GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 1 -

LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình lượng giác là một trong các dạng toán cơ bản và quan trọng trong chương
trình toán THPT ,đặc biệt nó luôn được cấu trúc trong các đề thi Đại học-Cao đẳng hằng năm .
Thực tế,nhiều học sinh chưa có kỉ năng giải đúng và hoàn chỉnh một bài về phương trình
lượng giác . Thậm chí , giải phương trình lượng giác cơ bản có khi còn sai .Mặt khác bài tập giải
phương trình lượng giác trong SGK Đại số –Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, dạng cần rèn luyện còn
ít ,chưa được hệ thống sắp xếp ứng với từng chủ đề và các công thức lượng giác học ở lớp 10 phục
vụ cho việc giải phương trình lượng giác rất nhiều – Trong SGK chưa được tóm tắt và ôn tập lại.
Chuyên đề này là một phương tiện giúp các em học sinh dễ dàng nắm bắt các kiến thức cơ bản
và có kỉ năng giải tốt phương trình lượng giác ở mức độ yêu cầu phù hợp với chương trình chuẩn
kiến thức-kỉ năng và nội dung giảm tải của Bộ GD-ĐT đã ban hành bắt đầu từ năm học 2011-2012
 Mỗi chủ đề đều có:
 Tóm tóm tắt kiến thức cần nhớ.
 Dạng bài tập
 Phương pháp giải
 Bài tập mẫu
 Luyện tập
CHÚ Ý: Bài tập có dấu (*) là thuộc dạng bài giảm tải dành cho HS khá-giỏi lớp
Ban Cơ bản hoặc HS thuộc lớp Ban Tự nhiên
 Nội dung chuyên đề gồm :
 Chủ đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản
 Chủ đề 2: Phương trình lượng giác thường gặp
 Câu hỏi trắc nghiệm
 Phụ lục: Phương trình lượng giác trong các đề thi Đại học-Cao đẳng những năm gần đây
Bài tập dành cho HS tự luyện tập là các bài tương tự với dạng bài tập đã giải mẫu và bài
tập trong SGK cơ bản ,SGK nâng cao đồng thời được sắp xếp lại theo dạng . Chuyên đề tự biên soạn,
tất nhiên không sao tránh khỏi sai sót ,rất mong ý kiếnï đóng góp của q đồng nghiệp và các em HS
để chuyên đề được hoàn chỉnh hơn.

)
Ví dụ đơn giản Ghi chú
sinx =sin

sinx =sin
2
2
 



  

x k
x k
 
  

2 2
5 5
) sin sin
4
5
2 2
5 5
 
 

 
  

 
 

  


x k
x
x k

0
sin sin 20
 
x
0 0 0 0
0 0 0 0 0
20 .360 20 .360
180 20 .360 160 .360
 
   
 
 
    
 
 
x k x k
x k x k

 là số đã
biết theo đ/v

  
 

 

  

 
   

 
 

x k
x
x k

arcsin m
là
k/h sđ của
cung(rad)
mà có sin
bằng m
sin ( ) sin ( )f x g x( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( )
( ) ( ) 2



cos cos
12

x
2
12
2
12





 



  


x k
x k0
cos cosx0 0

  

x k
x kcos x m
-1 ≤m≤ 1
arccos m 2
cos
arccos m 2


 

 

  

x k
x m
x k

2
arcsin 2
2
3
cos
2
3



 

 

  

f x g x k
f x g x
f x g x k

cos2x = cos(x
3

 )
2 2
2
3
3
2
2 2
3
9 3





 


tan tan
  
   
x x k

tan tan
7

x
7


  
x k0
tan tanx0 0 0
tan tan 180    x x k

0 0 0
tan tan15 15 180   x x k

tanx = m m tùy ý
x≠


   
f x g x f x g x kPT :tan2x = tanx . ĐK cos2 x  0 và cosx ≠ 0 .
tan2x = tanx ⇔ 2x = x + k  ⇔ x = k  (thỏa ĐK)
DANG : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 3 -

cot cot x
cot cot
  
   
x x k

3
cot
3
x cot cot
3

 x
3

arccot
4
  
x k

arccot m
là
k/h sđ của
cung(rad)
mà có sin
bằng m
cot ( ) cot ( )

