TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THI ̣ THẮM

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀ I CỦA
NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀ NH PHẦN
TRONG THỐNG KÊ CHÍ NH TẮC LỚN
Chuyên ngành: Vâ ̣t lý lý thuyế t
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THI ̣ THẮM

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀ I CỦA
NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀ NH PHẦN
TRONG THỐNG KÊ CHÍ NH TẮC LỚN
Chuyên ngành: Vâ ̣t lý lý thuyế t
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI, 2018





DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

BEC

(Bose-Einstein condensate) Ngưng tu ̣ Bose-Einstein

GPE

(Gross-Pitaevskii equation) Phương trình Gross-Pitaevskii

DPA

(Double-parabola approximation) Gầ n đúng parabol kép

GCE

(Grand canoical ensemble) Tâ ̣p hơ ̣p chính tắ c lớn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do cho ̣n đề tài. .......................................................................................... 1
2. Mu ̣c đích nghiên cứu. .................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
5. Những đóng góp mới của đề tài. ................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN. . 3

Albert Einstein(1987-1995)-một nhà vật lý lý thuyết người Đức, ông đã
phát triển thuyết tương đối tổng quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại.
Nói tới ông nói tới hàng loạt những công trình nghiên cứu vi ̃ đại có sức ảnh
hưởng vô cùng lớn trong thế kỷ 20, trong đó có nghiên cứu về ngưng tụ BoseEinstein (Bose-Einstein Condansate-BEC).
1995, ở trạng thái này các nguyên tử sơ khai đươ ̣c ngưng tu ̣ thành công
bằ ng cách làm la ̣nh tới nhiê ̣t đô ̣ thấ p nhấ t, với các tính chất khác biêt.̣
Thấy rằng việc nghiên cứu ra đươ ̣c nguyên tử ở trạng thái BEC mang
đế n ý nghĩa quan tro ̣ng là tạo ra đươ ̣c tra ̣ng thái tồ n ta ̣i mới của vâ ̣t chấ t. Mà
chúng bị nhố t ta ̣i năng lượng cực tiể u , bên ca ̣nh đó còn đem đế n vô số triển
vọng đố i với vật lý cơ bản và với công cuô ̣c nghiên cứu khoa học cho loài
người.
Ngoài ra, ở tra ̣ng thái BEC ta còn thấ y được các hiệu ứng vật lý mà
không thể tìm thấ y ở những tra ̣ng thái khác, ví du ̣: siêu dẫn, siêu chảy…
Nhiǹ ra vô số ý nghiã của viê ̣c nghiên cứu trạng thái BEC cũng như
mong muốn nghiên cứu nhiề u hơn về trạng thái BEC tôi chọn “Nghiên cứu
sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong
thống kê chính tắc lớn” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mu ̣c đích nghiên cứu.
Tìm đươ ̣c sức căng mă ̣t ngoài của BEC mô ̣t thành phầ n trong thố ng kê
chin
́ h tắ c lớn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Xây dựng phương trình Gross-Pitaevskii tổng quát và phương pháp gầ n
đúng parabol kép.

1


Nghiên cứu về sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một
thành phần trong thống kê chính tắc lớn.

Ý tưởng của Bose đươ ̣c Einstein phát triể n và tổng quát lý thuyết cho một
khí lý tưởng các nguyên tử. Ông dự đoán khi làm la ̣nh các nguyên tử đến mô ̣t
nhiệt độ cực thấp thì bước sóng của chúng sẽ lớn đến mức xế p chồ ng lên
nhau. Các nguyên tử khi ấ y sẽ hình thành ra trạng thái lượng tử vĩ mô hay là
một siêu nguyên tử-tức là một BEC.
Vào năm 1925, Albert Einstein đã thể hiêṇ đươ ̣c quan điể m cơ bản của
một ngưng tụ Bose–Einstein, theo quan điể m của ông một lươ ̣ng lớn các hạt
nằ m ta ̣i tra ̣ng thái mức thấp nhất và nhiệt độ thấp.
Đối với 4He lỏng các nhà nghiên cứu phát hiêṇ ra sự thay đổi trạng thái vô
cùng đă ̣c biêṭ ở 2,19oK và đươ ̣c được coi như sự ngưng tụ của khí boson [3].

