TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

VĂN THÚY HÀ

SỨC CĂNG TẠI MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ
BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN
BỞI HAI TƢỜNG CỨNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018
-


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

VĂN THÚY HÀ

SỨC CĂNG TẠI MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ
BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN
BỞI HAI TƢỜNG CỨNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Th.S Hoàng Văn Quyết

HÀ NỘI, 2018


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .............................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................ 3
6. Đóng góp của đề tài .................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSEEINSTEIN ......................................................................................................... 4
1.1. Hệ hạt đồng nhất ........................................................................................ 4
1.2. Thống kê Bose – Einstein .......................................................................... 5
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein ................................. 15
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose - Einstein ............................................... 18
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium .................... 18
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ............................................... 20
1.4.3. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng ................................................ 22
1.4.4. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion
......................................................................................................................... 24
1.4.5. Chất siêu dẫn mới ................................................................................. 27
1.4.6. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose Einstein ............................................................................................................ 28
CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU ...................................................... 31
2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii ................................................................. 31
2.1.1. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian ............................. 31
2.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ............ 32


2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) .......... 35
2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép ....................................... 37

Trạng thái vật chất này hoàn toàn mới trong đó các hạt bị giam chung trong
trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, không giống với trạng thái vật chất nào mà
con ngƣời đƣợc biết. BEC đƣợc tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lƣợng tử dựa
trên thống kê Bose - Einstein vì thế nó đƣợc coi là vật chất lƣợng tử với các
tính chất rất đặc biệt: là 1 chất lỏng lƣợng tử với tính kết hợp rất cao nhƣ các
tia laser. Từ các tính chất cơ bản của BEC ngƣời ta có thể suy ra nhiều loại

1


linh kiện thiết bị tinh vi, chế tạo các chíp nguyên tử, thực hiện các chức năng
đa dạng trong giao thoa kế, máy kĩ thuật toàn ảnh, kính hiển vi đầu dò xét và
xử lí thông tin lƣợng tử. Đây là lĩnh vực khoa học hay và có hƣớng phát triển
mạnh mẽ, chúng ta có thể quan sát đƣợc nhiều hiệu ứng vật lý mà các dạng
vật chất khác không có, nó mang ý nghĩa quan trọng trong ngành vật lý.
Nhận thức đƣợc việc tìm hiểu về BEC đối với sinh viên là điều cần thiết,
mặt khác muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau nhằm tích lũy
kiến thức cho bản thân. Do điều kiện về thời gian, kinh phí và kiến thức còn
hạn hẹp nên đối với sinh viên chỉ có thể tìm hiểu một khía cạnh nhỏ của BEC
vì vậy em chọn và nghiên cứu đề tài “ Sức căng tại mặt phân cách của
ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường
cứng với điều kiện biên Robin”.

2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu sức căng tại
mặt phân cách của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi
hai tƣờng cứng với điều kiện biên robin.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê

Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tƣơng đối tính.
Trong trƣờng hợp này toán tử Hamilton có thể viết dƣới dạng
N
Pˆ i2 ˆ
ˆ
ˆ
H 
 V (r1 , r2 ,..., rN )  W,
2
m
i 1
i

(1.1)

trong đó Vˆ là toán tử thế năng tƣơng tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ
ˆ là toán tử đặc trƣng cho tƣơng tác spin – quỹ đạo, tƣơng
của tất cả các hạt, W

tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trƣờng ngoài…
Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái của hệ có dạng
 

 Hˆ  (1,2,..., N , t )  0,
i
 t


(1.2)


dụ nhƣ photon,  - meson, K - meson… Hệ này không bị chi phối bởi nguyên
lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một vị trí.
Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên ngƣời ta đã áp dụng
thống kê Bose – Einstein tìm đƣợc tính chất điển hình của boson là ngƣng tụ
Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò nhƣ nhau nhƣ một
hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc.
1.2. Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lƣợng tử

5


Wk 

1
  Ek 
exp 
 gk ,
N!
  

(1.3)

trong đó g k là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có


(1.4)

trong đó N   nl ,  thế nhiệt động lớn,  là thế hóa.
l 0

Sở dĩ có thừa số

1
xuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính
N!

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu
đƣợc do hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu
6


(1.6)

gk
 G (n0 , n1 ,...).
N!

Khi đó (1.5) đƣợc viết lại nhƣ sau



    nl (    l ) 
l 0
W(n0 , n1...)  exp 
 G (n0 , n1 ,...).



(1.8)

Hai là đại lƣợng G(n0 , n1,...) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ
fermion, tức là hệ đƣợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hoán vị đều không đƣa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn
tả cùng một trạng thái lƣợng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion
ta có

7


G (n0 , n1 ,...) 

(1.9)

1
.
n0 !n1!...