f x g x

f(x),g(x)
≠ k 
cot ( ) cot ( )

f x g x
( ) ( )

  
f x g x k

PT :cot2x = cotx . ĐK sin2 x  0 (1) và sinx ≠ 0 (2)
.
cot2x = cotx ⇔ 2x = x + k  ⇔ x = k  (0 thỏa)
 PTVN


x x k
x k

sin ( ) 1 f x
sin ( ) 1  f x ( ) 2
2

  
f x k
sinx = -1 2
2

   
x k

cos ( ) 0f x
cos ( ) 0 f x ( )
2

 
f x k
cos2x = 0 2
2 4 2
  
     
k
x k x
cos ( ) 1f x cos ( ) 1 f x ( ) 2f x k
cos 4 1 4 2
2

f x k

tan 2 1 2
4 8 2
  
      
k
x x k x
tan ( ) 1 f x
tan ( ) 1  f x ( )
4

  
f x k

tan 2 1 2
4 8 2
  
         
k
x x k x
cot ( ) 0f x
cot ( ) 0 f x ( )
2

 
f x k

cot 0 x
2

Chú ý: f(x) là biểu thức chứa ẩn x,có thể f(x) = x

 DẠNG BÀI TẬP
GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 4 -

DẠNG 1 :
( là số đã biết, f(x) là biểu thức chứa ẩn x)

 PHƯƠNG PHÁP: Dưa theo công thức nghiệm của PT sinx=sin , cosx=cos ,v.v…
Chẳng hạn PT
 
 
 
2

2
f x k
Sin f x sin
f x k
 

  

 
 

  
 
  

 

 



 
   



x k
x k
x k
x k Giải:
2 2
6 6
cos 2 cos
6 6
2 2
3
6 6
 


Giải:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
tan(2 1 ) tan19 2 1 19 .180 2 20 .180 10 .90x x k x k x k           
CHÚ Ý: Giải PT trên,HS còn sai lầm viết
0 0
2 1 19 .x k   
(?)

 LUYỆN TẬP Giải phương trình:
1. cos3x =
0
cos12
(3b/28-SGK 11 CB ) ĐS:
0 0
0 0
x 4 k.120
x 4 + k.120

 

 


2. sin(2x +25
0
) =
0

 
4. sin sin
3 2 3
 
 
 
 
 
x
ĐS:
4x k  
và
2
4
3
x k


  
Bài 1: Giải phương trình: sin( ) sin
6 3
 
 x
Bài 3: Giải phương trình:
0 0
tan(2 1 ) tan19x  
 
 
Bài 2: Giải phương trình: cos 2 cos
6 6

x (18a/29-SGK 11 NC ) ĐS:
5 3
x k
 
 
8.
1
tan 2 tan
2
x ĐS:
1
4 2
k
x

 
9.
1
cot2x cot
3
 
 
 
 
(18d/29-SGK 11 NC ) ĐS:
1
6 2
x k

  
GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 6 -
 DẠNG 2 :
  và f(x) là biểu thức chứa ẩn x
 PHƯƠNG PHÁP: Có 2 trường hợp :
Trường hợp 1: m là GTLG của các cung (góc) đặc biệt  ,chẳng hạn m =
1 3 2
, ,
2 2 2
,… (Đ/v sin và
cos) , m =
3
, 3
3
,…(Đ/v tan và cotang) .Khi đó ta thay m bằng các GTLG của cung (góc)  đó và áp
dụng công thức nghiệm dạng sinx=sin ,cosx=cos,…. đưa về PT 1 ẩn x để giải
Ví dụ:
3
sin( )
6 2

 x ( thay

    



tiếp tục giải tìm nghiệm x (  coi như số
đã biết, có sin bằng
1
3
)
hoặc
 
1
sin 2x 1
3
  
1
2x 1 arcsin k2
3

1
2x 1 arcsin k2
3

 

  

 



Sin α
2
1

2
2

2
3

Cos α

2
3

2
2

2
1

Tan α

3
3

1
3

Cotα

0 0 0 0 0 0 0 0
3
tan 15 tan 15 tan30 15 30 .180 45 .180
3
x x x k x k           
CHÚ Ý: Khi giải PTLG cơ bản trên, thực tế rất nhiều em HS sai lầm ở chỗ không viết:

0
3
tan30
3
 mà lại viết
0
3
30
3
 hay
3
3 6

 . Một nghòch lý và vô cùng sai lầm !

