BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
TRẦN MINH TRÍ
NGUYỄN THÀNH TÍN

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT TOÁN
CHO HỌC SINH LỚP 9 THÔNG QUA
CHỦ ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán.
Trình độ đào tạo: Đại học.

ĐỒNG THÁP, NĂM 2010


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
TRẦN MINH TRÍ
NGUYỄN THÀNH TÍN

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT TOÁN
CHO HỌC SINH LỚP 9 THÔNG QUA
CHỦ ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán.
Trình độ đào tạo: Đại học.
TÓM TẮT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Giảng viên hướng dẫn:
ThS. Nguyễn Văn Dũng

điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm đề tài . Ngoài ra tôi cũng cảm ơn các bạn
trong tổ và tập thể đã giúp tôi tiến hành hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này .
Bên cạnh đó tôi rất chân thành cảm ơn sự giúp đở của thầy, cô trong khoa đã
đóng góp y kiến quý báo cho đề tài được hoàn thiện hơn .

Sinh viên thực hiện

Trần Minh Trí
Nguyễn Thành Tín

MỤC LỤC


5

Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
PHẦN MỞ ĐẦU ………………………………………………………………. 8
1. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………………...8
2. Mục đích khoa học ……………………………………………………………9
3. Giả thuyết khoa học …………………………………………………………….9
4.Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………………………9
5. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………………………….9
6.Cấu trúc đề tài ………………………………………………………………….9
PHẦN NỘI DUNG
Chương I : Cơ Sở Lí Luận
1.1)Những vấn đề chung về tư duy : ……………………………………………...10
1.1.1) Tư duy là gì ?

2.1.4.3) Giải hệ hai phương trình bằng phương pháp cộng đại số …………….….29
2.1.4.4) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ………... …30
2.1.5) Nội dung thiết kế bài giảng :………………………………………….……. 31


7

2.2) Trình bài các bài toán điển hình dạng nâng cao có liên quan đến hệ hai phương
trình bậc nhất một ẩn theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán , bài giải và phát triển
bài toán theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán ………. 42
2.2.1) Trình bày các bài toán điển hình dạng nâng cao có liên quan đến hệ hai
phương trình bậc nhất một ẩn : …………………………………………….……. 45
2.2.2) Trình bày các bài toán nâng cao có liên quan đến hệ hai phương trình bậc
nhất một ẩn và phát triển bài toán theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán 61
Chương III : Quá trình thực nghiệm khẳng định giả thuyết khoa học ……. …….85
3.1) Kết quả thực nghiệm …………………………………………………………
3.2) Tiến trình thực nghiệm ……………………………………………………….
C) Kết luận ………………………………………………………………………..
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………. 90
1. Lí do chọn đề tài :
Trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Nhà nước luôn đạt
nhiệm vụ cao cho ngành giáo dục; phải tổ chức và phát triển của xã hội trên nền
tảng giáo dục là quốc sách hàng đầu.Giáo dục phải thực hiện một cách triệt để và
đúng mục đích mà nhà nước và xã hội quan tâm hiện nay.
Xây dựng và định hướng đổi mới Phương pháp dạy học môn Toán trong thời
đại hiện nay đã khẳng định “Phương pháp dạy học Toán trong nhà trường ở nhiều
cấp học là tính chủ động phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của người học,
hình thành và phát triển khả năng tự học, trau dồi các tính cách linh hoạt của tư
duy”. ( Chương trình bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên toán THCS chu kỳ III (
2004-2007) ban hành theo nghị quyết số : 14/2004/QĐ-BGD&ĐT,kí ngày 17 tháng

4.Giả thuyết khoa học :


9

Nếu thiết kế bài giảng và giải toán hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo
hướng tăng cường tư duy thuật toán thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng đào tạo
môn toán lớp 9 trong nhà trường phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu :
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu .
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lí thuyết .
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn .
- Phương pháp thực nghiệm .
6. Phạm vị nghiên cứu :
Đại số 9
7. Cấu trúc đề tài :

A. Phần Mở đầu :
Phần này chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, giả
thuyết khoa học và các phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu.

