SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

I . Một số kiến thức cơ bản
Xét đa thức ẩn x với các hệ số : a0 , a1, a2,., an .
f(x) = a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n (a0# 0)
f(c) = a0cn + a1cn-1 ++ an -1c + an là giá trị của đa thức tại c
Nếu f(c) = 0 thì c là một nghiệm của đa thức f(x) .
nh lý Bdu:

Phn d ca phép chia a thc f(x) cho nh thc x-a bng giá tr ca a
thc ti x= a tc l: f(x)=(x-a).g(x)+f(a)
Chng minh:
Gi g(x) l a thc thng v r l s d thì : f(x)=(x-a).g(x)+r

(*)

khi x = a thì (*) f(a)=(a-a).g(a)+r hay r = f(a) (pcm)
+ Hệ quả 1: Nếu x=a là nghiệm của đa thức thì f(x) (x-a)
Thật vậy nếu a là một nghiệm của f(x) thì f(a) = 0 hay r=0
f(x) = g(x) .(x-a) hay f(x) (x-a) .
+ Hệ quả 2: Phn d ca phép chia a thc f(x) cho nh thc ax+b bng giá
tr ca a thc ti x=

b
.
a

Tức là f(x) = (ax+b)h(x) + f(

b
)

b0 = a0 , b1= b0c+a1, b2= b1c+a2,,bk= bk-1c+ak . với k= 1, n

II . một số dạng toán thờng gặp

1 . Xác định đa thức .
1.1. Dạng 1: Xác định đa thứcbậc n ( n= 2,3,) khi biết (n+1) các giá trị của
đa thức :
Phơng pháp giải :
a) Phơng pháp 1 : Lập và giải hệ phơng trình
Gọi đa thức bậc n cần tìm là f(x) = a0xn + a1xn-1 ++ an-1x
+ a n. với f(x1), f(x2),, f(xn+1) là các giá trị của f(x) tại x 1, x2,, xn+1 . Khi đó lập
và giải hệ sau ta sẽ tìm đợc các hệ số a0, a1, ., an . Thay vào ta đợc đa thức f(x)
cần tìm :
Ví dụ 1:Tìm đa thức f(x) biết rằng khi chia cho x-2 thì d 5,chia cho x-3 thì d 7
còn khi chia cho(x-2)(x-3) thì đợc thơng là x2-1 và còn d.
Giải:Gọi thơng của phép chia đa thức f(x) cho x-2;x-3 lần lợt là đa thức A(x) và
B(x),ta có:
f(x)=(x-2).A(x)+5 (1); f(x)=(x-3).B(x)+7 (2). Gọi thơng của phép chia đa thức
f(x) cho (x-2)(x-3) là đa thức C(x),phần d là đa thức R(x).Vì (x-2)(x-3) là đa thức
bậc hai nên đa thức đa thức d là đa thức bậc nhất do đó:
R(x)=ax+b,ta có:
f(x)=(x-2)(x-3).(1-x2)+ax+b đúng với mọi giá trị x (3)
Vì (1);(2);(3) đúng với mọi giá trị của x nên f(2)=5 hay 2a+b=5;f(3)=7 hay
3a+b=7 ta có hệ phơng trình

2a +b =5

3b +b =7
Từ đây ta tìm đợc a=2;b=1.Do đó đa thức phải tìm là:
f(x)=(x-2)(x-3)(1-x2)+2x+1=-x4+5x3-5x2-5x+6

c =
3

Gii ra ta c: a =

5
25
;b=
; c = 12
2
2

Vậy đa thức cần tìm là : f(x) =


5 3 25 2
x - x + 12 x + 10
2
2

Chú ý:
Trng hp ch bit n giá tr thì a thc tìm c có h s ph thuc mt

tham s nếu nh không cho thêm một điều kiện nào khác .
b) Phơng pháp 2 : Dùng đa thức phụ
Xin đợc lấy bài toán ở ví dụ 2 làm minh họa : Giả sử đa thức cần tìm là f(x)
Bc 1:
t g(x) = f(x) + h(x)
ở ây g(x) là một đa thức có bậc bằng bậc của đa thức f(x) còn h(x) l mt
a thc có bc nh hn bc ca f(x) ng thi bc ca h(x) nh hn hoặc

g(x) = k.x(x 1)(x 2)
f ( x ) = kx( x 1)( x 2) 5 x 2 + 7 x + 10

Mt khác f(3) = 1 k .3.2.1 5.9 + 7.3 +10 = 1
6k

= 15 k= 5

2

Vy a thc cn tìm l: f ( x) =
hay f(x) =

5
x( x 1)( x 2) 5 x 2 + 7 x + 10
2

5 3 25 2
x +12 x +10
x 2
2

Vậy ta có thể giải bài toán trên một cách ngắn gọn sau :
Đặt g(x) = f(x) + 5x2 7x 10 .
Theo bài ra ta có : g(0) = g(1) = g(2) = 0 nên theo hệ quả 1 nên g(x) chia ht
cho (x-0), (x 1) và(x 2) .
4
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


