BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THU HƢƠNG

SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ
BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN
TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận
tình hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trƣờng
Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè
đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để
tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016

1.2. Thống kê Bose – Einstein ....................................................................... 4
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein .............................. 13
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein ........................................... 16
1.4.1. Ngƣng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium ............. 16
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ......................................... 18
1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngƣng tụ
polartion .................................................................................................... 19
1.4.4. Chất siêu dẫn mới ........................................................................... 22
1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngƣng tụ Bose Einstein...................................................................................................... 24
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 26
Chƣơng 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
THÀNH HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU....................................... 27
2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii .............................................................. 27
2.2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian........................ 27


2.2.2 Phƣơng trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ....... 28
2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) ......... 30
2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép ..................................... 32
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 36
Chƣơng 3. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN TRONG
GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP ....................................................................... 37
3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài ......................................................... 37
3.2. Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần trong
không gian nửa vô hạn trong gần đúng parabol kép .................................... 40
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3................................................................................ 45
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 47




2
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu sức căng
mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong không gian nửa
vô hạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành
phần trong không gian nửa vô hạn trên cơ sở thống kê Bose - Einstein,
phƣơng trình Gross-Pitaevskii tổng quát.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Các phƣơng trình Gross-Pitaevskii.
- Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành
phần trong không gian nửa vô hạn.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai
thành phần trong không gian nửa vô hạn có những đóng góp quan trọng
trong Vật lý thống kê và cơ học lƣợng tử nói riêng, trong Vật lý lý thuyết
nói chung.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng gần đúng parabol kép.
- Tính số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica.
- Đọc tài liệu liên quan.
- Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lƣợng tử và các
phƣơng pháp giải tích toán học.


3
Chƣơng 1

của các hạt 1, 2, 3,…, N .
Nếu các hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin,…không
phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một
hệ nhƣ thế, làm thế nào có thể phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lý
học cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo
các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lƣợng của từng
hạt. Nhƣng biện pháp này không thể áp dụng đƣợc trong cơ học lƣợng tử.
Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt đƣợc bằng cách đặt
chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng
đƣờng hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho
nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa.
Tính không phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ
học lƣợng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất


4
chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho
nhau.
Dựa vào tính chất nội tại của các hạt ngƣời ta chia hệ hạt đồng nhất thành
hai nhóm cụ thể là:
+ Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermi, đó là các hạt có spin bán nguyên
1 3
( , ,... ); ví dụ nhƣ electron, các nucleon,… Hệ này bị chi phối bởi nguyên
2 2

lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại không bao giờ đƣợc tìm thấy ở tại
cùng một vị trí”. Nguyên lý này đƣợc rút ra từ tính phản đối xứng của hàm
sóng trên các fermion.
+ Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên; ví dụ
nhƣ photon,  - meson, K – meson… Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý


(1.4)


5
ở đây,  l là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt
có cùng năng lƣợng  l .
Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0   với xác suất khác nhau. Độ
suy biến gk trong (1.3) sẽ tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác
nhau về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới
vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống
kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố
chính tắc lớn lƣợng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.
Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng



1
W  n0 , n1,... 
exp    N   nl  l  g k ,
N!
l 0



trong đó N 



 nl ,




l 0
W  n0 , n1,...  exp 
 G  n0 , n1,... .






(1.7)

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) nhƣ sau:
Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán
nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 , nl hạt


6
nằm trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này
ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng

nl   ...nl W  n0 , n1,...
n0 n1






Tìm gk
Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt có cùng một năng lƣợng  l . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia
cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho n0 !n1!...
Khi đó
gk 

N!
,
n0 !n1 !...

(1.10)

thay giá trị của gk vào (1.6) ta thu đƣợc (1.9). Để tính trị trung bình của các
số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau) ta gắn
cho đại lƣợng  trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình


7
nhƣ không phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thế hóa
học l . Và cuối phép tính ta cho l   .
Tiến hành phép thay thế nhƣ trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa
nhƣ sau

 
 

...W  n0 , n1,...  exp    Z  1,
n0 n1




n







l
l
l 

1 Z


l

0
 
  ...nk .exp 
 G  n0 , n1,....
l
Z l

n0 n1




 l 0 n 0



 
 n
 


8


 
l 0

1
,
 l   l 
1  exp 

  

(1.16)

khi đó


    
    ln 1  exp  l l .

dn    

dN   
,
   
exp
1
  

(1.20)

trong đó dN   là số các mức năng lƣợng trong khoảng     d .
Tìm dN  
Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem
nhƣ các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định dN   bằng cách áp
dụng công thức
dN  k  

k 2V
2

2

dk ,

cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k  k  dk


9


suy ra
p 2  2m ,

p 2dp  2m3 d ,
do đó (1.23) có dạng
dN    

2m3V
2 2

3

 d .

Vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g  2s  1 . Do đó, số các mức
năng lƣợng trong khoảng     d là
dN    

2m3Vg
2

2 3

 d .

(1.24)

Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng     d là






0

 

e

kT

d .

(1.26)

1

Phƣơng trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí Bose lí tƣởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng

  0.