B. Các kết quả nghiên cứu :
Phần này chúng tôi trình bày lại toàn bộ các kết quả nghiên cứu lý thuyết và
thực tiễn của đề tài, bao gồm:

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN


10


thuộc tính của hiện thực thông qua các khái niệm mà các khái niệm lại tách


11

ra khỏi những sự vật cụ thể. Những cái chứa đựng những thuộc tính này. Tư
duy phản ánh hiện thực một cách gián tiếp vì nó thay thế những hành động
thực tế với chính các sự vật bằng hành động tinh thần với những hình ảnh
của chúng, nó cho phép giải quyết những nhiệm vụ thực tế thông qua hoạt
động tinh thần (lý luận) bằng cách dựa trên những tri thức về các thuộc tính
và các quan hệ của các sự vật được củng cố trong khái niệm .
1.1.2)Tư duy toán học :
Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con
người nhận thức khoa học, toán học và sự vận dụng kiến thức toán học vào thực tế.
Mặt khác tư duy toán học có tính chất đặc thù riêng được qui định bởi bản chất toán
học của khoa học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện
tượng toán học của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung
của tư duy mà nó sử dụng. Tư duy toán học là quá trình phức tạp, nó gồm các dạng
cơ bản sau: khái niệm, phán đoán, tiền đề, định lý, suy luận, các quy tắc suy luận,
các phương pháp suy luận lý thuyết .
* Khái niệm: là một thao tác logic nhằm phân biệt đối tượng đang xét với những
đối tượng khác và vạch ra nội hàm của khái niệm. Một khái niệm toán học là khó
hay dễ đối với sự tiếp thu của học sinh tùy theo độ liên kết logic của khái niệm đó là
phức tạp hay đơn giản.
* Phán đoán: là một hình thức của tư duy trong đó khẳng định điều là thuộc về
hay không thuộc về một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và
nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi. Mỗi khoa học thực chất là
một hệ thống các phán đoán về các đối tượng mà mỗi khoa học đó nghiên cứu.
Nhiệm vụ của khoa học là xác định tính đúng đắn hay tính sai lầm của các luận
điểm.

đã cho, sự kế hoạch hóa việc tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, sự lựa chọn giải
thuyết có xác suất lớn hơn, sự kế hoạch hóa và tiến hành thực nghiệm kiểm tra giả


13

thuyết, sự rút ra kết luận và chứng minh, sự lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết
vấn đề, sự mở rộng kết luận cho tình huống mới.
Như vậy tư duy toán học biểu lộ ở các giai đoạn “tiền lôgic”: hình thành giả
thuyết lẫn giai đoạn “lôgic” chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết, mở rộng giả
thuyết, phát hiện các ứng dụng đa dạng của giả thuyết trong các tình huống mới.
Tính chất đặc thù của tư duy toán học biểu lộ không chỉ ở cái vốn có của nó với
bản chất là tư duy khoa học mà còn ở tính đặc biệt của các hình thức riêng rẽ (các
biến dạng của sự biểu lộ tư duy). Trong quá trình mô tả các hình thức này, tư duy
toán học thường được tách ra bởi các thuật ngữ riêng: Tư duy cụ thể và tư duy trừu
tượng, tư duy hàm, tư duy trực giác, tư duy thuật toán, v.v...
1.2) Tư duy thuật toán :
Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán.
1.2.1) Thuật toán: là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác
định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước
thực hiện các thao tác ta đạt được mục tiêu định trước.
Các thuật toán phải thỏa mãn ba yêu cầu cơ bản:
- Tính xác định ai cũng phải hiểu theo cùng một cách mỗi giai đoạn của quá
trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất.
-

Tính số đông: phải dùng được để giải một loạt (kiểu) xác định các bài
toán.