Giải: Ta có
3
2
=sin
3


 
       
 


 
x k x k
x k
x x
x k
x k x k
CHÚ Ý: Chỗ HS sai lầm cũng tương tự như trên, viết
3
2
=
3
 Giải:
1
cot 2 6 2 cot( 6) cot( 6)
2 2

         
k

2


 Chú ý trên cũng được hiểu tương tự đ/v các kí hiệu arcsina, arcccosa, arctana (a  ) Bài 2: Giải phương trình:
3
sin( )
6 2

 x
Bài 3: Giải phương trình: cot 2 6x Bài 1: (5a/29-SGK 11 CB )
Giải phương trình:
 
0
3
tan 15
3
x  

GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 8 - Giải:
 


  




   

 LUYỆN TẬP Giải phương trình:
1.
1
sin
6 2
x

 
 
 
 
ĐS:
2x k 
và
2
2
3
x k


4. sin(x +2) =
1
3
(1a/28-SGK 11 CB ) ĐS:
1
x -2+arcsin k2
3
  và
1
x -2+ -arcsin k2
3
  
5.
2
cos( 1)
3
x
 
(3a/28-SGK 11 CB ) ĐS:
1
1 arccos 2
3
x k   
6.
0
tan( 5 ) 5
x
 
(18b/29-SGK 11 NC) ĐS:
0 0 0


9.
1
sin( )
5 2

 x ĐS: 2
30

 
x k
và
19
2
30

  
x k

10. (16b/28-SGK 11 NC) Tìm nghiệm của PT sau trong khoảng đã cho:

3
cos( 5)
2
 x với –  <x<  ĐS:
11
5
6

 và

   
cosf x 0 f x
2
k


    v.v…
 BÀI TẬP MẪU:
Giải:
2
sin 3 1 3 2
2 6 3
  
      
k
x x k x
Giải: sin( ) 1
6

  x 2 2 2
6 2 6 2 3
    
              
x k x k x k

 
 
x ĐS:
4
x k

  
3.
 
0
cos 30 1  x ĐS:
0 0
30 (2 1).180x k  
4.
2
sin 0
3 3
x 
 
 
 
 
(1c/28-SGK CB) ĐS:
3
2 2
k
x
 
 
5.

0
tan(2 30 ) 1 x
Bài 1
:(1b/28-SGK CB) Giải phương trình:
sin 3 1x

GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 10 -
7. tan 1
3

 
 
 
 
x ĐS:
7
12
x k

 
8. tan 0
2 8

 
 
 
 
x
ĐS: 2

 
11.
cot 1
6
x

 
  
 
 
ĐS:
5
12
x k


 
12.
 
2
sin 2 0
x x
 
(Ban TN) ĐS: 2 4 , , 1     x k k k
13.
 
cos sin 1
x

(Ban TN) ĐS: x= m, m 
GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 11 -
Sin[f(x)] = sin[g(x] ,cos[f(x]) = cos[g(x)]
tan[f(x)] = tan[g(x)], cot[f(x)] = cot[g(x)]

 DẠNG 4 : (f(x) ,g(x) là các biểu thức chứa ẩn x)
 PHƯƠNG PHÁP: Áp dụng công thức biến đổi tương đương giống như công thức nghiệm
của các PTLG cơ bản sinx=sin ,cpsx=cos v.v…
Chẳng hạn:PT
 
 
 
( ) 2

2
3x= 2 2
2
2
2

 








 
 


 

  

 
 
  

  
  
 
Giải: Theo đề bài là đi giải phương trình:
tan tan2
4
x x

 
 
 
 

ĐK
cos2x 0
4 2
cos 0
4 2
4
4 2
x k
x k
x
x k
 
 

 

 
 
x +k   x=
12 3
 

k

Đối chiếu ĐK , xét 3 trường hợp :
 k = 3m  x=
12


m
(thoã ĐK)
 k = 3m +1  x=
5
12


m
(thoã ĐK)
 k = 3m +2  x=
3
4


m
( không thoã ĐK)
Bài 1: Giải phương trình: cos3x=cos 2

1. (*) ( 2/28-SGK 11CB )
Với giá trò nào của x thì giá trò của các h/s y= sinx và y=
sin3x
bằng nhau?
ĐS:
x k
và
4 2
 
 
k
x
Giải phương trình:
2. cos 2x =cos
6 6
 
   
 
