Header Page 1 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THU HƢƠNG

SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ
BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN
TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 123.


Header Page 2 of 123.

LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận
tình hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trƣờng


Header Page 4 of 123.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2
5. Những đóng góp mới của đề tài ................................................................. 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
Chƣơng 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE –
EINSTEIN ......................................................................................................... 3
1.1. Hệ hạt đồng nhất ..................................................................................... 3
1.2. Thống kê Bose – Einstein ....................................................................... 4
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein .............................. 13
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein ........................................... 16
1.4.1. Ngƣng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium ............. 16
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ......................................... 18
1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngƣng tụ
polartion .................................................................................................... 19
1.4.4. Chất siêu dẫn mới ........................................................................... 22
1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngƣng tụ Bose Einstein...................................................................................................... 24
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 26
Chƣơng 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
THÀNH HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU....................................... 27
2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii .............................................................. 27
2.2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian........................ 27

Footer Page 4 of 123.

mức vĩ mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô.
Hiện tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử
với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tƣởng về
một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một
năm. Einstein sau đó mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng
minh đƣợc rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ
này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo
nên trạng thái mới của vật chất.
Năm 1995, trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein đƣợc tạo ra đầu tiên trên
thế giới (BEC - Bose - Einstein condensation) từ những nguyên tử lạnh. Điều
này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam
chung trong trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, đã mở ra nhiều triển vọng
nghiên cứu trong Vật lý. Chúng ta có thể quan sát đƣợc nhiều hiệu ứng Vật lý
trong trạng thái BEC mà các dạng vật chất khác không có.
Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kĩ
thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh ngƣời ta đã tạo ra đƣợc
các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau.
Những nghiên cứu này đã và đang thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà
Vật lý trên thế giới. Từ đó phát triển đƣợc các phƣơng hƣớng nghiên cứu đầy
triển vọng. Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng nghiên cứu trạng thái BEC,
tôi lựa chọn đề tài “Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai
thành phần trong không gian nửa vô hạn” làm đề tài nghiên cứu của mình.

Footer Page 6 of 123.


Header Page 7 of 123.

2
2. Mục đích nghiên cứu

TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất
Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tƣơng đối tính.
Trong trƣờng hợp này toán tử Hamilton có thể viết dƣới dạng
N p
ˆ i2
ˆ
ˆ
H 
 Vˆ  r1, r2 ,..., rN   W,
i 1 2mi

(1.1)

trong đó Vˆ là toán tử thế năng tƣơng tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ

ˆ là toán tử đặc trƣng cho tƣơng tác spin – quỹ đạo, tƣơng
của tất cả các hạt, W
tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trƣờng ngoài…
Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái của hệ có dạng
 

 Hˆ  1,2,..., N , t   0,
i
 t


(1.2)

với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin

cùng một vị trí”. Nguyên lý này đƣợc rút ra từ tính phản đối xứng của hàm
sóng trên các fermion.
+ Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên; ví dụ
nhƣ photon,  - meson, K – meson… Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý
loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một vị trí.
Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên ngƣời ta đã áp dụng
thống kê Bose – Einstein tìm đƣợc tính chất điển hình của boson là ngƣng tụ
Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò nhƣ nhau nhƣ một
hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc.
1.2. Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lƣợng tử [2],
Wk 

1
  Ek 
exp 
 gk ,
N!
  

(1.3)

trong đó gk là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có

Ek 

Footer Page 9 of 123.




trong đó N 



 nl ,

(1.5)

 là thế nhiệt động lớn,  là thế hóa.

l 0

Sở dĩ có thừa số

1
xuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính
N!

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu
đƣợc do hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu

gk
 G  n0 , n1,....
N!

(1.6)


6
nằm trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này
ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng

nl   ...nl W  n0 , n1,...
n0 n1





 nl     l  



l 0
  ...nl exp 
 G  n0 , n1,....

n0 n1





(1.8)

Hai là đại lƣợng G  n0 , n1,... xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ

Footer Page 11 of 123.


Header Page 12 of 123.

7
nhƣ không phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thế hóa
học l . Và cuối phép tính ta cho l   .
Tiến hành phép thay thế nhƣ trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa
nhƣ sau

 
 

...W  n0 , n1,...  exp    Z  1,
n0 n1

với

nghĩa là

(1.11)



  nl  l   l  


Z   ...exp  l 0
 G  n0 , n1,...,


1 Z


l

0
 
  ...nk .exp 
 G  n0 , n1,....
l
Z l

n0 n1





(1.14)

Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l   thì theo (1.8) vế phải của công
thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu đƣợc

nl  


 .
l


8


 
l 0

1
,
 l   l 
1  exp 

  

(1.16)

khi đó


    
    ln 1  exp  l l .
  
l 0 

(1.17)

Theo (1.15) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình
nl 

1
,


trong đó dN   là số các mức năng lƣợng trong khoảng     d .
Tìm dN  
Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem
nhƣ các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định dN   bằng cách áp
dụng công thức
dN  k  

k 2V
2

2

dk ,

cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k  k  dk

Footer Page 13 of 123.


Header Page 14 of 123.

9

dN  k  

k 2dk
2 2

V.


2m3V
2 2

3

 d .

Vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g  2s  1 . Do đó, số các mức
năng lƣợng trong khoảng     d là
dN    

2m3Vg
2

2 3

 d .

(1.24)

Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng     d là

dn    

2m3Vg
2 2

3



0

 

e

kT

d .

(1.26)

1

Phƣơng trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí Bose lí tƣởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng

  0.

