ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ
BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ
BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2015

3

1.2.1

Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . .

3

1.2.3

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . .

4

1.3

Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC PHÉP BIẾN HÌNH SƠ CẤP 14
2.1

2.2

Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình . . . . .

14

2.1.1

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . .

14

2.1.2

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . .

20

2.1.3

Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.3
2.3

Phương trình dạng f

3 MỘT SỐ ÁP DỤNG
3.1

3.2

29

42

Phương trình hàm trong lớp hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.1

Một số bài toán xác định đa thức cơ bản . . . . . . . . . . .

42

3.1.2

Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) . . . . . . . . . . . . . .

45


Cao học toán K7A.
- Sở giáo dục & Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, Ban giám hiệu trường THPT Chuyên
Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã quan tâm động viên, tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu.


ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

∀, ∃ : Các ký hiệu của logic

R : Tập hợp các số thực
R+ : Tập hợp các số thực dương
R− : Tập hợp các số thực âm
Q : Tập hợp các số hữu tỷ
Z : Tập hợp các số nguyên
Z+ : Tập hợp các số nguyên dương
N : Tập hợp các số tự nhiên
x ∈ M : x là phần tử của M

∩, ∪, ⊂, ⊃ : là các phép toán trên tập hợp


1

MỞ ĐẦU

Phương trình hàm là một trong những chuyên đề quan trọng thuộc chương trình
chuyên toán trong các trường THPT chuyên. Trong các kỳ thi Olympic toán quốc

Tác giả

Nguyễn Thị Phương Anh


3

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1

Tính trù mật

Tập hợp A ⊂ R được gọi là trù mật trong R nếu và chỉ nếu với mọi x, y ∈ R,
x < y đều tồn tại a ∈ A sao cho x < a < y.

Một số ví dụ về tập trù mật
a) Q là trù mật trong R.
b) Tập hợp A =

1.2

m
, m ∈ Z, n ∈ N
2n

là tập trù mật trong R .

Tính chất cơ bản của hàm số


nếu M ⊂ D (f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M
f (x + b) = −f (x) , ∀x ∈ M.

b) Cho f (x) là một hàm phản tuần hoàn cộng tính trên M . Khi đó T (T > 0)
được gọi là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) phản tuần hoàn cộng tính với chu kì T
mà không là hàm phản tuần hoàn cộng tính với bất cứ chu kì nào bé hơn T .
1.2.3

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.4 (Xem [4]). f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kì
a (a ∈
/ {0; 1; −1}) trên M nếu M ⊂ D (f ) và
∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M
f (ax) = f (x) , ∀x ∈ M.

Định nghĩa 1.5 (Xem [4]). f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu
kì a (a ∈
/ {0; 1; −1}) trên M nếu M ⊂ D (f ) và
∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M
f (ax) = −f (x) , ∀x ∈ M.

1.3

Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp

Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một số hàm số sơ cấp thường gặp
trong chương trình phổ thông. Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể dự đoán

6. Hàm lượng giác:
- Hàm f (x) = sin x có tính chất
f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R.

- Hàm f (x) = cos x có các tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R
và f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.
- Hàm f (x) = tan x có tính chất
f (x + y) =

f (x) + f (y)
, ∀x, y ∈ R.
1 − f (x)f (y)

- Hàm f (x) = cot x có tính chất
f (x + y) =

7. Hàm f (x) =

c
có tính chất
x
f (x + y) =

1.4

f (x)f (y) − 1
, ∀x, y ∈ R.
f (x) + f (y)

f (x)f (y)


x
2

= 22 f

x
22

= · · · = 2n f

x
.
2n

(1.3)

Từ đó suy ra
f

x
2n

=

1
f (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
2n

=

x→x1

= f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ).

2) Kết quả của bài toán 1.1 sẽ không thay đổi nếu ta thay R bằng [α, +∞) hoặc
(−∞, β] tùy ý.