   
   
x ĐS: 2
3

 
x k
và
2
3




5.
tan2x=tanx
ĐS: x = k 

     GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ


2

Chú ý: Hai cung phụ có tổng sđ bằng
2

(90 )
sin (
2

-α) = cos α , cos (
2

-α) = sinα , tan(
2

-α) = cot α ,cot(
2

-α )=tan α
Ghi chú : Để dễ nhớ các công thức (1) ,(2) và (3) ta nhớ câu “ cos đối,sin bù ,phụ chéo nhau”

 BÀI TẬP MẪU:

Giải:
2 2
1
6
12
sin 2 sin 2 sin sin 2 sin

x k x k

Giải:
2 3
cos( ) cos( ) cos cos( ) cos ( )
5 2 5 4 5 4
3 3 19
2 2 2
5 4 4 5 20
3 3 11
2 2 2
5 4 4 5 20
x x x côngthứccungbù
x k x k x k
x k x k x k
    
    
  
    
  
         
  
       
  
    
  
          

sin 2
2
 x
Bài 2: Giải phương trình:
2
cos( )
5 2

  x
Bài 3: Giải phương trình: tan 2x = cot
5


Áp dụng công thức hai cung (góc) đối nhau,bù nhau ,phụ
nhau để đưa PT về dạng PTLG cơ bản
GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 14 -
Giải: ĐK: cos3x  0 và cosx  0 .Khi đó
1
tan3 .tan 1 tan3 cot tan 3
tan 2 2 8 4
k
x x x x x x x k x
x

  ,v.v….
Muốn làm mất dấu “ - “ trước cos thì dùng công thức cung (góc) bù.

Vi dụ:
3
cos cos
4 4
 
 
Muốn đổi tang  cot ,sin  cos và ngược lại thì dùng công thức cung (góc) phụ nhau

Vi dụ: cot
5


tan
2 5
 
 

 
 
, sin 20
0
= cos70
0
,….
 LUYỆN TẬP Giải phương trình:
1.
3x 1

15
x k


 
23
2
15
x k


 
3. cot(3 1) 3  x (5b/29-SGK 11 CB ) ĐS:
1 5
3 18 3
x k
 
  
4.
2 1 1
cot tan
6 3
x 
 

 
 
ĐS: x =
3 3
2


HD: Û cos5x =
cos 3 5 3 2
2 2
x x x k
 

   
     
   
   
. ĐS:
16 4
 
 
k
x và
4

  
x k

8. (*) (6a/37 -SGK 11CB )
   
tan 3 1 .tan 2 1 1
x x
  
ĐS:
10 5
 

    
 CHÚ Ý: Có thể áp dụng công thức hạ bậc để giải
 BÀI TẬP MẪU:
Giải:
2
x= k (1)
cos2x= 1 2x= k2
cos 2x=1
(2k+1)
cos2x= 1 2x= (2k+1)
x= (2)
2





 

  
 


 


Cách khác: (áp dụng công thức hạ bậc)

Giải:
2
x=
2x=
cot 2x= 1
8 2
4
cot 2x= 1
cot 2x= -1
2x= - x= -
4 8 2
 

  







  






 


3. (4b/41 -SGK 11CB)
2
1
sin 2
2
x ĐS: x=
8

 
k
và
3
x=
8

 
k

4. (4c/41 -SGK 11CB)
2
1
cot
2 3

x
ĐS:
2
x= 2
3


2
[f(x)] = m ,cos
2
[f(x]) =m
tan
2
[f(x)] =m cot
2
[f(x)] =m

GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 16 -
6.
2 0
cot 30 = 1
2
 

 
 
x
ĐS:
0 0 0 0
150 360 , 30 360    x k x k
7. tan
2
1
2
5 3


 DẠNG 7:  PHƯƠNG PHÁP:
Chú ý : 1/
0
0
0
A
AB
B


 



, 0 0( : 0)
A
A ĐK B
B
   

2/ Khi giải các PTLG có chứa tan ,cot (trừ PTLG cơ bản) thì phải nêu ĐKXĐ của PT để tan
hay cot có nghóa