(1.27)

Thực vậy, số hạt trung bình dn   chỉ có thể là một số dƣơng, do đó, theo
(1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dƣơng (nghĩa
   
là khi   0, để cho exp 
 luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).
  





 


d





 0   

  
 d


kT
e
1
 kT

0
1
e


Header Page 16 of 123.



 d

2



0



 

1
T

1
e kT
 d
 kT   
2


0
 e kT  1





 1



kT

2

kT

 


 1



kT

2

(1.28)

 d

Nhƣng do (1.26) nên     0, do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế
phải (1.28) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của  , vì vậy
chất   0 và




3



0




d .

e kT0  1

suy ra


m3/2Vg
2 2

kT kT0 
3 0

dx
x
e

1
0




Mà ta biết

x

 e x  1dx  2.31, nên từ (1.29) và 0  kT0 , ta đƣợc

0

 
2 4

0

1/3 2

N
T0 

 
k  2.31g 2/3 mk  V 

2/3

.

(1.30)

Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng

 e x  1dx  N 
2 2 3

(1.31)

0

e kT  1

So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy
T 
N   0   N  
 T0 

3/2

N  T 
hay
 
N  T0 

3/2

.

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải đƣợc
đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi T  T0 thì N   N chỉ ra rằng số hạt
toàn phần N chỉ có một phần số hạt N  có thể phân bố theo các mức năng
lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.20), tức là


2

2

(1.32)

Các hạt còn lại N  N  , cần phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi,
chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng tụ.
Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ
nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ
1
đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật  /
. Hiện tƣợng mà ta
e 1

vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lƣợng
không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc gọi
là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( T  0 ) tất cả các hạt bose sẽ
nằm ở mức không.
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein
Ngƣng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị
làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay 2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái
lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ
mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô. Hiện
tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với
spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tƣởng về một
phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một năm để
giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó
mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và

các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài
ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion
không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tử”.
Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,
giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi
cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến

Footer Page 19 of 123.


Header Page 20 of 123.

15
thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí
bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn nhƣ khí điện tử tự do trong
kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý
cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lƣợng

  0 , do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E  0 . Còn
đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ T  00 K các hạt lần lƣợt chiếm các
trạng thái có năng lƣợng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lƣợng của cả hệ khác
không ( E  0 ).
Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không (ví dụ nhƣ các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
các electron và nucleon là chẵn, …) đƣợc gọi là các hạt boson hay khí bose.

Hình 1.1: Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trƣờng hợp này là các
nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị
trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển

1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium
Các chất khí lƣợng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tƣởng để nghiên cứu những hiện tƣợng Vật lý cơ bản. Với việc chọn
Erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý
Thực Nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì
những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để
nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực Vật lý lƣợng tử.
“Erbium tƣơng đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới
một trạng thái lƣỡng cực cực độ của các hệ lƣợng tử”, Ferlaino cho biết.
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phƣơng pháp đơn

Footer Page 21 of 123.


Header Page 22 of 123.

17
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phƣơng tiện laser
và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngƣng tụ Bose –
Einstein từ tính. Trong một ngƣng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với Erbium
cho phép chúng tôi thu đƣợc kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tƣơng
tác phức tạp của những hệ tƣơng quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lƣợng tử với những nguyên
tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói.
Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý
ở Innsbruck đã cho ngƣng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã đƣợc thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của

photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng.

Hình 1.2: Một “siêu phonon” đƣợc tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái
vật chất đƣợc gọi tên là “trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein” .
(Ảnh: LiveScience)

Tuy nhiên, bốn nhà Vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và
Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành
“nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”.
Các hạt trong một trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein truyền thống đƣợc
làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên
không thể phân biệt đƣợc, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng
cho rằng, các photon sẽ không thể đạt đƣợc trạng thái này vì việc vừa làm

Footer Page 23 of 123.


Header Page 24 of 123.

19
lạnh ánh sáng vừa ngƣng tụ nó cùng lúc dƣờng nhƣ là bất khả thi. Do photon
là các hạt không có khối lƣợng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi
trƣờng xung quanh và biến mất – điều thƣờng xảy ra khi chúng bị làm lạnh.
Theo trang LiveScience, bốn nhà Vật lý Đức cuối cùng đã tìm đƣợc cách
làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lƣợng của chúng. Để nhốt giữ
các photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm
bằng những tấm gƣơng đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một
phần triệu của một mét (1 micrô). Giữa các gƣơng, nhóm nghiên cứu đặt các
phân tử “thuốc nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lƣợng nhỏ chất nhuộm màu).
Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thu và sau đó

Lần đầu tiên đƣợc tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử Rubidi, trạng thái
ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó một số lƣợng lớn các
hạt boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản
giống nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển
ngẫu nhiên của chúng và dịch chuyển nhƣ một trạng thái kết hợp, và rất có ý
nghĩa cho các nghiên cứu về hiệu ứng lƣợng tử ví dụ nhƣ siêu chảy trong một
hệ vĩ mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thƣờng chỉ xảy ra ở
nhiệt độ rất thấp, gần không độ tuyệt đối.
Tuy nhiên, các polariton – các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống
và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có thể
tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự
ngƣng tụ này đƣợc công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học
Tổng hợp Joseph Fourier. Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy
Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của các
polariton trong một vi cầu chất bán dẫn đƣợc giữ ở nhiệt độ khá cao là 19K.
Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu
hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong
lĩnh vực này lại nghi ngờ rằng các polariton dù ở trạng thái BEC thật, nhƣng
bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng đƣợc kích thích
bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp đƣợc rồi.

Footer Page 25 of 123.