7

1.5

Một số phương pháp giải phương trình hàm

Trong lí thuyết cũng như trong thực hành, không có những định lí cũng như các
thuật toán chung để giải phương trình hàm. Bởi vậy, để giải phương trình hàm ta
phải nghiên cứu kỹ các tính chất đặc thù của hàm số cần tìm, đơn giản hóa bằng
các phép thế các giá trị đặc biệt của biến, đặt ẩn phụ, đổi biến hoặc tìm nghiệm
riêng,. . . để đưa về các phương trình hàm cơ bản đã biết cách giải. Sau đây ta sẽ
nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi.
1.5.1

Phương pháp thế

a) Thế ẩn tạo phương trình hàm mới.
Nhận xét 1.2. Đối với phương trình hàm dạng f (A) = B với A, B là các biểu
thức chứa x, trong đó A có hàm ngược, ta thường sử dụng cách đặt: Đặt A = t,
suy ra biểu thức x theo t. Tiếp theo, thay các giá trị này vào các biểu thức A, B .
Đối với phương trình hàm dạng hàm hợp f (g (x)) = h (x), nếu g (x) có hàm ngược,
người ta thường đặt ẩn phụ g (x) = t để xác định hàm số f (t) .


3x2 − 3
(x − 2)2

.

Ví dụ 1.2. Tìm hàm số f : (−∞; −1] ∪ (0; 1] → R thỏa mãn điều kiện
f (x − x2 − 1) = x + x2 − 1, ∀ |x| ≥ 1 .
√
√
Lời giải. Đặt t = x − x2 − 1 ⇔ x2 − 1 = x − t
⇔

x−t≥0
x2 − 1 = (x − t)2

⇔

x≥t
x2 − 1 = x2 − 2xt + t2

⇔

(1.7)

x≥t
t2 + 1
x=
2t


= 1 + x, ∀x ∈ R∗

(1.8)

Lời giải.
x−1
, thay vào (1.8) ta được f (x) + f (x1 ) = 1 + x.
x
x −1
1
Đặt x2 = 1
=
, thay vào (1.8) ta được f (x1 ) + f (x2 ) = 1 + x1 .
x1
x−1
x −1
Đặt x3 = 2
= x, thay vào (1.8) ta được f (x2 ) + f (x) = 1 + x2 .
x2

Đặt x1 =

Ta có hệ


f (x1 ) + f (x) = 1 + x

f (x2 ) + f (x1 ) = 1 + x1 .
f (x) + f (x2 ) = 1 + x2
1

(còn gọi tắt là chu kì) của dãy.
Nhận xét 1.3. Xét phương trình dạng
a (x) f (x) + b (x) f (g (x)) = c (x)

(1.10)

trong đó a (x) , b (x) , c (x) , g (x) là những hàm số đã biết.
Giả sử miền xác định của hàm số cần tìm là D (f ), với mỗi x ∈ D (f ) ta xét dãy
{xn } xác định bởi biểu thức
x1 = g (x) ; xn+1 = g (xn ) , n ∈ N∗ .

Nếu dãy {xn } tuần hoàn chu kì k , ta sẽ đưa (1.10) về hệ k phương trình k ẩn.
Giải hệ này ta tìm được f (x).


9

Ví dụ 1.4. Tìm hàm số f : R\ { −1 ; 0 ; 1 } → R thỏa mãn điều kiện
x f (x) + 2f

x−1
x+1

= 1, ∀x = −1.

(1.11)

Lời giải.
x−1
.

x2 f (x2 ) + 2f (x3 ) = 1



x3 f (x3 ) + 2f (x) = 1
4x2 − x + 1
Giải hệ trên ta được f (x) =
.
5x (x − 1)

Ta có hệ

Thử lại thấy đúng.
Vậy hàm số cần tìm là f (x) =

1.5.2

4x2 − x + 1
.
5x (x − 1)

Phương pháp chuyển qua giới hạn

Cơ sở của phương pháp này là dựa trên phương pháp thế tạo thành hệ phương
trình hàm trong trường hợp các hàm đặt không tuần hoàn. Sau đó sử dụng giới
hạn để tìm ra hàm số.
Ví dụ 1.5. Tìm hàm số f : R → R liên tục, thỏa mãn điều kiện
f (x) + f

2x

3
5

(1.12)


10

3
x
5
3
f (x1 ) + f (x2 ) = x1
Ta có hệ
5

.
.
.
.
.
.




f (xn ) + f (xn+1 ) = 3 xn
5



n

(1.13)

= lim |[f (xn+1 )]| = |f (lim xn+1 )| = |f (0)|

Mặt khác, (1.12) suy ra f (0) = 0 nên lim (−1)n+2 f (xn+1 ) = 0.
3
5

Lấy giới hạn hai vế của (1.13) ta được f (x) = x

1
2
1+
3

=

9x
.
25

Thử lại thấy đúng.
Vậy f (x) =
1.5.3

9x
là hàm số cần tìm.
25

P (x) = C, ∀x ∈ R hay P (x) ≡ C .