 BÀI TẬP MẪU 
4

 
x k
(Loại)
Bài 1
: (5d/29-SGK 11CB) Giải phương trình: sin3x cotx = 0
3
( 3 , )
sin3 0
3
sin3x cotx 0
cot 0
(ThoK)
2
2
k
x k
x k m m
x
x
x k
x k û





x
in x

sin 2 1 2 2
2 4
 
          
x x k x k
1 sin 2x 0
2 2
2 4
2cos 2 0 cos 2 0
2 2
2 4
 
 
 
 
 
   
 
    
 
 
     
 
 
x k x k


 
x k
hoặc
2
2
cos 0
2
2
x k
x
x k





 

 


 



+ Bài tập trên ta áp dụng cách ghi thứ 2 thì việc loại nghiệm đơn giản hơn

 LUYỆN TẬP Giải phương trình:
1.

x k
và
x k

5. tan
2
x – sin
2
x = 0 ĐS:
x k

6.
2sin2
0
1 cos
x
x


ĐS: x = k2π , x =
2
k



7.
1 cos
0
s



    

GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 18 -  DẠNG 8 : (Dành cho HS Khá-Giỏi hoặc HS Ban TN)  CHÚ Ý: Công thức lượng giác:
CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN

2 2
1sin cos ,    
(1)
1
2
tan ,( k )
cot

 

 
(4)

2

2
1
1
cot ,( k )
sin
  

  
(6)
CÔNG THỨC CỘNG
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b a b a b
a b a b b a
a b
a b
a b
 
  

 



CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
2 2
2








CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI:
 TÍCH THÀNH TỔNG 1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
   
 
 
    
 
 

a b
a b
 
 
 
  
 
 
 
 

 


CHÚ Ý :

Cách nhớ “ cos cộng cos bằng hai cos cos ,cos trừ cos bằng trừ hai sin sin ,sin cộng sin bằng
hai sin cos ,sin trừ sin bằng hai cos sin”

BÀI TẬP MẪU

Giải: Áp dụng công thức nhân đôi ,ta có:
1 1 1
sinx cosx  sin2 sin2 1 2 2
2 2 2 2 4
x x x k x k
 


 
  

           


 
 


 



    




Giải: PT(*) 

 
cos8x cos6x cos4x cos2x(Theo công thức hạ bậc)
cos7x.cosx 2cos3x.cosx (Theo công thức tổng tích)
2
cosx 0

5
x k
k
x
k
x
k
x
k
x







 






  





Bài 3:
Giải phương trình: sin
2
4x + sin
2
3x = sin
2
2x + sin
2
x (*)

GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 20 -

 LUYỆN TẬP Giải phương trình:
1.
2
sin cos
2 2 4
x x
 ĐS: 2
4
x k




4.
 
2
sinx cosx  1
2
  ĐS: 2
4
x k


 
5.
1
cos²2x sin²x
2
  HD: Áp dụng công thức hạ bậc sin
2
x  PT tích
6.
cos5 sin 4 cos3 sin2x x x x
ĐS:
2
k
x

 và (2 1)
14
x k

 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Phương trình bậc nhất đối với ẩn x:ax b 0( 0)
b
a x
a
      (Chuyển b sang VP,chia 2vế cho a)
2/ Phương trình bậc hai đối với ẩn x :
2
ax bx+c 0( 0)
a
  

 Nghiệm trong trường hợp đặc biệt :

·a b c 0   
2
1
ax bx+c 0
x
c
x
a




2
' ( ') 0
b ac
   2
2
ax bx+c 0
2
b
x
a
b
x
a

  



  

  



hoặc
2
'

3
2cosx 3 0 2cosx 3 cos cos  2
2 6 6
x x k
 

          
( Là PT bậc nhất đ/v tan
2
x
)
Giải:
x x 3 x x 2
3tan 3 0 tan 3 tan tan 2
2 2 2 3 2 3 3
3
k x k
  
 
 
                 
 
 


   
0 0 0 0 0 0 0
sin 60 1 0 sin 60 1 60 90 .360 30 .360x x x k x k               

( Là PT bậc nhất đ/v cos2x)
Giải:
3
2cos2x- 3 0 cos2x 1
2
   
 PTVN
( Là PT bậc nhất đ/v
 
cot x 2 )
Giải:
   
