TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THANH
 
 
 
 

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG
TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG
THỐNG KÊ CHÍNH TẮC
 
 
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
 
 
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ
 
 
 
 
 
 
 
HÀ NỘI, 2018
 


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn 
sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận 
tình giúp đỡ, hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. 
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo giảng 
dạy chuyên ngành vật lý lý thuyết khoa vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà 
Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận. 
 
Hà Nội, tháng 5 năm 2018. 
Tác giả luận văn 
 
Nguyễn Thị Thanh

 


LỜI CAM ĐOAN

1.1.2. Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein .... 4 
1.1.2.1.  Ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium ... 4 
1.1.2.2.  Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một BEC ........ 5 
1.2.  Lý thuyết trường trung bình .................................................................. 6 
1.2.1. Thế tương tác .................................................................................. 6 
1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii. ..................................................... 10 
1.3. Phương pháp gần đúng parabol kép (Double parabola approximationDPA). ............................................................................................................... 12 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ................................................................................ 14 
CHƯƠNG 2: SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSEEINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC ....... 15 
2.1.  Các hệ thống kê. .................................................................................. 15 
2.1.1. Hệ hạt đồng nhất. .......................................................................... 15 
 


2.1.2. Hệ vi chính tắc .............................................................................. 16 
2.1.3. Hệ chính tắc .................................................................................. 19 
2.2.  Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép. .................................. 25 
2.3.  Khái niệm sức căng mặt ngoài. ........................................................... 27 
2.4. Sức căng mặt ngoài trong hệ chính tắc. ............................................... 31 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ................................................................................ 33 
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35 

 


KÍ HIỆU VIẾT TẮT

BEC 


suốt một thời gian dài. Năm 1995, một đội nghiên cứu đến từ trường đại học 
Colorado ở Bouder lần đầu tiên đã tạo ra thành công được trạng thái này bằng 
thực nghiệm.  
Việc phát hiện ra trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein đã mang lại những 
phát minh quan trọng và mở đường cho sự phát triển của khoa học và công 
nghệ hiện đại. 
Trong  các  nghiên  cứu  về  ngưng  tụ  Bose-Einstein  thì  nghiên  cứu  sức 
căng  mặt  ngoài  của  nó  có  ý  nghĩa  quan  trọng,  đặc  biệt  trong  việc  tìm  hiểu 
chuyển  pha  ướt  của  hệ.  Đây  là  vấn  đề  được  đưa  vào  vận  dụng  nhiều  trong 
công  nghệ ngày  nay.  Vì  lí  do  trên  mà  tôi  lựa  chọn  đề tài “Nghiên cứu sức
căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống
kê chính tắc” làm đề tài nghiên cứu của mình. 
2. Mục đích nghiên cứu.

1 


Nghiên  cứu sức  căng  mặt  ngoài  của ngưng  tụ  Bose-Einstein  một thành 
phần trong thống kê chính tắc. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Xây  dựng  phương  trình  Gross-Pitaevskii  và  phương  pháp  gần  đúng 
parabol kép.
Nghiên  cứu sức  căng  mặt  ngoài  của ngưng  tụ  Bose-Einstein  một thành 
phần trong thống kê chính tắc.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Hệ ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc, tức 
là hệ cô lập với số hạt không đổi. 
5. Những đóng góp mới của đề tài.
Nghiên  cứu sức  căng  mặt  ngoài  của ngưng  tụ  Bose-Einstein  một thành 
phần trong thống kê chính tắc có những đóng góp quan trọng trong lý thuyết 