-

Do vậy việc hình thành và phát triển tư duy thuật toán được hiểu là hình thành và
phát triển mỗi thành tố hay tổ hợp các thành tố của tư duy thuật toán.
Thuật toán, còn gọi là thuật giải , là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay
phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng


15

thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết
quả sau cùng như đã dự đoán.
Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằm giải
quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết quả từ
một tập hợp của các dữ kiện đưa vào. Nó được sử dụng rộng rãi và sâu sắc, trong
quá trình giải một bài toán nói riêng và một loạt các bài toán nói chung, theo các
bước một cách có hệ thống chặt chẽ, hay nói khác hơn là tuân theo một qui tắc giải
toán cụ thể, cho từng loại bài toán cùng loại hay cùng kiểu.
1.2.2) Qui trình tựa thuật toán :
a) Qui trình dạy học :
Chẳng hạn, Qui trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2 : Xây dựng thuật giải
Bước 3 : Thực hiện thuật giải
Bước 4 : Kiểm tra nghiên cứu lời giải.
b) Qui trình tựa thuật toán :
Trong quá trình giải bài tập toán học, người ta thường dùng một tập hợp các
hành động dẫn đến lời giải bài toán. Việc mô hình hóa các hoạt động trong giai
đoạn đầu của quá trình học tập là một trong những con đường có thể hình thành ở
người học khả năng tiến hành các hoạt động giải toán, bởi vì theo các nhà tâm lí
học, hiệu quả của mô hình hoạt động theo kiểu trong nhiều trường hợp phụ thuộc
rất lớn và tính đầy đủ của việc hình dung được các thành phần cấu trúc và chức

bị tự động thực hiện thuật toán, làm một số công việc thay thế cho con người.


17

2.1.2.2 ) Tính dừng :
Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các
thao tác sơ cấp đã chỉ ra thì thuật toán phải đi đến kết thúc.
Tính dừng luôn giúp ta thu được kết quả mong muốn sau khi thực hiện thuật toán.
2.1.2.3) Tính đúng đắn :
Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn, tức là phải giúp chúng ta thực hiện
đúng vấn đề đã đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn.
2.1.2.4) Tính phổ dụng :
Thuật toán thường được xây dựng để giải không phải chỉ một bài toán
riêng lẻ mà cho cùng một lớp bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể
khác nhau.
Nhờ tính chất này người ta sáng tạo những thuật toán rồi từ đó xây dựng
những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán.
2.1.2.5) Tính hiệu quả :
Khía cạnh đầu tiên của tính hiệu quả là tính tối ưu. Trong số nhiều thuật
toán cùng giải một bài toán, hãy chọn ra một thuật toán tối ưu. Tiêu chuẩn tối ưu ở
đây được hiểu là:
+ Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
+ Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian.
Một khía cạnh khác của tính hiệu quả là tính hiện thực. Một bài toán dù đã
có thuật giải nhưng nếu ta không có đủ thời gian để đi đến kết quả cuối cùng thì
thuật toán đó cũng ít ý nghĩa, thiếu tính hiện thực. Vì vậy, khi xây dựng một thuật
toán cần đảm bảo thời gian thực hiện nó là chấp nhận được. Quan điểm khai thác
hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi nội dung dạy học đều chứa đựng



