Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 2 năm học 2006-2007
-------------------------
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán.
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------
Câu 1: (Không dùng máy tính)
Cho biểu thức: A =
2
168
1
4444
x
x
xxxx
+
++
Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2: (Không dùng máy tính). Hãy so sánh hai số sau đây:
x =
+
++
+
322
32
322
32



1, Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình vuông.
2, Nếu tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình vuông.
Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh bất
đẳng thức sau:
++
cba
ab +bc + ca
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 2 năm học 2006-2007
-------------------------
Hớng dẫn chấm thi
Môn: Toán.
-----------------------------
Câu ý Nội dung Điểm
1
A =
2
2
168
44444444
x
xx
xxxx
+
+++++

=
x


0
0
4
04
x
x
x
x

x

> 4
Trờng hợp 1: Nếu
4

x
-2 0

4 < x 8. Khi đó:
A =
4
4
4
4224

=

++
x

x
x
= 4 +
4
16

x
với x

Z ta thấy
A

Z






84
164
x
x








x
và x

Z . Trớc hết, nếu
4

x
là số vô tỉ thì A

2
cũng là số vô tỉ nên không thỏa mãn, do đó
4

x
=
q
p
với p,q

Z
+
và (p; q) = 1.
Khi đó A =
k
p
q
q
p
Z
p

2





=
=
2
1
q
q
. Tơng tự ta cũng có: 8q
2
chia hết cho p mà
(p,q) =1

p
8

p = 1; 2; 4; 8. Vì (p,q) = 1 nên chỉ cần thử
các tình huống:
+ q =2 và p = 1 thì x không phải là số nguyên.
+ q =1 mà x > 8 nên p = 4; 8 thỏa mãn. Khi đó x = 20; 68
Vậy A

Z khi x = 5; 6; 8; 20; 26.
2
Rút gọn x:
+

132
)13(
2
++
+
+
)13(2
)13(
2

+
=
)13(3
)13(
2
+
+
+
)13(3
)13(
2


=
3
13
+
+
2
2



+
+
=
+


++
+
=
=
11
26
11
6
44
24
)153)(153(
)153)(53()153)(53(
===
+
++
y
So sánh
11
26
<
2


; y
0
) là nghiệm của hệ phơng trình nên ta có hệ:

2
B
A
C
D
M
N
P
Q
( )
( )



+=+
=
)2(211
)1(211
00
00
myxm
mmyx

Bình phơng hai vế của (1) cộng từng vế với bình phơng hai vế
của (2) ta đợc


+ y
2
0
=
1
28
2
2
+
+
m
m
mà A = x
2
0
+ y
2
0
- 2x
0


A = (x
0
-1 )
2
+ y
2
0
1.

1
6
2
+
m
.
Để A
min


1
6
2
+
m
lớn nhất

m
2
+ 1 nhỏ nhất.
Mặt khác m
2
+ 1 1. Dấu = khi m = 0. Vậy (m
2
+ 1)
min
= 1

A = 1 khi m = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 1 khi m = 0
khi đó ( x

=
o
MNBNMB
MNBQMA
90



Suy ra
)2(90

90

oo
NMQNMBMNBNMBQMA
==+=+
Từ (1) và (2)

Tứ giác MNPQ là hình vuông.

3
2
1
Tứ giác MNPQ là hình vuông

Tứ giác ABCD là hình
vuông. Ta chỉ cần chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật là
đủ (vì với điều kiện AM = BN = CP = DQ và MNPQ là hình
vuông ta suy ra tứ giác ABCD là hình vuông).


5
++
cba
ab +bc + ca

++
cba 222
2ab +2bc + 2ca

a
2
+
++++
ccbba 222
22
a
2
+ b
2
+c
2
+2ab +2bc + 2ca

a
2
+
++++
ccbba 222
22
(a + b + c)

D
H
KM
Q
N