải phương trình: +2(1)
Điều kiện: 5
(1) <=> = - 2( 1’)
Để phương trình có nghiệm <=> - 2
Bình phương hai vế của (1’) ta có:
17


5 <=> 5
<=>2
Kết hợp với điều kiện: <0 => Phương trình có nghiệm là x = - + k2
Bài tập : Giải các phương trình sau
a,
b, = 2
c, = 1 d, 3
Dạng 3: Phương trình lượng giác chứa tanx, cotx
Điều kiện của tanx : x
Điều kiện của cotx: x
Nếu điều kiện phương trình là tức <=> x
Đặt điều kiện xong ta đưa tanx , cotx về theo sinx , cosx
Ví dụ: Giải phương trình: (2)
Giải: Điều kiện <=> <=> x (k
(20 <=> + ) = 4
<=> ) = 4
<=>
<=> <=> = 4 <=> = 4
<=> 4
<=> ( k ( thỏa mãn đk )
18


cosx=0 hoặc 5-4sinx = 0
Với cosx =0 x=
Với 5-4sinx = 0  sinx= vô nghiệm (vì >1)
Vậy phương trình có một nghiệm là: x=

b, Giải phương trình ( cho học sinh thảo luận và làm bài tập, ai đưa ra kết quả
sớm nhất sẽ lên làm)
(3)
Ta có: =2 1
(3)<=> <=>
<=> <=> <=> (k

- Trong quá trình dạy học lý thuyết dùng phương pháp thuyết trình, giảng giải và
đôi khi dùng phương pháp vấn đáp,...
- Trong khi làm bài tập có thể tổ chức các phương pháp như làm bài tập nhóm,
ngoài ra sử dụng các trò chơi để học sinh nhớ các công thức lượng giác dễ
hơn,...
VD2:
- chia lớp thành 2 đội Xanh và Đỏ: các học sinh xếp hàng lên viết các công thức
mà mình nhớ được trong vòng 5 phút đội nào viết được nhiều công thức nhất,
nhanh nhất sẽ dành chiến thắng và đội còn lại sẽ bị thua,....(sẽ có các hình thức
20


xử phạt cho đội thua tùy theo từng trường hợp như: chép lại các công thức trên
5 lần, học thuộc các công thức và mai sẽ kiểm tra lại,...)
- Dùng các mảnh ghép đã ghi các công thức có sẵn và dán lên bảng . Gọi học
sinh lên bảng ai bốc được công thức nào sẽ viết một phương trình tương đương
với phương trình đó,....
- Và còn nhiều phương pháp khác ....

• Nhà trường cần tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh để đạt được
kết quả tốt nhất
• Chương trình dạy học này nên được phổ biến rộng rãi đến các giáo
viên trong trường để giúp học sinh phát triển một các đồng đều hơn,
tạo cho lớp học sự cân bằng về học lực và tư duy,..
• Nên áp dụng cho cả học sinh giỏi và xuất sắc những cách giải hay
những chuyên đề về lượng giác nâng cao,..
- Đề xuất
+ Tăng thời lượng , thời gian học , các hoạt động ngoài giờ cho học sinh ( ra
ngoại khóa ngoài sân trường như đo chiều cao của cây xanh ngoài sân trường
dựa vào góc lượng giác và bóng của cây,....ngoài ra có thể đo những thứ hay đồ
khác như: tòa nhà, chiều cao của chính mình,....
+ Cần bồi dưỡng cho giáo viên chưa có kinh nghiệm dạy học với học sinh yếu
kém,...( phụ đạo ). Tập huấn kỹ năng, năng lực cho giáo viên,...
+ Tập cho học sinh thói quen giải toán phải có cơ sở lí luận và phải thật đầy đủ.
+ Hiểu được vấn đề nhưng khi diễn đạt không trình bày được ý hiểu
+ Chỉ cho học sinh sai lầm, hướng khắc sai, kết luận vội vàng thiếu cơ sở lí luận,
những chỗ sai thường gặp để học sinh hiểu.
+ Giáo viên tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải.
22


+ Rèn luyện cho các em tính cẩn thận, chính xác không được vội vàng trong quá
trình giải toán.
+ Không xét hết các khả năng xảy ra giáo viên cần nêu cho học sinh thấy của bài
toán được tất cả các khả năng có thể xảy ra của bài toán.
+ Cần dạy cho học sinh cách kết luận nghiệm chính xác, các bước biến đổi
tương đương, các cung, góc bù nhau, phụ nhau, học thuộc các công thức, các
cách biến đổi...
+ Cần hỏi học sinh những chỗ mà các em hay mắc phải và khắc phục để sau