mô. Einstein đã đưa ra dự đoán này vào năm 1925 với các nguyên tử có spin 
nguyên. Tiếp đó Einstein đã cải tiến quan điểm của Bose cho một hệ các hạt. 
Sự cố gắng của hai nhà khoa học đã đưa ra lý thuyết về khí bose trong phạm 
vi  của  thống  kê  Bose-Einstein.  Einstein  giải  thích  được  nếu  các  nguyên  tử 
boson được làm lạnh đến độ không tuyệt đối thì hệ này sẽ bị tụ lại trong một 
trạng thái lượng tử thấp nhất có thể sau đó vật chất hình thành lên một trạng 
thái mới. 
Hiện nay, người ta đã ngưng tụ được tổng cộng 13 nguyên tố. Trong đó 
mười  nguyên tố được  tìm  ra  bởi  mười  nhóm  nghiên  cứu  khác nhau trên thế 
giới [4]. 
Năm 1995, khí đầu tiên đã được ngưng tụ thành công bởi hai nhà khoa 
học Eric Cornell và Carl Wieman, đó là nguyên tử Rubidi được làm lạnh tới 
nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cùng thời điểm, nhà vật lý Wolfgang Ketterle 
đã ngưng tụ thành công nguyên tử Natri để tạo ngưng tụ Bose-Einstein. Sau 
đó Cornell, Wieman, Ketterle đã được trao giải Nobel Vật lý năm 2001.  
Trong  vật  lý  có  hai  lớp  hạt  cơ  bản:  lớp  hạt  boson  và  lớp  hạt  fermion. 
Boson  bao  gồm  các  hạt  với  “spin  nguyên”  (photon,  -meson,  K-meson,...); 
fermion  bao  gồm  hạt  với  “spin  bán  nguyên”  (electron,  các  nucleon,...).  Các 
3 


hạt  boson  tuân  theo  thống  kê  Bose-Einstein,  còn  các  hạt  fermion  tuân  theo 
thống kê Fermi-Dirac. Bên cạnh đó các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí 
loại  trừ  Pauli,  đó  là:  “Nếu  có  một  bộ  bốn  đại  lượng  động  lực 
( ,

,

,


Vật lý cơ bản. 

4 


Theo Ferlaino, “Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính 
chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”. 
Bà và các cộng sự đã dựa vào kĩ thuật làm lạnh bay hơi và phương tiện 
laser  đã  ngưng  tụ  thành  công  các  nguyên  tố  phức  tạp.  Ở  nhiệt  độ  gần  độ 
không  kenvil  (0K),  một  ngưng  tụ  Bose-Einstein  từ  tính  được  tạo  ta  từ  một 
đám mây chứa một lượng lớn các hạt erbium. Ở trạng thái này, tính chất đơn 
lẻ của các hạt bị mất đi và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng.  
Ba nguyên tố hóa học đó là Strontium, Cesium và Erbium đã được các 
nhà nghiên cứu ở Innsbruck ngưng tụ thành công trong những năm trở lại đây. 
Một bước tiến quan trọng mà Rudolf Grimm cùng nhóm đồng nghiệp của ông 
đã  thực hiện hồi năm 2002, đó là Cesium đã được ngưng tụ thành công, đã 
đem lại hàng loạt những thành tựu cho khoa học trong những năm tiếp theo. 
Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, 
là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium hồi năm 2009. Và 
nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố Erbium. 
1.1.2.2. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một BEC
Hiệu ứng Hall được tạo thành từ sự tương tác của dòng điện và từ trường 
phổ  biến  với  kim  loại  và  chất  bán  dẫn.  Hiệu  ứng  Hall  được  thay  đổi  và  cải 
tiến để ứng dụng rất nhiều trong kĩ thuật và trong vật lý từ những hệ thống tự 
đánh lửa tự động  cho  đến những phép đo  cơ bản  của điện  học. Những phát 
hiện mới này làm cho các nhà vật lý hiểu được tường minh hơn về cơ sở vật 
lý của các hiện tượng lượng tử như hiệu ứng Hall lượng tử. 
Hiệu  ứng  Hall  do  Edwin  Hall  tìm  ra  vào  năm  1879,  để  hiểu  một  cách 
đơn giản ta hãy xét một chất dẫn điện hình chữ nhật ví dụ một tấm đồng hình 
chữ nhật và dọc theo chiều dài của tấm đồng ta cho một dòng điện đi qua nó. 