(1.27)

Thực vậy, số hạt trung bình dn   chỉ có thể là một số dƣơng, do đó, theo
(1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dƣơng (nghĩa
   
là khi   0, để cho exp 





 


d





 0   

  
 d


kT
e
1
 kT

0
1
e


11

 d

2



0



 

1
T

1
e kT
 d
 kT   
2


0
 e kT  1





 



kT

2

kT

 


 1



kT

2

(1.28)

 d

Nhƣng do (1.26) nên     0, do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế
phải (1.28) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của  , vì vậy
chất   0 và


 0 . Từ các tính
T


0




d .

e kT0  1

suy ra


m3/2Vg
2 2

kT kT0 
3 0

dx
x
e

1
0

m3/2Vg  kT0 

3/2
mkT0  Vg  x

 e x  1dx  2.31, nên từ (1.29) và 0  kT0 , ta đƣợc

0

 
2 4

0

1/3 2

N
T0 

 
k  2.31g 2/3 mk  V 

2/3

.

(1.30)

Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn nhƣ đối với 4He [2], ngay cả với khối lƣợng riêng của chất lỏng Hêli vào
cỡ 120kg/m3 ta đƣợc T0  2,190 K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0  0 có ý
nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0  T  T0 .
Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max  0 ,
mà



e kT  1

So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy
T 
N   0   N  
 T0 

3/2

N  T 
hay
 
N  T0 

3/2

.

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải đƣợc
đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi T  T0 thì N   N chỉ ra rằng số hạt
toàn phần N chỉ có một phần số hạt N  có thể phân bố theo các mức năng
lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.20), tức là


13

dn    

 d

nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ
1
đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật  /
. Hiện tƣợng mà ta
e 1

vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lƣợng
không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc gọi
là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( T  0 ) tất cả các hạt bose sẽ
nằm ở mức không.
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein
Ngƣng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị
làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay 2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái
lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ
mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô. Hiện
tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với
spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tƣởng về một
phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một năm để
giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó
mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và
Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống
kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với


14
spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm
photon cũng nhƣ các nguyên tử Heli-4 đƣợc phép tồn tại ở cùng trạng thái
lƣợng tử nhƣ nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử
boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng
thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.


  0 , do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E  0 . Còn
đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ T  00 K các hạt lần lƣợt chiếm các
trạng thái có năng lƣợng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lƣợng của cả hệ khác
không ( E  0 ).
Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không (ví dụ nhƣ các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
các electron và nucleon là chẵn, …) đƣợc gọi là các hạt boson hay khí bose.

Hình 1.1: Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trƣờng hợp này là các
nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị
trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển
động chậm. Bên trái là trƣớc khi xuất hiện ngƣng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau
khi ngƣng tụ. Bên phải là trạng thái ngƣng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngƣng tụ, rất
nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lƣợng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.
(Ảnh: Wikipedia)

Ngƣng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin
nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã


16
đƣợc quan sát trong một vài hệ Vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và vật lý
chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất. Bức xạ của
vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn
ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt độ
giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý
thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng
tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình
cộng hƣởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein.

tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói.
Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý
ở Innsbruck đã cho ngƣng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã đƣợc thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của
ông hồi năm 2002 khi họ thu đƣợc sự ngƣng tụ của Sesium, dẫn tới vô số
những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một ngƣời nhận tài trợ
START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của
Rudolf Grimm, là ngƣời đầu tiên hiện thực hóa một ngƣng tụ của Strontium
hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố
Erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm
cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang
Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngƣng tụ
Bose – Einstein đầu tiên. Ngƣng tụ mới của Erbium, lần đầu tiên đƣợc tạo ra
ở Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chƣớc những hiệu ứng phát sinh từ
sự tƣơng tác tầm xa. Loại tƣơng tác này là cơ sở của cơ chế động lực học
phức tạp có trong tự nhiên, ví dụ nhƣ xảy ra trong các xoáy địa Vật lý, trong
các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp.


18
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý
Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bƣớc đột phá trong lĩnh vực Vật lý khi
cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang
trạng thái đốm màu.
Cũng giống nhƣ các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một
trạng thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein”, nó
từng đƣợc tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một
chất khí, nhƣng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt

cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng.
Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhƣng nó
đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngƣng tụ Bose Einstein.
Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà Vật lý James Anglin thuộc
trƣờng Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là
“một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Các tác giả của nghiên cứu này cho
biết thêm rằng, công trình của họ có thể giúp mang tới những ứng dụng trong
việc chế tạo các loại laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bƣớc sóng vô
cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím.
1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ
polartion
Các nhà Vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của


20
một trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein trong một hệ các giả hạt đƣợc làm
lạnh đƣợc gọi là polarition. Mặc dù những khẳng định tƣơng tự đã từng
đƣợc công bố trƣớc đó, nhƣng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này
vẫn hoài nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của chùm laser đƣợc
dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa là hệ không chắc chắn là ngƣng tụ.
Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy
polartion từ các chùm.
Lần đầu tiên đƣợc tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử Rubidi, trạng thái
ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó một số lƣợng lớn các
hạt boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản
giống nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển
ngẫu nhiên của chúng và dịch chuyển nhƣ một trạng thái kết hợp, và rất có ý
nghĩa cho các nghiên cứu về hiệu ứng lƣợng tử ví dụ nhƣ siêu chảy trong một
hệ vĩ mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thƣờng chỉ xảy ra ở
nhiệt độ rất thấp, gần không độ tuyệt đối.