Ví dụ 3:
Vy a thc cn tìm l:f(x) =

Tìm a thc bc 3 bit rng khi chia đa thức f(x) cho x 1, x 2,x 3
u cùng d 6 v f(-1) =-18.
Gii:
Theo bài ra chia đa thức f(x) cho x 1, x 2,x 3 u cùng d 6
Theo nh lý Bdu ta có f(1) = f(2) = f(3) =6
t g(x) = f(x) + ax2 + bx + c.
Tìm a, b, c g(1) = g(2) = g(3) = 0
a, b, c l nghim ca h

0 = 6 +a +b +c

0 = 6 +4a +2b +c
0 +6 +9a +3b +c


6
a +b +c =

4a +2b +c =
6


9a +3b +c =
6


Gii ra ta c: a = b = 0; c = -6

5.( Thi HSG Hải Phòng năm 2004)
Tìm đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = 25; P(2) = 21; P(3) = 41
1.2 . Dng 2: Xác định đa thức khi biết điều kiện của hệ số
Phơng pháp: Dựa vào điều kiện đề bài cho về các hệ số để xác định đa thức.
Ví dụ 4:
Tìm đa thc f(x) có tt c các h s l s nguyên không âm nh hn 8 v
tho mãn: f(8) = 2009
Chú ý: Giả sử A gồm n +1 (n N * ) chữ số an, an-1, ,a0
Ta biết rằng một số A trong hệ ghi cơ số x đợc đổi sang trong hệ thập phân
theo công thức:
A =(

an an1...a0

)X= anxn + an 1xn-1 + ...+ a1x + a0 .

Ví dụ: Ta xét số 1234 . trong hệ thập phân đợc viết dới dạng tờng minh là:
123410 = 1.103+2.102+3.10+4 = 1234
trong hệ bát phân 12348=1.83+2.82+3.8+4=668
Và cách đổi 668 sang hệ bát phân đợc thực hiện nh sau :
Lấy 668 chia cho 8 đợc thơng là 83 và d là 4 . (ghi chữ số 4 ở hàng đơn vị )
6
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Tiếp tục lấy 83 chia cho 8 ta đợc thơng là 10 và d 3 (ghi chữ số 3 ở hàng chục)
Tiếp tục lấy 10 chia cho 8 ta đợc thơng là 1 và d 2 (ghi chữ số 2 ở hàng trăm)

7
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Ví dụ 5: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 thoả mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị
của x đó là : 3.f(x) f(1-x) = x2+1
Giải
Gọi đa thức cần tìm là : f(x) = a3x3+ a2x2+ a1x+a0 .
Theo bài ra ta có :

[

]

3. (a3x3+ a2x2+ a1x+a0)- a 3 (1 - x) 3 + a 2 (1 - x) 2 + a 1 (1 - x) + a 0 = x2+1
3.a3x3+3.a2x2+3.a1x+3.a0-a3(1-3.x+3.x2-x3)-a2(1-2.x+x2)-a1+a1x-a0=
4.a3x3+(-3a3+2a2)x2+(3a3+2a2+4a1)x+(-a3-a2-a1+2a0)=

x2+1

x2

áp dụng phơng pháp hệ số bất định ta có :
Giải hệ trên ta có : a3= 0 ; a2 =
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) =

1

2a + b =5

a =1



b =3

8
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Vậy ta có P (x) = (x + 2)(x 2) . 4x+ x + 3
Hay P(x) = 4x3- 15x +3
Bài tập vận dụng :
1. Tỡm a thc f(x) bit rng f(x) chia cho x2-3x+2 thỡ c thng là x - 4 v
cũn d. Và khi chia f(x) cho (x-1) d 5, chia cho x-2 thì d 7.
2. Tìm đa thức f(x) biết khi chia f(x) cho x 3-2x2+2x-1 thì đợc thơng là 2x và
còn d. Và chia f(x) cho x-1 d , f(2)=7, f(3) = 9.
2 .Xác định đa thức thơng khi chia đa thức cho đa thức .
Phơng pháp 1. Thực hiện phép chia trực tiếp.
Phơng pháp 2 : Sử dụng công truy hồi horner
Ví dụ 7: Tìm thơng của phép chia đa thức x7-2x5-3x4+x-1 cho x+5
Cách 1: Thực hiện phép chia trực tiếp ta đợc thơng là:
x6 5x5 + 23x4 118x3 + 590x2 2590x + 14751
Cách 2:
Gọi đa thức thơng của phép chia x7-2x5-3x4+x-1 cho x+5