3


Năm 1938, Fritz London đã giải thích tính siêu lỏng của 4He bằ ng cách
đề xuất trạng thái BEC và tính chấ t siêu dẫn của một số vật liệu ở gầ n đô ̣
không tuyê ̣t đố i.
Năm 1947 Bogoliubov xây dựng thành công lý thuyế t về tương tác khí
bose ở lĩnh vực BEC, ông đưa ra cách tính tương tác giữa những nguyên tử
khi nhố t chúng la ̣i.
1.1.2. Nghiên cứu thực nghiệm.
1.1.2.1. BEC đầu tiên của nguyên tố erbium.
Dựa và những đă ̣c trưng quan tro ̣ng của chấ t khí lươ ̣ng tử ta ̣i nhiêṭ đô ̣ cực
thấ p hỗ trơ ̣ viêc̣ làm cho mô ̣t số hiêṇ tươ ̣ng vâ ̣t lý dễ hiể u hơn. Nhóm nghiên
cứu của Francesca Ferlaino quyế t đinh
̣ nghiên cứu về nguyên tố Erbium, do
mô ̣t số tin
́ h chấ t đă ̣c trưng của nó giúp giải quyế t đươ ̣c nghi ngờ trong vâ ̣t lý
cơ bản.
“Erbium tương đối nặng và có tính từ mạnh. Những tính chất này dẫn tới

những nhà vật lý thuộc đại học Bonn (Đức) gầ n đây đã thành công và go ̣i tên
hạt đó là “các siêu photon”.
Làm cho ha ̣t tồ n ta ̣i ở tra ̣ng thái BEC truyề n thố ng thành da ̣ng siêu la ̣nh
cho tới khi hòa vào nhau, không thể phân biệt được với nhau rồ i tạo ra một
hạt khổng lồ. Những photon từng bi ̣dự đoán sẽ không thể đạt được da ̣ng trên
vì mô ̣t điề u không thể làm đó là làm la ̣nh và ngưng tu ̣ ánh sáng cùng mô ̣t lúc.
Photon khi bi ̣làm la ̣nh sẽ bi ̣hấ p thu ̣ vào môi trường quanh nó để rồ i biế n mấ t
vì khố i lươ ̣ng của nó là không đáng kể . Nhưng rồ i bố n nhà vâ ̣t lý người Đức
kia đã làm la ̣nh đươ ̣c đươ ̣c photon mà nó không bi ̣biế n mấ t.
Ho ̣ chế ra một thùng nhố t giữ photon làm bằng những tấm gương, những
tấ m gương đó chỉ cách nhau một khoảng phần triệu của một mét (1micron).
Các phầ n nhỏ các phân tử “thuốc nhuộm” đươ ̣c bỏ vào các khoảng vô cùng
nhỏ ấ y.Khi photon va cha ̣m với các phân tử thuố c nhuô ̣m sẽ bi ̣hấ p thu ̣ rồ i tái
phát.

5


Trong quá trin
̣
̀ h va cha ̣m các photon bi ̣ các tấ m gương giữ chỉ đươ ̣c dich
chuyể n trong khoảng giới ha ̣n. Khi va cha ̣m các photon có thể đa ̣t tới mức
nhiêṭ đô ̣ phòng nhờ trao đổ i nhiêṭ với phân tử thuố c nhuô ̣m và ta ̣i đó chúng sẽ
ta ̣o thành mô ̣t tra ̣ng thái BEC.
Thử nghiệm trên đươ ̣c nhâ ̣n xét là “một thử nghiệm mang tính bước
ngoặt” đươ ̣c James Anglin nói trong ta ̣p trí Nature. Thử nghiêm
̣ trên còn hỗ
trơ ̣ viê ̣c ứng dụng trong để tạo ra mô ̣t số laser mới sinh ra đươ ̣c ánh sáng với
bước sóng cực ngắn trong dải tia X hoặc tia cực tím.
1.2. Lý thuyết trường trung bình.

.


(1.2)

Dựa vào công thức (1.2) ta đi tìm năng lươ ̣ng tự do F. Hê ̣ đang khảo sát
cho phép liên hợp hàm sóng ψi với bất kỳ hàm sóng nào cùng hệ. Nhưng để
giải đươ ̣c chúng ta cầ n dựa vào phương pháp gần đúng trường trung bình.