3 3 3
2cot x 2 -3 0 cot x 2 x 2 cot 2 cot
2 2 2
arc k x arc k             
Giải:


 LUYỆN TẬP: Giải phương trình:
1.
2sin3x +3 0
ĐS: Vô nghiệm
2. 3 cot -1 0
2
x
 ĐS:
2
2
3
x k


 
3.
3
2cos x 2 0
4

 
  
 
 
ĐS:
x k

4. 3tan -2 0
2

x k


   và
8
x k


  
7. (*)
2sinx sin2x 0 
ĐS:
x k

8. (*)2sin sinx 0
2
x
 
ĐS:
2x k 

9. (*)
tan tan 1
4
x x

 
  
 
 GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 23 -

10. (*) (3d/179-SGK 11CB) 1 cos sin ( [ ;3 ])x x x
 
  
HD:
0
A B
A B
A


 



 PT:
cos 0
cos 1
x
x







t = 1 Þ cosx= 1 Û x= k2p .Vậy PT có nghiệm là x = k2
 CHÚ Ý : Có thể trình bày giải trực tiếp , không cần đặt ẩn phụ :
2
cos 3cos 2 0
x x
  

cos 1
cos 1 2
cos 2( )
x
x x k
x VN



    




Giải:

Bài 1: Giải phương trình:
2
cos 3cos 2 0
x x
   Bài 2 : Giải phương trình:
2
cot 3 cot3 2 0
x x
   Bài 3
(*)
: (3a/37-SGK 11CB) Giải phương trình:
sin² 2cos 2 0
2 2
x x
  
Giải: ĐK: cos2x  0 và sin2x  0 .Khi đó :
2
tan2 1
1
tan2x – 2 cot2x 1 0 tan2x – 2 1 0 tan 2 tan2 2 0
tan2
tan2 2
2
8 2
4
1
2 arctan( 2)
arctan( 2)
2 2
x
x x
x
x
k
x
x k
k
x k
x
 




  
ĐS: 2
2
x k


  
2.
2
cos 3 cos3 6 0
x x
  
ĐS: Vô nghiệm
3. (5a/41-SGK 11CB)
2
2cos 3cos 1 0
x x
  
ĐS:
2x k 
và 2
3
x k


  
4.
2
tan 2 tan2 2 0
x x

  
 
 

6. (*) cos² 2sin 2 0
2 2
x x
  
ĐS:
2x k  

7. (*)(3b/37-SGK 11CB)
2
8cos 2sin 7 0
x x
  
ĐS: 2
6
x k


  và
5
2
6
x k


 
8. (28b/41-SGK 11 NC)

  và arctan( 2)x k  
11. (*) 3tanx – 6cotx 2 3 -3 0  ĐS:
3
x k


  và arctan( 2)x k  
Bài 4
(*): Giải phương trình:
tan2x – 2 cot2x 1 0  GV: Nguyễn Văn Khánh CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC LỚP 11 T.H.P.T số 2 Phù Mỹ
- 25 -
12. (*)
2 2
cos 2 sin 2 0
x x
  
ĐS: (2 1)
2
x k

 
 DẠNG 3: ( Dạng giảm tải -Dành cho HS Khá-Giỏi hoặc HS Ban TN)
PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX


x
  .Từ đó, chuyển vế và cũng đưa về PT bậc II đ/v tanx
3) Ngoài ra ,để giải pt (*) có thể dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi  pt dạng
bậc nhất đ/v sin 2x và cos2x
 BÀI TẬP MẪU: Giải:
 Xét cosx = 0  sinx = 0 (Vô lý)  không thỏa mãn pt
 Xét cos²x  0 ,chia 2 vế của pt cho cos²x ta có pt :
tan 1
4
2tan ²x tanx – 3 0
3
3
tan
arctan( )
2
2
x
x k
x
x k






 

x =
2
3
(không thỏa mãn PT) .
 Xét cos²x  0 ,chia 2 vế của pt cho cos²x ta có pt :
2 2
2
tanx=1
2
3tan²x -4tanx + 5 =2(1+tan x) tan x-4tanx+3=0
4
tanx=3
cos
arctan3
x k
x
x k





 

   



 
