TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN TUẤN ANH

SỨC CĂNG MẶT PHÂN CÁCH CỦA
NGƯNGTỤ
BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ
GIỚI HẠN BỞI HAI TƯỜNG CỨNG

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


HÀ NỘI,2017
LỜI CẢM ƠN

Trước tiên,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo
Th.S Hoàng Văn Quyết người đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn
để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng
dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức
cơ bản trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như trong công việc sau
này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen
với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô
và các bạn để đề tài này được hoàn thiệnhơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

1.1. Lịch sử hình thành và phát triển ............................................................ 3
1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein
Condensates ................................................................................................... 10
1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý .............................................. 10
1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng ............................................. 12
1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein có
liên quan đến khóa luận................................................................................ 15
1.3.1. Thống kê Bose – Einstein .................................................................... 15
1.3.2. Toán tử Hamilton .................................................................................. 24
1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii ............................................................ 25
1.3.3.1. Hệ riêng biệt ..................................................................................... 26
1.3.3.2. Hệ hai thành phần ............................................................................ 28
1.3.3.2.1. Phương trìnhGross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian ..................... 28
1.3.3.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thờigian 30
1.4. Sơ lược về phương pháp gần đúng Parabol kép ................................. 33


CHƯƠNG 2. SUẤT CĂNG MẶT PHÂN CÁCH ...................................... 35
2.1 Trạng thái cơ bản của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị
giới hạn bởi hai tường cứng ......................................................................... 35
2.2 Suất căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành
phần bị giới hạn bởi hai tường cứng ........................................................... 38
2.2.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài........................................................ 38
2.2.2. Suất căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành
phần bị giới hạn bởi hai tường cứng ............................................................ 41
KẾT LUẬN .................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 46


MỞ ĐẦU

2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose-Einstein nghiên cứu sức căng mặt
ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi một
tường cứng.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê của
hệ BCE hai thành phần
Phạm vi: chỉ nghiên cứu trường hợp hai chất lỏng không trộn lẫn nhau

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan được các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về BCE
Trình bày hệ phương trình Gross-Pitaevskii
Trình bày về phương pháp gần đúng Parabol kép
Áp dụng phương pháp gần đúng Parabol kép để nghiên cứu sức căng mặt
phân cách của ngưng tụ Bose –Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai
tường cứng

5. Phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii áp dụng phương pháp gần đúng
Parabol kép

6. Đóng góp của đề tài
Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.

2


NỘI DUNG
Chương 1.TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

thái lượngtử''.
Ở nhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất giống nhau, giống
hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi cả thống
kê Bose-Einstein và thống kê Fecmi- Dirac đều tiệm cận đến thống kê
Mắcxoen- Bônxơman ở nhiệt độ phòng). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ
thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion (chẳng hạn như khí điện tử
tự do trong kim loại). Thật vậy vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của
nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả đều có năng
lượng  = 0, do đó trang thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E = 0.
Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T = 00 K các hạt lần lượt chiếm
các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermion, do đó năng lượng của cả
hệ khác không (E #0).
Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
các electron và nucleon là chẵn,...) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose.
Khi nhiệt độ hạ xuống thấp Tc nào đó thì theo nguyên lý bất định
Heisenberg các hạt boson có bước sóng Đơbrơi là 𝜆𝐵 = (2𝜋ħ2 ⁄mk B T)

1⁄
2 do

đó 𝜆𝐵 tăng lên khi nhiệt độ giảm. Khi 𝜆𝐵 có thể so sánh được với kích thước
không gian giữa các nguyên tử thì các sóng Đơbrơi này sẽ chồng chất lên
nhau tạo thành bó sóng và khi đó các hạt đều có cùng một trạng thái lượng tử
ta gọi là trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein (BEC ).
Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất hiện khi nhiệt độ
của hệ ở dưới nhiệt độ giới hạn, đối với khí phân bố đều 3 chiều của hệ hạt
không tương tác mà không có bậc tự do nội tại trong nó, được cho bởi công
thức:


những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để
nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lí lượng tử.
"Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn
tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử", Ferlaino cho biết.
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp
đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện
laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ BoseEinstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. " Những thí nghiệm với erbium
cho phép chúng tôi thu được kết quả sâu sắc mới về những quá trình tương
tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt, chúng ta mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên
tử lạnh", Franlainonói.
Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lí

5


ở Innsbbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu
của ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số
những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ
START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của
Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của strontium
hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố
erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khácnhau.
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải

cácchùm.
Tuy nhiên, các polariton - các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống
và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có

7


thể tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên
về sự ngưng tụ này được công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại
học Tổng hợp Joseph Fourier, Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp
Thụy Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của
các polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt đô khá cao 19k.
Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu
hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác
trong lĩnh vực này lại nghi nghờ rằng các polarition dù ở trạng thái BEC thật,
nhưng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được
kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợprồi.