6


Để làm đươ ̣c thì trong không gian của hàm sóng thì năng lươ ̣ng tự do của
nó cầ n đươ ̣c cực tiể u hóa, có da ̣ng  =     .....  

với

 là

tenxơ, có  là tích tenxơ của N hàm sóng các hạt (điều kiện chuẩn hóa

  = 1).
Viê ̣c giải bài toán đươ ̣c quy về tìm cực tiể u của

F (  ) =  H  −    , bây giờ đi tính từng thành phần của biểu thức
2

N

N


2

2


2m 

*

2

i

(1.3)

( r )   ( r ) d r.
2

Nghiê ̣m của (1.3) có đươ ̣c nhờ vào tính chấ t của hàm Green
Số hạng mô tả thế năng đươ ̣c viết lại



n

V
i =1

ext


(1.5)

N ( N − 1) )
d r  * r  r  V r − r   r  r  d r ,

2

() ( )(

) () ( )

Trong công thức năng lươ ̣ng tự do, số ha ̣ng cuố i

( () () )

N

   =   * r  r d r .

7

(1.6)


Tính cực tiểu của các công thức trên, hay là khảo sát sự thay đổ i nhỏ của

()

các  r , thực tế là khảo sát sự thay đổ i của các thành phần thực và ảo của

r    r


2

(1.7)

) ()

V r − r   r d r.


Giố ng như thế hóa, ta có

 
= N  * r  r d r
*

= N  

*

( () () )
( r ) ( r ) d r.

N −1

 

*


(

)

đa số thế năng tương tác đươ ̣c lấ y là

(

)

V r − r =

4 2
 r − r  ,
m

(

)

(1.10)

với α là chiều dài tán xạ sóng s, gần đúng N − 1 N cuối cùng ta có:
2
− 2 2
4 2
  r + Vext r  r + N
  r  r =  r . (1.11)
2m


(1.13)

và hàm Hamiton
 () = −

2

2m

*2  +

g 4
 ,
2

(1.14)

ở đây ta có: hàm sóng  =  ( r , t ) ở tra ̣ng thái cơ bản; m-khối lượng hạt; ghằng số tương tác dương và chúng phu ̣ thuô ̣c vào đô ̣ dài tán xa ̣ sóng
g = 4

2

1
as .
m

(1.15)

Cực tiểu hóa hàm S theo  *

Thế (1.18) vào (1.17) có phương triǹ h
− 2 2
3
  −  + g  = 0.
2m

(1.19)

Lúc này thế tương tác sẽ có da ̣ng sau
V = −  +
2

g 4
 .
2

(1.20)

Khi các thành phầ n ngưng tu ̣ đươ ̣c phân bố do ̣c theo phương Oz và có tiń h
chấ t đố i xứng tinh
̣ tiế n theo các phương Ox, Oy thì (1.19) sẽ dươ ̣c viế t la ̣i
− 2 d 2
3
−  + g  = 0.
2
2m dz

(1.21)

Bây giờ ta đi đưa phương trình về da ̣ng không thứ nguyên bằ ng cách đưa

1 d 2
3
−  + g  = 0,
nên (1.21) thành −  2
2
 d
2

mà  = gn0 , =  n0 nên từ phương trình (1.21) đươ ̣c

− gn0
2

1

2

d 2
n0
− gn0 n0  + gn0 n0  3 = 0
2
d

−d 2

−  +  3 = 0,
2
d

(1.22)




4

2

.

(1.24)

Ở gầ n mă ̣t thoáng, giá tri ̣mâ ̣t đô ̣ khố i giảm dầ n từ 1 nên ở gầ n đúng bâ ̣c

  1 + a,

thấ p nhấ t lấ y

(1.25)

Trong đó a phải nhỏ và là số thực.
Thế (1.25) vào (1.24) có
1
4
(1 + a )
2
1
= −1 − 2a − a 2 + (1 + 4a + 6a 2 + 4a 3 + a 4 )
2
1
1

0.0

0.2

0.4
1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Hình 1.1: Đồ thi ̣ biể u diễn thế tương tác theo tham số trâ ̣t tự ϕ, đường nét
liề n ứng với thế GP và nét đứt ứng với thế DPA.
Thấ y rằ ng thế GP đươ ̣c thay bằ ng hai đường parabol nên go ̣i đây là gầ n
đúng parabol kép.

