V.Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số
V.1 - Bất đẳng thức
1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa : Cho hai số a và b ta có a > b

a b > 0
b) Một số bất đẳng thức cơ bản :
01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức :

2
0
n
A n Ơ
với A là một biểu thức bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

2
0
n
A
;
0;A n Ơ
; dấu bằng xảy ra khi A = 0

A B A B+ +
Với
0; 0A B
dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không

A B A B
với A B o dấu bằng xảy ra khi B = 0
02) Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối

- Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu dới các dạng sau :

2
a b
ab
+

Với a và b là các số không âm

( )
2
4a b ab+ Với a và b là các số bất kỳ

( )
2
2 2
2
a b
a b
+
+
Với a và b là các số bất kỳ
Dấu bằng xảy ra khi a = b
04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi Svac ) :
- Cho hai bộ các số thực:
1 2
, ,...,
n
a a a
và

khác 0 và nếu
0
i
a =
thì
i
b
tơng ứng cũng bằng 0
- Hoặc có một bộ trong hai bộ trên gồm toàn số không
- Bất đẳng thức Côsi Svac cho hai cặp số :

( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ax by a b x y+ + +
Dấu bằng xảy ra khi ay = bx
05) Bất đẳng thức
1
2x
x
+
Với x > 0 ;
1
2x
x
+
Với x < 0
c) Các tính chất của bất đẳng thức :
01) Tính chất bắc cầu : Nếu a > b và b > c thì a > c

0 < a < 1
n m
a a <
Với n > m
a > 1
n m
a a >
Với n > m
2. Một số điểm cần l u ý :
- Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không đợc trừ hai bất đẳng thức cùng
chiều hoặc nhân chúng khi cha biết rõ dấu của hai vế . Chỉ đợc phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng
một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó
- Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra đợc số lớn nhất và số nhỏ nhất .
Tính chất này đợc dùng để sắp thứ tự các ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức
3. Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức :
3.1. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thức x thì :
2
2
3 4 11
2
1
x x
x x
+ +

+
Giải :
Ta có :
2

Ví dụ 2 : Cho a, b
Ă
và a+b

0 . Chứng minh rằng
5 5
2 2
a b
a b
a b
+

+

Giải :
Ta có :
( )
5 5 2 2
5 5 5 5
2 2 2 2
0 0
a b a b a b
a b a b
a b a b M
a b a b a b
+ +
+ +
=
+ + +
Xét tử của M :

Vì a+b

0 nên M=
( )
2
2
2
1 3
2 4
a b a b b +

ữ
> 0 do a, b không thể đồng thời bằng 0

3.2. Ph ơng pháp phản chứng:
Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn
0
0
0
a b c
ab ac bc
abc
+ + >


ữ ữ

Cách 2 : Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
( )
2
2
1 1
(1 )(1 )
1 1 1
2
1 1 (1 )(1 )
2 1 1
2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xy
x y
x y
x y
x y x y
xy xy
xy x y x y xy
x y x y
+
+ +
+ +
+
+ + + +
+ +
+ + + <=> + + +
+ + + +





=

=



Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta có a=
5 4
3
b
Vậy
2
2 2 2 2 2
5 4
1 1 25 40 16 9 9
3
b
a b b b b b


+ + + +
ữ( )
2

a
+
Giải :
Ta có :
1 1 15
16 16
a a
a
a a
+ = + +
áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dơng
16
a
và
1
a
ta có :
1 1 1 1
2 . 2
16 16 16 2
a a
a a
+ = =
Mà :
15 15 15
4 .4
16 16 4
a
a =
Vậy

và không đồng thời xảy ra (2x-1)
2
= (y-3)
2
= (x-y)
2
= 0
3.4. Ph ơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của ph ơng trình :
Ví dụ9 : Chứng minh rằng nếu phơng trình:
2x
2
+ (x + a)
2
+ (x + b)
2
= c
2
Có nghiệm thì 4c
2


3(a + b)
2
8ab
Giải
Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 2 0x x a x b c x a b x a b c+ + + + = + + + + + =

11
1
1
=
+
>
+

1 1
2 2n n
>
+
+ .