Ví dụ 1.6. Cho a, b ∈ R; a = 0. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều
kiện
f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈ R.

(1.14)

Nhận xét rằng hàm f có tính chất biến đổi “tổng thành tổng”. Hàm tuyến tính
f (x) = ax (a = 0) có đặc trưng hàm là f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R nên ta

tìm nghiệm riêng dưới dạng f0 (x) = kx.
Lời giải.
Nghiệm riêng có dạng f0 (x) = kx. Để thỏa mãn (1.14) ta phải có
b
k (x + a) = kx + b ⇔ k = .
a

Đặt f (x) = kx + g (x). Thay vào (1.14) ta được
k (x + a) + g (x + a) = kx + g (x) + b, ∀x ∈ R
⇔ g (x + a) = g (x) , ∀x ∈ R.

Suy ra g (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì |a|.
b
a

Kiểm tra được mọi hàm số dạng f (x) = g (x) + x, trong đó g (x) là hàm tuần hoàn
cộng tính chu kì |a|, đều thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b
a

Thay vào (1.16) ta được dx+a = mdx ⇔ da = m ⇔ d = m a .
x

Đặt g (x) = m a .ϕ (x). Thay vào (1.16) ta được
m

x+a
a

x

.ϕ (+a) = m.m a .ϕ (x) ⇔ ϕ (x + a) = ϕ (x) , ∀x ∈ R.

Từ đó ta có ϕ (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì |a|.
Vậy f (x) =

b
x
+ m a .ϕ (x) , ∀x ∈ R, với ϕ (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu
1−m

kì |a|, là hàm số cần tìm.
1.5.4

Phương pháp quy nạp

Đối với phương pháp này, ta chỉ xét những hàm xác định trên N, sau đó ta mở
rộng cho trường hợp hàm cần xác định trên Z, Q.
Ta cũng có thể sử dụng phương pháp này trong việc xác định hàm f : R → R,
trong đó f là hàm số liên tục và sử dụng đến tính trù mật của tập Q.


1
x+1
=
=
x
x

=1+f

=1+

f (x)
.
x2

(1.20)

1
x nên từ (1.19) ta có
x+1


x
f
1
x+1 .
=f x =
2
x

(x + 1)2 − 1 − f (x)
(x + 1)2

.


13

nên
1
f 1+
x

(x + 1)2 − 1 − f (x)
=
.
x2

Từ (1.20) và (1.21) ta có
x2 + f (x) = x2 + 2x − f (x) , ∀x = 0, x = −1
⇔ f (x) = x, ∀x = 0, x = −1.

Mà f (0) = 0, f (−1) = −f (1) = −1. Bởi vậy, f (x) = x, ∀x ∈ R.
Kiểm tra lại, ta thấy hàm số f (x) = x, ∀x ∈ R thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy f (x) = x là hàm số cần tìm.

(1.21)


14

nửa khoảng [0; 1) thì
f (x + 1) = g ({x + 1}) = g ({x}) = f (x) , ∀x ∈ R.

(2.3)

Vậy f (x) = g ({x}) , ∀x ∈ R, trong đó g là hàm số tùy ý xác định trên [0; 1).
Bài toán 2.2. Cho a = 0. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + a) = f (x) , ∀x ∈ R.

(2.4)

(2.4) ⇔ f (ax + a) = f (ax) , ∀x ∈ R.

(2.5)

Lời giải.


15

Đặt f (ax) = g (x) hay f (x) = g

x
, thay vào (2.5) ta được
a

g (x + 1) = g (x) , ∀x ∈ R.

Theo kết quả của bài toán 2.1, ta có g (x) = h ({x}) , ∀x ∈ R, trong đó h là hàm số
tùy ý xác định trên [0; 1).

2

Đặt f (x) + cos x = g (x) , ∀x ∈ R, thay vào (2.7) ta được
g (x + π) = g (x) , ∀x ∈ R.

Theo kết quả của bài toán 2.2, ta có g (x) = h

x
π

, ∀x ∈ R trong đó là hàm

tùy ý xác định trên [0; 1).
Vậy f (x) = h

x
π

−

1
cos x, ∀x ∈ R.
2

Bài toán 2.4. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + 2π) − f (x) = sin x, ∀x ∈ R.

(2.8)

Lời giải.

Ta có bài toán tổng quát sau
Bài toán 2.5. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + a) − f (x) = h (x) , ∀x ∈ R.