12


KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này tôi đã trình bày về tổ ng quan của BEC, đưa ra đươ ̣c thế
tương tác của hê ̣ BEC mô ̣t thành phầ n và phương triǹ h GP phu ̣ thuô ̣c cũng

i
 t


(2.2)

trong đó toán tử Hamilton (2.1) biể u thi ̣hàm to ̣a đô ̣ không gian, thời gian và
spin.
Hê ̣ ha ̣t go ̣i là đồ ng nhấ t là hê ̣ có những ha ̣t không thể phân biê ̣t đươ ̣c về
điện tích, khối lượng, spin…. Để xác đinh
̣ đươ ̣c các ha ̣t này ta phải chỉ ra to ̣a
đô ̣ và xung lươ ̣ng cho từng ha ̣t.
Phát biể u nguyên lý: “Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng
thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau” [1].
Trạng thái đối xứng và phản đối xứng.
Kí hiệu Pˆij là toán tử hạt i và j với nhau và trạng thái của hệ gồ m N hạt
đồng nhất là  (1,2,...., N , t )   ( i, j ) . Nếu vậy:
Pˆij ( i, j ) =  ( j , i )

và Pˆij ( j , i ) =  ( i, j ) .

Pˆij có hàm riêng và tri ̣riêng biể u thi qua
̣

14

(2.3)


Pˆij ( i, j ) =  ( i, j ) .

Giả thiế t, có hạt i và j ta ̣i hai trạng thái như nhau trong hê ̣
Pˆij a ( i, j ) =  a ( j , i ) = − a ( i, j ) ,

Thêm nữa  a ( j, i ) =  a ( i, j ) , nên  a ( i, j ) = − a ( i, j )
suy ra 2 a ( i, j ) = 0 và  a ( i, j ) = 0
nói cách khác không có trạng thái như thế của hệ.
Bây giờ khảo sát hệ ha ̣t đồ ng nhấ t trong đó những ha ̣t tương tác yếu hay
coi như không có tương tác.

15


Coi phương trin
̀ h
 Hˆ ( l ) −  nl  nl ( l ) = 0



có nghiê ̣m là hàm φnl(l),
trong đó: toán tử Hamilton của hạt thứ l là Hˆ ( l ) (l=1,2,3,..., N), nl là tập hợp
các số lượng tử đa ̣i diê ̣n cho trạng thái của hạt thứ l.
Thì toán tử Hˆ có hàm riêng dạng n1 (1)n 2 ( 2)nN ( N ).
Hàm sóng là tích đối xứng hóa của hê ̣ Boson
s =

N1 ! N 2 !....N s !
v Pv n1 (1)n 2 ( 2 ) ...nN ( N ),
N!

(2.7)

với thừa số chuẩ n hóa

1
có đươ ̣c nhờ điều kiện chuẩn hóa
 ( E, a )

16

(2.10)


  ( X ) dX = 1

(X )

 ( E, a ) =

  E − H ( X , a ) dX .

(2.11)

(X )

Phân bố vi chính tắc Gipxơ biể u thi ̣ qua công thức (2.10), nhờ đó ta tính
trị trung bình của bấ t kỳ đại lượng vật lý nào trong hệ cô lập đoạn nhiê ̣t

F=

 F ( X )  ( E , a )  E − H ( X , a ) dX .
1

phân bố của hệ con C1

 ( X1 ) =

  ( X , X ) dX

( X2 )

1

2

2

.

(2.15)

Để xác đinh
̣ ω(X1) mô ̣t cách tổng quát ta đưa ra ba giả thiết
1. Thứ nhấ t, năng lượng của các hệ C1 và C2 coi so với năng lượng tương
tác U12 luôn lớn hơn rấ t nhiề u. Nếu như số hạt N1, N2 đủ lớn thì điề u này rất
hợp lý với các hệ nhiệt động thông thường và đố i với (2.14) nế u hê ̣ có năng
lươ ̣ng cô ̣ng tiń h thì

17


U12 ( X 1 , X 2 ) = 0.


Đầ u tiên chia hê ̣ cầ n xét thành C’1 và C”1, lầ n lươ ̣t có hàm phân bố là
ω(X’1) và ω(X”1), năng lựơng hê ̣ sẽ bi ̣chi phố i bởi năng lượng toàn phần của
hệ C’1 và C”1.

 ( X '1 ) = f H '1 ( X '1 )
 ( X "1 ) = f H "1 ( X "1 ).
C1 có biể u thức năng lươ ̣ng toàn phầ n
H1 ( X 1 ) = H '1 ( X '1 ) + H "1 ( X "1 ) + U '12 .

Nếu hai hê ̣ con đủ lớn thì giố ng với giả thiết đầ u coi năng lượng tương tác
U’12 bằ ng không
H1 ( X 1 ) = H '1 ( X '1 ) + H "1 ( X "1 ).

18