Hình 1.2: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316,1007)
Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng
hợp Pittsburgh và các cộng sự ở phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ
tượng tự mà trong đó các polarition được tạo bởi các tia laser sau đó di
chuyển khỏi vung kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một
ghim nhỏ chiều ngang 50 micron, để tạo ra một ứng suất bất đồng trên vi
cầu, có nghĩa là tạo ra như một cái bẫy để tích lũy các polariton. Và ở hệ
này, trạng thái BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2K.

8



trạng thái của vật chất. Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein", nó
từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một
chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt

10


vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ cùng lúc điều bất khả thi. Do
photon là các hạt không có khối lượng, chỉ mang năng lượng nên chúng đơn
giản dễ bị hấp thụ vào môi trường xung quanh và biến mất, đặc biệt là khi
chúng bị làm lạnh.
Bốn nhà vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách làm lạnh các hạt photon
mà không làm giảm số lượng của chúng. Để duy trì số lượng hạt photon,
những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng những
tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng 1 micromet. Giữa
các gương, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử "thuốc nhuộm" (về cơ bản chỉ
có một lượng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những
phân tử này, chúng bị hấp thụ và sau đó được tái tạo. Các tấm gương đã
"tóm" các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến - lui trong một trạng
thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt photon trao đổi nhiệt lượng mỗi
khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối cùng, chúng bị
làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng. Mặc dù không thể đạt độ không tuyệt đối
nhưng nhiệt độ phòng thôi, cũng đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một
hạt khổng lồ, hay trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein.
Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà vật lý James Anglin
thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm
trên là "một thành tựu mang tính bước ngoặt".
Ứng dụng phát kiến này vào thực tế, chúng ta có thể tạo các loại laser
mới có bước sóng cực ngắn, trong dải tia cực tím, hoặc tia X.
Ví dụ ứng dụng quan trọng của laze nguyên tử : Là in hôlôgraf (“in ba

đồng nghiệp ở Đại học Harvard đã khai thác một kỹ thuật được họ phát triển
từ năm 2001 để giữ các xung ánh sáng trong trạng thái ngưng tụ BoseEinstein, có thể làm cho ánh sáng laser đi chậm đến mức gần như đứng

12


lại. Kỹ thuật này bao gồm việc chiếu một xung từ một đầu phát laser vào các
nguyên tử Na ở trạng thái BEC, làm cảm ứng đến việc phân bố các dao động
nhỏ của điện tích trong nguyên tử.
Nhà vật lý Lene Vestergaard Hau sử dụng những tia laser và các đám
mây cực nhỏ để che nguyên tử siêu lạnh làm cho ánh sáng đi chậm đến mức
gần như đứng lại. Thông thường các lưỡng cực sẽ phát xạ và nhanh tróng bị
phân rã, nhưng khi chiếu một chùm laser có điều khiển vào các chuyên tử,
chúng sẽ chuyển các dao động trong điện tử thành các dao động của spin mà
dao động này ổn định hơn. Vì thế, khi mà xung laser này tắt đi, thông tin của
đầu phát laser sẽ được ghi lại trên dao động của lưỡng cực spin của nguyên
tử. Đảo tia laser điều khiển để giải phóng ánh sáng, cho phép các nguyên tử
bức xạ lại kết hợp (ví dụ như đồng pha với xung dò ban đầu).
Điểm khác biệt trong kỹ thuật mới là xung được làm chậm để tái hiện
lại tại vị trí BEC cách đó khoảng 1,6 mm. "Thủ đoạn đánh lừa" ở đây là hàm
sóng của lưỡng cực spin thực ra là một sự chồng chập của các nguyên tử
trong trạng thái cơ bản và trong trạng thái kích thích spin. Nhờ có nguyên lý
bảo toàn xung lượng mà các nguyên tử ở trạng thái kích thích spin sẽ di
chuyển khỏi BCE ban đầu khi nguyên tử hấp thụ photon từ xung laser, trong
khi nguyên tử ở trạng thái cơ bản thì đứng yên tại vị trí đó.
Nội dung thông tin của xung đầu dò đã được "in dấu" trên dao động
quay tròn các lưỡng cực của nguyên tử BEC đầu tiên (trên). Trong thí
nghiệm mới này xung cản trở được làm để xuất hiện BEC thứ 2 cách xa
khoảng 160 µm (dưới) .