 p 2
  1 N N
 
i
ˆ
ˆ

H 
 Vext  ri    V ri  rj ,
 2 i 1 j 1
i 1  2m


N



6 



(1.1)


với số hạng thứ nhất bên vế phải là động năng của hạt thứ i, số hạng thứ hai 
mô tả trường thế năng bên ngoài, thông thường nó là trường thế giam cầm hệ 
trong một không gian nhất định, số hạng còn lại biểu thị tương tác cặp giữa N
hạt trong hệ. Để tìm năng lượng của hệ ta sử dụng phương pháp cực trị. Từ 
năng  lượng  tự  do  ta  có  năng  lượng  cần  làm  cực  tiểu F  E   N ,  với  E  là 


2

 

 
y *  ri  y  ri  dri

i 1 2m
i 1 2m

ˆ i2

N

N

2
 
* 
N

y
r

y
r




Như đã trình bày ở trên    là tích tenxơ của  N  hàm sóng của các hạt 

và y  ri   là  hàm  sóng  của  một  hạt,  để  có  được  kết  quả  sau  cùng  trong  biểu 
thức (1.3) chúng ta áp dụng tính chất của hàm Green. Khi đó thế năng của hệ 
có dạng 

V  r  
N



ext

i

i 1


 
 N y *  r   2y  r  dr .

(1.4)

Số hạng cuối cùng mô tả tương tác giữa N hạt trong hệ có dạng sau 
1 N N
 
 V ri  rj 
2 i 1 j 1



i
i
j
i
j
i
j  drj
2 i 1 j 1  
 
N  N  1 N N
 *  * 
 



 d r .

dr
y
r
y
r
V
r

r
y
r
y
r

     y *  r y  r dr



N

,

(1.6)

Biểu thức có dạng như trên để dễ dàng cho việc tính toán. 

Tiếp theo ta sẽ khảo sát biến thiên nhỏ của hàm sóng y  r  , thực ra ta 

phải khảo sát sự biến thiên của các thành phần thực và ảo của hàm sóng khi 
đó chúng ta xem như y  và y *  độc lập với các biến số. Từ đây ta có đạo hàm  

8 



 cho các biểu thức (1.3) và (1.4). Với biểu thức (1.5), ta có đạo hàm hai 
y *

lần của hàm sóng y * , nhưng  r có thể biến đổi vì vậy ta có  


1 N N
 


 

 
 N y *  r y  r  dr
*
y



N 1

  y

*







 r y  r  dr


 
 N  y *  r y  r  dr .

(1.8)

Thế đồng thời các công thức trên vào biểu thức lấy biến phân của năng 





  





Đa số thế tương tác được chọn có dạng sau 
 
4  2
 
V r  r 
a r  r  ,  
2m









với  a  là chiều dài tán xạ sóng s, sử dụng gần đúng  N  1  N  cuối cùng ta thu 
được 

2 2 

Trong gần đúng trường trung bình hàm Lagrangian được viết như sau 

*
L1     i
    .
t
*

(1.12) 

Đại lượng   trong (1.12) gọi là mật độ Hamilton, nó có dạng 

2 * 2
g 4
   
    ,
2m
2

(1.13)


với      r , t  là hàm sóng của hệ ở trạng thái cơ bản; m là khối lượng của 

hạt,  g  là hằng số tương tác dương theo  as  được xác định bởi công thức 

g

4 2
as .


10 




2 2
3
 y  y  g y  0.
2m

(1.18) 

Khi các thành phần ngưng tụ được phân bố dọc theo phương Oz và có 
tính chất đối xứng tịnh tiến theo các phương Ox, Oy thì (1.18) sẽ được viết lại 

 2 d 2y
3

 y  g y  0.                              (1.19) 
2
2m dz
 
Đưa  phương  trình  (1.19)  về  dạng  không  thứ  nguyên  bằng  cách  đưa  ra 
một số đại lượng sau 


. 
2mgn0



                                       (1.21) 

Thế (1.20) và (1.21) vào (1.19) ta thu được biểu thức sau 

      2 gn0

1



. n0
2

d 2
 gn0 n0   gn0 n0  3  0.  
2
d

Khi đó phương trình (1.19) dưới dạng không thứ nguyên có dạng 
 2     3  0.