Trong đó h là hàm số tuần hoàn cộng tính chu kì a trên R.

(2.9)


16

Lời giải.
1
1
1
1
h (x) = ah (x) = (x + a − x) h (x) = (x + a) h (x) − xh (x) .
a
a
a
a
1
1
Khi đó (2.9) ⇔ f (x + a) − (x + a) h (x + a) = f (x) − xh (x) , ∀x ∈ R.
a
a
1
⇔ g (x + a) = g (x) , ∀x ∈ R, trong đó g (x) = f (x) − xh (x) .
a
1

Vậy (2.10) tương đương với (2.6).
Kết luận f (x) =

1
[g (x) − g (x + 1)] , ∀x ∈ R, trong đó g là hàm số tuần hoàn cộng
2

tính chu kì 2 trên R, tùy ý.
Ta có bài toán tổng quát
Bài toán 2.7. Cho a là một hằng số dương. Tìm tất cả các hàm số f xác định
trên R sao cho f (x + a) = −f (x) , ∀x ∈ R.
Lời giải.
Lập luận tương tự như bài toán 2.6, ta tìm được
f (x) =

1
[g (x) − g (x + a)] , ∀x ∈ R,
2

trong đó g là hàm số tuần hoàn cộng tính chu kì 2a trên R, tùy ý.
Bài toán 2.8. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + 2013) = f (x) − 2015, ∀x ∈ R.

Lời giải.


17

Đặt
f (x) = −

(2.13)

Lời giải.
b
a

Đặt f (x) = x + g (x) , ∀x ∈ R.
(2.13) trở thành g (x + a) = g (x) , ∀x ∈ R.
b
a

Vậy f (x) = x + g (x), trong đó g là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì a trên R,
tùy ý.
Bài toán 2.10. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + 2013) = 2014f (x) − 2015, ∀x ∈ R.

(2.14)

Lời giải.
Đặt f (x) =

2015
+ g (x) . Thay vào (2.14) ta được
2013
2015
2015
+ g (x + 2013) = 2014
+ g (x) − 2015, ∀x ∈ R.
2013
2013

f (x + 2013) = −2014f (x) − 2015, ∀x ∈ R.

(2.16)

Lời giải.
Đặt f (x) = −1 + g (x) . Thay vào (2.16) ta được
−1 + g (x + 2013) = −2014 [−1 + g (x)] − 2015, ∀x ∈ R.
⇔ g (x + 2013) = −2014g (x) , ∀x ∈ R.

(2.17)

x

Đặt g (x) = 2014 2013 h (x). Thay vào (2.17) ta được
2014

x+2013
2013

x

h (x + 2013) = −2014.2014 2013 h (x) , ∀x ∈ R.

⇔ h (x + 2013) = −h (x) , ∀x ∈ R. ⇔
⇔ h (x) =

1
h(x) = [h(x) − h(x + 2013)]
2
h(x) = h(x + 4026)

+ g (x) + c, ∀x ∈ R.
1−b
1−b
⇔ g (x + a) = bg (x) , ∀x ∈ R.

(2.19)

x

- Nếu b > 0, đặt g (x) = b a .h (x), thay vào (2.19) ta được
b

x+a
a

x

.h (x + a) = b.b a .h (x) , ∀x ∈ R.

⇔ h (x + a) = h (x) , ∀x ∈ R.

Vậy f (x) =

c
x
+ b a h (x) , ∀x ∈ R, trong đó h là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì
1−b

a trên R, tùy ý.
x

c
1 x
+ |b| a [k (x) − k (x + a)] , ∀x ∈ R, trong đó k là hàm số tuần
1−b 2
hoàn cộng tính chu kì 2a trên R, tùy ý.

Vậy f (x) =

Bài toán 2.13. Tìm các hàm số f tuần hoàn cộng tính chu kỳ 3 trên R và thỏa
mãn điều kiện
f (x) + f (x + 1) + f (x + 2) = 0, ∀x ∈ R.

(2.20)

Lời giải.
Từ giả thiết của bài toán, ta có
f (x) = −f (x + 1) − f (x + 2)
f (x + 3) = f (x)
⇔

, ∀x ∈ R.

1
f (x) = [2f (x) − f (x + 1) − f (x + 2)]
3
f (x + 3) = f (x)

, ∀x ∈ R.

(2.21)

[2g (x) − g (x + 1) − g (x + 2)] , ∀x ∈ R,
3

trong đó g là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 3 trên R, tùy ý.

(2.22)