1 1
2 1 2n n
>


2
1
2
1
.
2
1
...
2
1
1

+

+
Với mọi x
b ) Nếu a + b < 0 thì
( )
3 3
a b ab a b+ +
c ) Nếu x
3
+y
3
= -2 thì
2 0x y + <
d ) Nếu x
3
+y
3
= 16 thì 0 < x +y 4
Bài 3 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a ) Nếu a
2
+b
2
= 13 thì a
2
+b
2
2a +3b
b)

2
a b a b
a
+ +
>
b ) áp dụng so sánh
2007 2006
và
2006 2005
Hớng dẫn giải :
Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có 1

= b
2
+ c
2
và 1> b; 1 > c
Vậy 1= b
2
+ c
2
> b
3
+ c
3
Bài 2 : a) Ta có : Vì x
2
- x +1 =
2
1 3

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2
2
2 2
2 0 0
a b ab a b a b a ab b ab a b
a b a ab b a b a b
+ + + + +
+ + +
Đúng vì a +b < 0 và a+b
2
0
c) Ta có
( )
( )
3 3 2 2
2 x y x y x xy y = + = + +
Mà
2
2 2 2
3
0
2 4
y
x xy y x y

2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 3 13
2 3 2 3
a b a b a b a b
a b a b a b a b
+ + + = + = +
+ + + +
Dấu bằng xảy ra khi a = 2 ; b = 3
b) Ta có :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 4 2 1 0
4 4 1 4 4 1 2 0
2 1 2 1 0
x y x y xy
x x y y x xy y
x y x y
+ + +
+ + + + + + +
+ + + +
Điều này luôn luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi
1 1
;

2
1 1 1 1 4
4
2 1 1
1
x x t t t t
x
+ = + =
+

Mà 4 - x
2
< 4 do 0 < x < 2.
Vậy:
( )
( )
2
2
1 1
4
2
1
x
x x
x
+ >


Bài 5: a) Ta có
2

a
b) Tìm GTNN: f(x)

g(x) a
Cách 2: a) Tìm GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x)

0; g(x)

a)
b) Tìm GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a)
Với biểu thức nhều biến có cách làm tơng tự
2. Một số diểm cần l u ý :
- Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức . Nếu biến lấy giá trị trên toàn tập
Ă
thì vấn đề đã
không đơn giản . Khi biến trong biểu thức chỉ lấy giá trị trong
, ,Ô Â Ơ
hoặc một khoảng giá trị nào đó thì
vấn đề càng phức tạp và dễ mắc sai lầm .
- Một sai lầm thờng mắc phải đó là khi biến đổi các biểu thức theo cách 1 hoặc cách 2 . Ta kết luận giá trị
lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức là a nhng dấu bằng không xảy ra đồng thời
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 4x
2
+ y
2
+2xy+3x+5
Lời giải 1 :
( ) ( )
2 2


Lời giải 2 : Ta có
( )
2
2
2 2 2
1 17 1 17 17
2 3 3
4 4 2 4 4
P x xy y x x x y x

= + + + + + + = + + + +
ữ ữ

Vậy Min P =
17
4
Khi
1
0
2
1
1
0
2
2
x y
x
x
y

4 4 4 4 4 2
a a
P a a a a
a a a
= + = + + + +
Vậy Min P =
7
2
khi a = 2
3. Bài tập ví dụ :
-Về bản chất bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức và bài toán chứng minh bất đẳng
thức có thể coi là tơng đơng nhau . Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức nếu ta phán
đoán đợc kết quả thì bài toán trở thành chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 3: Cho x, y, z

R thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Tìm GTLN của P =
zyx 32
++
Giải:
Theo bất đẳng thức Cosi Bunhiacopxki ta có:
P
2
= ( x + 2y + 3z)