(1.22) 



N  n0   2 d  ,                                             (1.23) 
0

Phương  trình  (1.22)  chính  là  phương  trình  Gross-Pitaevskii  không  phụ 

4
2

)

 

V
4
2

(



).
gn02
2

V
 VGP ,  khi đó ta có
gn02
VGP   2 

4
2

(1.25) 

.


VDPA  2a 

1
1
 2(  1) 2  ,
2
2

(1.27) 

trong đó VDPA là thế gần đúng trong parabol kép.
0.4

V

0.2

0.0

0.2

0.4
1.5

1.0

0.5

0.0

SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT
THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC
2.1. Các hệ thống kê.
2.1.1. Hệ hạt đồng nhất.
Khảo sát hệ gồm N hạt chuyển động phi tương đối tính. Khi đó phương 
trình viết cho toán tử Hamilton có dạng  
N
ˆ i2 ˆ  

ˆ
ˆ
H 
 V  r1 , r2 ,, rN   W,
2
m
i 1

(2.1)

ˆ  là toán tử biểu thị cho 
với  Vˆ  là toán tử thế năng tương tác giữa các hạt,  W

tương tác spin - quỹ đạo. 
Hàm sóng của phương trình Schrodinger có dạng 
 
ˆ
 i  H y 1, 2,, N , t   0,
 t



  X   f H  X , a 

(2.3)

Đồng thời hàm phân bố phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa 

   X  dX  1.

(2.4)

 x

Rõ ràng là, dạng cụ thể của hàm  f ( H )  phụ thuộc vào hệ vĩ mô (hệ nhiệt 
động), hoặc là theo quan điểm vĩ mô, thì nó phụ thuộc vào tính chất của mối 
liên hệ của hệ với các vật bên ngoài và vào phương pháp lựa chọn hệ. Thường 
có hai loại hệ là hệ đoạn nhiệt (hệ không tương tác với các vật bên ngoài) và 
hệ  đẳng  nhiệt  (hệ  có  nhiệt  độ  rất  cao  được  xác  định  và  cho  trước,  có  nhiệt 
dung rất lớn). 
Ta xét một hệ đoạn nhiệt với các thông số ngoại là hằng số. Đối với một 
hệ như vậy, hiển nhiên có 
H  X , a   E  const.

(2.5)

Hàm f  a   phải có dạng cực đại nhọn, bởi vì năng lượng của hệ phải có 
giá  trị  hoàn  toàn  xác  định  và  sẽ  không  thay  đổi  với  thời  gian.  Nói  khác  đi 
năng lượng của hệ không thể sai lệch một cách đáng kể với giá trị hoàn toàn 

16 


x

Công thức (2.7) được gọi là phân bố vi chính tắc Gipxơ. Từ đó ta có thể 
tính được trị trung bình của các đại lượng vật lí bất kì đối với hệ cô lập đoạn 
nhiệt dựa vào công thức 
F  FX 
x

1
 E  H  X , a  dX ,
  E, a 

(2.8)

với đại lượng    E , a   có ý nghĩa hình học cụ thể. Ta hãy xét tích phân của 
  E , a   theo năng lượng lấy trong khoảng giới hạn từ giá trị cực tiểu khả hữu 
E0  của năng lượng của hệ tới giá trị  E :  
E

E

  E , a       , a d        H  X , a  d  dX .
E0

(2.9)

x E0

Do đó tính chất của hàm   , biểu thức dưới dấu tích phân trong (2.9) (tức 
là tích phân theo x) có trị số bằng 1 khi E0  H  X , a   E , và bằng không khi

Để làm sáng tỏ ý nghĩa nhiệt động của đại lượng    E , a   ta xét vi phân 
của 

  : 

d  ln   

1  
 
dE 
da  .  

  E
a 

Theo (2.9) 
  E , a 

E
 H  X , a  E 

E0




H
X
,
a




Hiển  nhiên  là    0  khi  E  E0 theo  (2.9),  nghĩa  là      E0 , a   0  từ  đó 
  E0 , a 
 0 , và tận dụng khái niệm về trị trung bình (2.8), ta được 
E0


 H
  
a
 a


  A,


18 

(2.12)