Header Page 1 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VÂN ANH

SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH
CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN
VÀO SỐ HẠT TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 123.


Header Page 2 of 123.

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Footer Page 3 of 123.


Header Page 4 of 123.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2
5. Những đóng góp mới của đề tài ................................................................ 2
6. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 2
Chương 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE –
EINSTEIN ......................................................................................................... 3
1.1. Hệ hạt đồng nhất .................................................................................... 3
1.1.1. Nguyên lý đồng nhất ....................................................................... 3
1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng ...................................... 3
1.2. Thống kê Bose – Einstein ...................................................................... 6
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose – Einstein ............................. 14
1.4. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein .......................................... 17
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium............ 17
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ....................................... 18
1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ
polartion .................................................................................................. 20
1.4.4. Chất siêu dẫn mới .......................................................................... 23
1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose Einstein .................................................................................................... 24
Chương 2. LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII ......................................... 27
2.1. Gần đúng trường trung bình ................................................................. 27

thích những cơ chế cơ bản của các môn khoa học khác đồng thời mở ra những
hướng nghiên cứu trong đó có trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein (BEC Bose - Einstein condensate). Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết thương đối
tổng quát để miêu tả mô hình cấu trúc của toàn tinh thể vũ trụ, một trong
những thành tựu khoa học của ông đó là ý tưởng về BEC bắt đầu từ năm 1924
khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức
xạ vật đen lúc xem photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất.
Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa
học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử
và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng cùa chúng trở
thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và
tạo nên một trạnh thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu nguyên tử
tức là một BEC. Mãi đến năm 1980 khi kĩ thuật laser đã đủ phát triển đủ để
làm siêu lạnh các nguyên tử tới nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện được.
Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới từ
những nguyên tử lạnh năm 1995. Điều này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng
vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạnh thái có năng lượng
thấp nhất đã mờ ra nhiều triển vọng nghiên cứu vật lý. Đây là một lĩnh vực
khoa học hay, có hướng phát triển mạnh mẽ, đa dạng trong thời gian tốt, có
thể tạo ra nhiều dạng vật chất mới mang ý nghĩa quan trọng trong ngành vật

Footer Page 6 of 123.


Header Page 7 of 123.

2
lý. Chính vì thế mà tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học của mình là: “Sự phụ
thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành
phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn.”
2. Mục đích nghiên cứu


Sử dụng phần mềm Mathematica.



Sử dụng phép gần đúng parabol kép.

Footer Page 7 of 123.


Header Page 8 of 123.

3

Chƣơng 1
TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất
1.1.1. Nguyên lý đồng nhất
Chúng ta nghiên cứu một hệ gồm N hạt chuyển động phi tương đối tính.
Trong trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng
N P
ˆ2
ˆ
ˆ ,
H   i  Vˆ  r1, r2, ..., rn   W
2
m
i 1
i


Footer Page 8 of 123.

(1.3)


Header Page 9 of 123.

4
Pˆij  i, j     i, j 

(1.4)

Phương trình (1.4) có





Pˆ ij2  i, j    2  i, j   Pˆij Pˆij  i, j   Pˆij  i, j     i, j  .
Từ đây suy ra trị riêng của toán tử Pˆij là   1
Nên các hàm riêng của toán tử hoán vị Pˆij được chia làm hai lớp:
a) Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm phản đối xứng)
Pˆij a   a

tương ứng với trị riêng   1
b) Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm đối xứng)
Pˆij s   s

tương ứng với trị riêng   1
Tính đối xứng và phản đối xứng của một hạt là tích phân chuyển động.

Từ đây 2 a  i, j   0 và  a  i, j   0 nghĩa là trạng thái của hệ như vậy
không tồn tại.
Ta đi xét một hệ đồng nhất mà các hạt tương tác yếu với nhau, trong một
phép gần đúng nào đó ta coi các hạt không tương tác với nhau.
Giả sử hàm nl  l  là nghiệm đúng của phương trình

 Hˆ  l    n  n  l   0
l l

ở đây Hˆ  l  là toán tử Hamilton cho hạt thứ l  l  1,2,..., N  , nl là tập hợp các
số lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái của hạt l . Khi đó các hàm riêng
của toán tử Hˆ của hệ tương ứng với năng lượng En    nl sẽ là tổ hợp tuyến
l

tính của các tích dạng n1 1  n2  2  ...nN  N  .
Đối với hệ Boson, hàm sóng phải có dạng của tích đã đối xứng hóa

s 





N1 ! N 2 !...N s !
 P n1 1  n2  2 ...nN  N 
N!


(1.5)


Từ (1.6) chúng ta có thể suy ra nguyên lý Pauli
1.2. Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2],
,
trong đó

(1.7)

là độ suy biến.

Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có
(1.8)
ở đây,

là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ,

là số chứa đầy tức là số

hạt có cùng năng lượng .
Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ
suy biến

với xác suất khác nhau. Độ

trong (1.7) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau

về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị


được do hoán vị các hạt.
Ta kí kiệu
(1.10)
Khi đó (1.10) được viết lại như sau

(1.11)
Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.11) như sau
Một là vế phải của (1.11) có thể coi là hàm của các
nhận công thức đó như là xác suất để cho có

nên ta có thể đoán

hạt nằm trên mức

,

hạt

nằm trê mức , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta
có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng

.
Hai là đại lượng

(1.12)

xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện

các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ
fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì


(1.14)

vào (1.10) ta thu được (1.13). Để tính trị trung bình của các

số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn
cho đại lượng

trong công thức (1.11) chỉ số , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình

như không phải chỉ có một thế hóa học
. Và cuối phép tính ta cho

mà ta có cả một tập hợp thế hóa học

.

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa
như sau
,

với

(1.15)

,

nghĩa là
Khi đó đạo hàm của



do đó theo (1.15) ta có

,

(1.20)

khi đó
.

(1.21)

Theo (1.19) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
,

(1.22)

ta có (1.22) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học

trong

công thức (1.22) được xác định từ điều kiện
(1.23)
Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt
trung bình có năng lượng trong khoảng từ

Footer Page 14 of 123.

bằng


Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng

và véctơ sóng

,

(1.26)

khi đó (1.25) có thể được viết dưới dạng
.

(1.27)

Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc

thì

suy ra
,
,
do đó (1.27) có dạng
.
Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin
năng lượng trong khoảng

Footer Page 15 of 123.

của hạt
là


tiên ta chứng minh rằng
.
Thực vậy, số hạt trung bình

(1.31)
chỉ có thể là một số dương, do đó,

theo (1.29), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.29) luôn luôn dương
(nghĩa là khi

, để cho

luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị

của ).
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,

giảm dần khi nhiệt độ tăng

lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.30) ta có:

(1.32)

Footer Page 16 of 123.


Header Page 17 of 123.

12

trở thành

.

Mà ta biết

, nên từ (1.33) và

, ta được

.

Footer Page 17 of 123.

(1.33)

(1.34)


Header Page 18 of 123.

13
Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào
cỡ 120kg/m3 ta được

= 2,190 . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ

có ý



thì

chỉ ra rằng số hạt

có thể phân bố theo các mức năng

lượng một cách tương ứng với công thức (1.24), tức là
.

Các hạt còn lại

(1.36)

, cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi,

chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn

, một phần các hạt của khí bose sẽ

nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ
được phân bố trên các mức khác theo định luật

Footer Page 18 of 123.

. Hiện tượng mà ta vừa



nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [3].
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của 4He cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của
một số vật liệu.

Footer Page 19 of 123.


Header Page 20 of 123.

15
Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ
Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm
lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong
thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo
ra được ngưng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được
hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính
chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel
Vật lý năm 2001.
Các hạt trong Vật lý được chia ra làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và
lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion là
các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài
ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion
không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử”.
Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,
giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi
cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến
thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí

Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái
ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng
vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng [3].
Ngưng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có
spin nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ
cao, đã được quan sát trong một vài hệ Vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và
vật lý chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất. Bức xạ
của vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không

Footer Page 21 of 123.


Header Page 22 of 123.

17
diễn ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt
độ giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý
thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng
tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình
cộng hưởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngưng tụ Bose – Einstein.
Trong một số thí nghiệm gần đây, người ta đã tiến hành nghiên cứu với khí
photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, người ta đã
mô tả lại ngưng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết
định cả thế giam cầm và sự không ảnh hưởng bởi khối lượng các photon, làm
cho hệ tương đương với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta
thấy dấu hiệu của ngưng tụ Bose – Einstein, năng lượng photon phân bố chủ
yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ
và dạng hình học của hốc thế được dự đoán từ trước.
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium

START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của
Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium
hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố
Erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang
Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngưng tụ
Bose – Einstein đầu tiên. Ngưng tụ mới của Erbium, lần đầu tiên được tạo ra
ở Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chước những hiệu ứng phát sinh từ
sự tương tác tầm xa. Loại tương tác này là cơ sở của cơ chế động lực học
phức tạp có trong tự nhiên, ví dụ như xảy ra trong các xoáy địa Vật lý, trong
các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp.
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý
Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực Vật lý khi
cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang
trạng thái đốm màu.

Footer Page 23 of 123.


Header Page 24 of 123.

19
Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một
trạng thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”, nó
từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một
chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt
photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng.


trao đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và
cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng.
Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó
đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngưng tụ Bose Einstein.
Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà Vật lý James Anglin
thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên
là “một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Các tác giả của nghiên cứu này cho
biết thêm rằng, công trình của họ có thể gúp mang tới những ứng dụng trong
việc chế tạo các loại laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bước sóng vô
cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím.
1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ
polartion
Các nhà Vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một
trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein trong một hệ các giả hạt được làm lạnh được
gọi là polarition. Mặc dù những khẳng định tương tự đã từng được công bố trước
đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng sự kết

Footer Page 25 of 123.