Một quy trình có thể chia thành các bước . “ Một bước là một phần chia nhỏ
của một quy trình , một quá trình , một giai đoạn , mỗi bước là một hoạt động nhằm
một mục đích nhất định ” . “ Hoạt động là tiến hành những việc làm có quan hệ với
nhau chặt chẽ nhằm một mục đích nhất định , hoặc là thực hiện một chức năng nhất
định nào đó trong một chính thể ” . Một hoạt động có thể có một hay nhiều thao
thác . “ Thao thác là thực hiện những động tác nhất định để làm một việc gì đó ” .
Quy trình giải một bài toán của Pôlya được mỗi người vậm dụng theo cách
riêng của mình , theo kinh nghệim riêng của bản thân và đạt được mức độ hữu hiệu
khác nhau . Tuy rằng quy trình đó không hướng dẫn người giải một cách tỉ mỉ , chi
tiết từng thao thác cụ thể , mà chỉ những định hướng suy nghĩ, gợi ý thao thác, song
do tầm khái quát và dung nạp được nhiều kinh nghiệm quý báu , nên đã nhiều chục
năm quy trình đó vẫn tỏa ra có hiệu quả.
“ Trong phần lớn các trường hợp , kết quả hoạt động của con người thuộc
vào mức độ chuẩn xác do nhận thức được bản chất thuật toán của các hoạt động
của mình . Nhờ kinh nghiệm có được , khi giải quyết một loại công việc người ta
biết : Cần phải có hoạt động ? Mỗi hoạt động có các thao thác gì ? thứ tự thao thác
như thế nào ? Việc tìm một dãy các hoạt động , các thao thác, theo đó giải quyết
được vấn đề , có thể xem như đã xây dựng được một thuật toán nào đó, mà việc
tuân theo một cách “ Máy móc ” sẽ dẫn đến kết quả ” .
“ Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và
chính xác để người ” hay máy ” thực hiện một loạt các thao thác nhằm đạt được
mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định ” . Như vậy thuật toán là một
quy trình đặc biệt .
Trong thuật toán , các thao thác được chỉ dẫn rỏ ràng và chính xác để dù là
người hay máy thực hiện đều dân đến kết quả của bài tóan .
* Các đặc điểm của thuật toán :
a) Đó là một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự nhất định .



- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng .
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã
biết .
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng .
Bước 2 : Giải hệ phương trình nói trên .
Bước 3 : Trả lời . Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình ,
nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận .
2 x − 3 y = 3
x − 3y + 3 = 0

Ví dụ 5 : Giải các hệ sau bằng đồ thị : 

Bước 1 : Xác định tọa độ của (d) : 2x – 3y = 3 và (d/ ) : x - 3y + 3 = 0 .
Bước 2 : vẽ đồ thị hàm số
- Chọn các giá trị thích hợp cho hai đường thăng ( d) và ( d/ )
2
3

* ( d ) : 2x- 3y =3 ⇔ y = x − 1 .
Cho x = 0 ta được y = -1 .
Cho x =3 ta được y = 1 .
* ( d/ ) : x - 3y + 3 = 0 ⇔ y =

x
+1
3

cho x = 0 ta được y =1
cho x = -3 ta được y = 0 .
Vì hệ số góc của ( d ) và ( d / ) khác nha nên chúng cắt nhau . Ta nhận

khi x = −

1
2

1
1
13
thì y = − − 6 = −
2
2
2

Bước 3 : Trả lời

x=−

1
2

; y=−

13
.
2

Khi học sinh mới học về phương trình bậc hai , yêu cầu các em giải phương
trình theo các bước chặt chẽ như trên đây là rất cần thiết . Tất nhiên , việc rèn luyện



Ví dụ 8 : Tìm nghiệm mỗi hệ phương trình dưới đây bằng phương pháp hình học
x − y = 1
x + y = 3

( áp dụng phương pháp đồ thị ) : 

Bước 1 : Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng
d1 : x - y = 1 và d2: x + y = 3 .
Bước 2 : Xác định tọa độ giao điểm A của d 1 và d2 , ta thấy A có hoành độ
xA = 2 , tung độ yA = 1 . Vậy ( 2,1 ) là nghiệm của hệ phương trình đã cho .
Bước 3 : Vẽ đồ thị :
y
D2 : x + y = 3

D1 ; x – y = 1

:x
D1

=
–y

1

x

Qua các ví dụ trên đây ta thấy rằng việc giải toán theo thuật toán là một quy
trình được điều khiển chặt chẽ , không thể tùy tiện; quy trình đó có thể mọi người
thực hiện ( hoặc thực hiện bằng máy ) và với những dữ kiện cho trước , bao giờ
cũng đưa đến một kết quả . Mặt khác thuật toán được dùng không chỉ để giải một

đến phức tạp, …
- Phải đọc kĩ , hiểu thật chính xác vấn đề của bài tập đặt ra .