Trong mục này chúng ta cần chỉ ra rằng khi nhiệt độ xuống thấp hơn
nhiệt độ Tc nào đó thì xuất hiện một số hạt nằm ở cùng một mức năng lượng
thấp nhất hay còn gọi là cùng trạng thái lượng tử.
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử :
wk 

1
  Ek 
exp 
 gk .
N!
  

(1.1)

Trong đó gk là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hoạt động tương tác thì ta có
∞

𝐸𝑘 = ∑ 𝑛𝑙 𝜀𝑙 .

(1.2)

𝑙=0

Ở đây  l là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, nl là số chưa đầy tức
là số có cùng năng lượng  l .
Số hạt trong hệ có thể nhận các giá trị từ 0   với xác suất khác nhau.


đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt cuả các trạng thái mà ta thu
được do hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu
gk
 G (n0 , n1 ,...)
N!

.

(1.4)

Khi đó (1.3) được viết lại như sau:



    nl (    l ) 
l 0
W  n0 , n1 ,...  exp 
 G (n0 , n1 ,...) . (1.5)






Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.5) như sau
Một là vế phải của (1.5) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đón
nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 , nl hạt
nằm trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do dó nhờ công thức này


. (1.6)

Hai là đại lượng G(n0 , n1 ,...) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện
các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ bonson và hệ
fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàn sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc dổi dấu nhĩa là diễn tả
cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta
có
G (n0 , n1 ,...) 

1
n0 !n1 !...

.

(1.7)
Trong phân số Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng  l . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia
cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho n0 !n1 !...
Khi đó
gk 

N!
,
n0 !n1 !...

(1.8)


  n1 ( l   l ) 
Z   ...  exp  l  0
 G (n0 , n1 ,...) , (1.10)

n0 n1





với

   ln Z

nghĩa là

.

(1.11)

Khi đó đạo hàm của  theo  l dựa vào (1.10) và (1.11)



   nl (    l ) 


1 Z



  n1 ( l   l )   
  ( l   l
Z   ...exp  l  0
   exp 

n0 n1
 

 l 0 n0




 
l 0

1
   l 
1  exp  l

  

,

khi đó

18

 


ta có (1.16) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thể hóa học 
trong công thức (1.16) được xác định từ điều kiện
∞

∑ 𝑛̅𝑙 = 𝑁

.

(1.17)

𝑙=0

Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số
hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ     d bằng
dn( ) 

dN ( )
   
exp 
 1
  

,

(1.18)

trong đó dN ( ) là số các mức năng lượng trong khoảng     d
Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể
xem như các sóng dừng Broglie. Vì vậy có thể xác định dN ( ) bằng cách áp

(1.21)


Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vân tốc v≪c thì ɛ=

𝑝2

2𝑚

suy ra

p 2  2m
𝑝2 𝑑𝑝 = √2𝑚3 ɛdɛ.
Do đó (1.21) có dạng
2 m 3V
dN ( ) 
 d .
2 2 h3

Vì các hạt có thể có xác định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g = 2s+1. Do đó, số các mức
năng lượng trong khoảng     d là
dN ( ) 

2m3Vg
 d
2 2 h3

.



2m Vg
2 2 h3 0


 

1
2

d

e KT  1

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thể hóa học  . Ta xét
một số tính chất tổng quát của thể hóa học  đối với khí bose lí tưởng. Đầu
tiên là chúng ta chứng minh rằng

  0.

(1.25)

Thật vậy, số hạt trung bình dn( ) chỉ có thể là một số dương, trong đó,
theo (1.23), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.23) luân luôn dương

20