Tìm g k
Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt có cùng một năng lƣợng  l . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia
cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho n0 !n1 !...
Khi đó
gk 



n
(



)

l
l
l


Z   ...exp  l 0
G (n0 , n1 ,...),

n0 n1





8

(1.12)


   ln Z .

nghĩa là


Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l   thì theo (1.8) vế phải của công
thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu đƣợc
nl  


 .
l

(1.15)

Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ
0   ) và G(n0 , n1,...)  1 do đó theo (1.11) ta có

 

n
(



)

l
l
l

  
 l   l
l 0


khi đó


    
    ln 1  exp  l l .
  
l 0



Theo (1.15) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình

9

(1.17)


1
,
l   
exp 
 1




nl 

(1.18)

Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem
nhƣ các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định dN ( ) bằng cách áp
dụng công thức

k 2V
dN (k )  2 dk ,
2
cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k  k  dk

k 2 dk
dN (k ) 
V.
2 2

(1.21)

Theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng p và véc tơ sóng k

10


p  k.

(1.22)

khi đó (1.21) có thể đƣợc viết dƣới dạng

dN ( p) 

p 2 dp

(1.24)

Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng     d là
2m3Vg
dn( ) 
2 2 3

 d
.
   
exp 
 1
  

Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phƣơng trình sau

11

(1.25)






2m3Vg
N   dn( ) 
2 2 3 0
0



N

  T
N
T


 
 
0 kT d 0 T  kT  d
 e 1
e 1  





 
 
d

 

d
 
 0 kT





(   )e kT



 d

 

 

0



kT

1
e
0 kT    2  d
kT
 e  1



1
T




 1


2

 d

(1.28)


Nhƣng do (1.26) nên     0 , do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế
phải (1.28) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của  , vì vậy


 0 . Từ các tính
T


 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá
T

chất   0 và

trị âm tăng đến giá trị lớn hơn “nhƣng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó 
sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( max  0 ).
Xác định nhiệt độ T0
Chọn   0 và T  T0 . Khi đó phƣơng trình (1.26) trở thành




0
0 e x  1dx
2 2 3


3/2

m Vg (kT0 )
2 2 3

3/2 

e
0

3/2

x



(1.29)

x
(mkT0 ) Vg
x
dx 
dx.
x



Đối với tất cả các khí boson quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn nhƣ đối với 4He, ngay cả với khối lƣợng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ
120kg/m3 ta đƣợc T0  2,19K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T  0 có ý nghĩa
13


rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0  T  T0. Khi
giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max  0 , mà

 0 nên  không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0  T  T0 thì
T

  0.
Với nhiệt độ T  T0 số hạt có năng lƣợng là


2m3Vg
N (  0) 
2 2 3 0






e kT

(m kT )3/2Vg
x

toàn phần N chỉ có một phần số hạt N ' có thể phân bố theo các mức năng
lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.20), tức là

m3/2Vg
 d
N'
 d
dn( ) 

.
3/2
2 3
(2.31)0
 
 
2
exp    1
exp    1
 
 

(1.32)

Các hạt còn lại N  N ' , cần phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi,
chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là
chúng hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng
tụ.
Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ
nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ
14

kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với
spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm
photon cũng nhƣ các nguyên tử Heli-4 đƣợc phép tồn tại ở cùng trạng thái
lƣợng tử nhƣ nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử
boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng
thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.

15


Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm
cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau.
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC nhƣ là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của 4He cũng nhƣ tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của
một số vật liệu.
Năm 1995, khí ngƣng tụ đầu tiên đã đƣợc tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ
Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh
khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian
này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra đƣợc
ngƣng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì đƣợc hệ 2000
nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của
hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle đƣợc nhận giải Nobel Vật lý năm
2001.
Các hạt trong Vật lý đƣợc chia ra làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và lớp
các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion là các
hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài
ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion

tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.
(Ảnh: Wikipedia)

17


Ngƣng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin
nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã
đƣợc quan sát trong một vài hệ Vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và vật lý
chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí boson là phổ biến nhất. Bức xạ của
vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn
ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt độ
giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý
thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng
tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình
cộng hƣởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein.
Trong một số thí nghiệm gần đây, ngƣời ta đã tiến hành nghiên cứu với khí
photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, ngƣời ta đã
mô tả lại ngƣng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết
định cả thế giam cầm và sự không ảnh hƣởng bởi khối lƣợng các photon, làm
cho hệ tƣơng đƣơng với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta
thấy dấu hiệu của ngƣng tụ Bose – Einstein, năng lƣợng photon phân bố chủ
yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ
và dạng hình học của hốc thế đƣợc dự đoán từ trƣớc
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose - Einstein
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium
Các chất khí lƣợng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tƣởng để nghiên cứu những hiện tƣợng Vật lý cơ bản. Với việc chọn
Erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý
Thực Nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì

Bose – Einstein đầu tiên. Ngƣng tụ mới của Erbium, lần đầu tiên đƣợc tạo ra
19