x2004+x9+x2 cho x-1.
Ta có phần d của phép chia đa thức trên cho x-1 chính là f(1)=12+19+12004=3.
Chú ý 2: Khi chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ta đợc đa thức thơng q(x) và
đa thức d r(x) hay f(x) = q(x) . g(x) +r(x) .
Với chú ý bậc của đa thức d r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức chia g(x). Đây là
chú ý rất quan trọng để giải dạng toán này.
Ví dụ 9: Tìm đa thức của phép chia f(x) cho (x 1)(x 3). Biết rằng nếu
chia đa thức f(x) cho x 1 đợc số d bằng 4, nếu chia cho x-3 đợc số d bằng 14.
Giải:
Cách 1:
Gọi thơng của phép chia f(x) cho (x 1)(x 3) l q(x) v d l r(x).Vì
bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên bậc của nó nhỏ hơn 2 nên r(x)
có dạng ax + b
Ta có: f(x) = (x 1)(x 3).q(x) +ax + b với mọi x
Theo bài ra chia đa thức f(x) cho x 1 đợc số d bằng 4, chia cho x-3 đợc số
d bằng 14
áp dụng định lí Bơzu ta có f(1)=4 , f(3)=14 .
4

2

a +b = 4
a =5
Hay

b = 1
3a + b = 14
Vậy đa thức d của phép chia f(x) cho (x 1)(x 3) l r(x) = 5x 1
Cách 2:
f(x) chia cho (x-1) d 4 nên f(x) = (x 1).A(x) + 4

f(x)=(x+1)(x2 + 1).q(x)+ax2+bx+c
(*)
= (x+1).q(x) (x2+1)+a(x2+1)+ bx + c a
=[(x +1). q(x) + a](x2 +1) + bx + c a
m f(x) chia cho x2 + 1 d 2x + 3 bx + c a=2x+3
theo phơng pháp hệ số bất định ta có : b = 2 (1);
c a = 3 (2)
Mặt khác f(x) chia cho x+1 đợc số d là 4 nên theo định lý Bơ du ta có
f(-1) = 4 thay vào (*) ta có : a b + c = 4 (3)
f(x)

= (x 1)(x 3).

b = 2 (1)

Từ(1),(2),(3)tacóhệphơngtrình c -a = 3 (2)
a- b + c = 4 (3)

Giải hệ phơng trình trên ta tìm đợc : a =
Vậy đa thức d cần tìm là :

3
9
, b = 2, c =
2
2

3 2
9
x + 2x +


x7 + x5 + x3 + 1 = x7 x + x5 x + x3 x + 3x + 1

= x(x6 1) + x(x4 1) + x(x2 1) + 3x + 1
D

ca phộp chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 1l3x + 1

Bi tp:
1. Tỡm a thc d ca phộp chia: x99 + x55x11 + x +7 cho x2 + 1
2. Tìm đa thức của phép chia f(x) cho (x 2)(x 4) . Biết rằng nếu chia đa
thức f(x) cho x 2 đợc số d bằng 1, nếu chia cho x- 4 đợc số d bằng 7.
3 . Tìm đa thức d của phép chia đa thức f(x) cho (x -1).(x2 +2) . Biết rằng khi
chia đa thức f(x) cho x-1 đợc số d là 8, khi chia f(x) cho x2 + 2 đợc đa thức d là
7x-2 .
4 . Các bài toán về giá trị của đa thức
Phơng pháp hiệu quả nhất để giải dạng toán này là sử dụng đa thức phụ:
4.1 . Tính giá trị của một đa thức:
Ví dụ 12: Cho P(x) = x4+mx3+nx2+qx+e . Biết P(1)=5, P(2)=7,P(3) = 9,
P(4)=11. Tính P(10), P(11), P(12) .
Giải:
Đặt đa thức phụ:Q(x)=P(x)(2x+3)Khi đó Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4) = 0
Hay Q(x) chia hết cho (x-1),(x-2), (x-3), (x-4) . Mặt khác do bậc của P(x) là 4
nên bậc của Q(x) cũng là 4 cho nên :
12 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc


Mặt khác f(x) có hệ số của hạng tử có bâc cao nhất bằng 1 nờn :
g(x) = (x 1)(x 3)(x 5)(x x0)
f ( x) = ( x 1)( x 3)( x 5)( x x0 ) + x 2 + 2

Ta có : f(-2) = (-3).(-5).(-7).(-2-x0)+6 = 3.5.7.x0+216
7.f(6) =7. (5.3.(6-x0)+38) = -3.5.7.x0 + 896
Vậy f(-2) + 7f(6) =216+896=1112
13 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Nhận xét : Có thể nói rằng phơng pháp dùng đa thức phụ rất hiệu quả cho việc
tính toán giá trị của một đa thức hay một biểu thức liên quan giữa các đa thức .
Bởi vì nếu chỉ tính toán bằng phơng pháp đơn thuần là thay vào rồi bấm máy
thì chúng ta sẽ không thực hiện đợc với những số lớn
Ví dụ 14: Cho a thc bc 4 f(x) vi h s bc cao nht l 1 v tho mãn f(1)
= 10, f(2) = 20, f(3) =30
Tính giá trị của biểu thức: A=

f (12) + f (8)
+ 25
10

Gii:
t a thc ph: g(x) = f(x) 10x
g(x)

g(1)

P(4)=14 .

Tính A =

14 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc
1
(( P (8) P (6)) 2007
Tính B =
2008

5 . Các bài toán về chứng minh của đa thức
5.1 Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức.
Phơng pháp 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử.
Phơng pháp 2: Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho
đa thức chia.
Phơngpháp3: Biến đổitơngđơng f(x)g(x)<=>f(x)g(x)g(x)
Phơng pháp 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức
bị chia.
Ví dụ 15: Chứng minh đa thức x2001+x2000+........+x+1 chia hết cho đa thức
x181+x180+........+x+1
Giải:
2001
2000
2001
Ta có x +x +........+x+1 =(x +x2000+........+x1820)+(x1819+x1818+........+x1638)
+..........+(x181+x180+........+x+1)

1.Chứng minh đa thức x95+x94+........+x+1 chia hết cho đa thức x31+x30+........
+x+1
2.Chứng minh: x55+x5+1 chia hết cho x10+x5+1
3.Chứng minh x1999+x27-2 chia hết cho x2-x+1
5.2 . Chứng minh biểu thức thoả mãn điều kiện cho trớc
Ví dụ 18 : Cho a thc f(x) l bc 3 vi h s ca x3 l mt s nguyờn, tho
món f(2007) = 2008 v f(2008) = 2009. Chng minh rng f(2009) f(2006) l
hp s.
Gii:
t g(x) = f(x) +ax + b.
Theo bài ra ta có : f(2007) = 2008 v f(2008) = 2009
Tỡm a,b g(2007) = g(2008) = 0


0 = 2008 +2007.a +b

0 = 2009 +2008.a +b
Gii h ta c : a = b = - 1
Nờn ta có g(x) = f(x) x 1

Gi s k Z l h s ca x3 ca a thc f(x). Do bc ca f(x) bng 3 nờn bc
g(x) bng 3 v g(x) chia ht cho (x 2007); (x 2008) nờn:
g(x) = k(x 2007)(x 2008)(x x0)
f(x)

= k(x 2007)(x 2008)(x x0)+x+1

Ta có : f(2009)=k.2.1.(2009-x0)+2010=2.2009.k-2k. x0+2010
f(2006)=k.(-2).(-1).(2006-x0)+2007=2.2006.k-.k.x0+2007


2

2

2

Ví dụ 20: Cho f(x)= ax2+bx+c có tính chất f(1);f(4);f(9) là các số hữu tỷ.
Chứng minh rằng a,b,c là các số hửu tỷ.
Giải: Theo bài ra ta có.
a+b+c=m
(1)
16a+4b+c=n (2)
(m,n,k là các số hửu tỷ)
81a+9b+c=k
(3)
Trừ theo từng vế hai pt (2)và (1);(3)và (1) rồi suy ra
15a+3b=n-m
80a+8b=k-m
<=> a=(m-n):24,b=(5k+8n-13m):24
=>a,b là các số hửu tỷ ;khi đó c=m-b-a củng là số hửu tỷ.

Ví dụ 21: Cho đa thức f(x)=x2+px+q với p,q Z chứng minh rằng tồn tại số
nguyên k để f(k)=f(2008).f(2009).
Giải:Ta có f[f(x)+x]=[f(x)+x]2+p[f(x)+x]+q=
f(x)2+2xf(x)+x2+p.f(x)+p(x)+q=f(x)[f(x)+2x+q]+(x2+px+q)=
f(x)[x2+px+q+2x+p+1]=f(x)[(x+1)2+p(x+1)+q]=f(x).f(x+1)
Với x=2008 chọn k=f(2008)+2008 =>f(x)=f(2008).f(2009).
Vídụ 22: Cho p(x)=x3+x2+bx+c; Q(x)=x2+x+2005 biết p(x)=0
17 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng