BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VÂN ANH

SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH
CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN
VÀO SỐ HẠT TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè
đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để

Chương 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE –
EINSTEIN ......................................................................................................... 3
1.1. Hệ hạt đồng nhất .................................................................................... 3
1.1.1. Nguyên lý đồng nhất ....................................................................... 3
1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng ...................................... 3
1.2. Thống kê Bose – Einstein ...................................................................... 6
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose – Einstein ............................. 14
1.4. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein .......................................... 17
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium............ 17
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ....................................... 18
1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ
polartion .................................................................................................. 20
1.4.4. Chất siêu dẫn mới .......................................................................... 23
1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose Einstein .................................................................................................... 24
Chương 2. LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII ......................................... 27
2.1. Gần đúng trường trung bình ................................................................. 27
2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii ............................................................. 30


Chương 3. SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA
NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN VÀO SỐ HẠT
TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN ...................................................... 33
3.1. Gần đúng Parabol kép (Double parabola approximation - DPA) ........ 33
3.2. Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép .................................... 35
3.3. Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai
thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn ................................... 39
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 45



lý. Chính vì thế mà tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học của mình là: “Sự phụ
thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành
phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn.”
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu những đóng góp của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần
trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xuất phát từ hệ các hạt đồng nhất, thống kê Bose - Einstein đối với các
boson là những hạt có spin nguyên, phương trình Gross - Pitaevskii.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu


Phương trình Gross - Pitaevskii.



Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai

thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai
thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn có những đóng góp quan
trọng trong Vật lý thống kê và cơ học lượng tử nói riêng, trong Vật lý lý
thuyết nói chung.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu


Đọc sách và tra cứu tài liệu.



(1.1)

trong đó Vˆ là toán tử tương tác với các hạt với bản chất là hàm của tọa độ của
ˆ là toán tử đặc trưng cho tương tác spin – quỹ đạo, tương tác
tất cả các hạt, W

giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài…
Hàm sóng của hệ phải thỏa mãn phương trình Schrodinger
 

 Hˆ  1,2,..., N , t   0 ,
i
 t


(1.2)

với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin
của các hạt 1,2,3,…,N.
Nếu các hạt có đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,… không phân
biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ như
thế ta có thể phân biệt các hạt theo trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các
tọa độ và xung lượng của từng hạt.
1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng
Ta kí hiệu toán tử hoán vị hạt i và j với nhau là Pˆij và kí hiệu trạng thái
của hệ N hạt đồng nhất là  1,2,..., N , t     i, j  . Nếu thế
Pˆij  i, j     i, j  ; Pˆij  j, i     i, j  ,

Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử Pˆij


hạt femi hay các fermion, chúng tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Các Boson
là các hạt có spin nguyên, các fermi là các hạt có spin bán nguyên.
1.1.3. Nguyên lý Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu
Đối với Fermion có một nguyên lý cấm do Pauli đưa ra. Nguyên lý này
được phát biểu như sau:
“Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực  L1, L2 , L3 , St  bất kỳ đủ để đặc
trưng cho trạng thái của một hạt thì trong hệ Fermion không thể có hai hạt có
trạng thái được đặc trưng bởi 4 số  L1, L2 , L3 , St  giống nhau”.


5
Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng của các
Fermion.
Ta giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống nhau
Pˆij a  i, j    a  j, i    a  i, j 

theo giả thiết

 a  i, j    a  j , i 
cho nên

 a  i, j    a i, j 
Từ đây 2 a  i, j   0 và  a  i, j   0 nghĩa là trạng thái của hệ như vậy
không tồn tại.
Ta đi xét một hệ đồng nhất mà các hạt tương tác yếu với nhau, trong một
phép gần đúng nào đó ta coi các hạt không tương tác với nhau.
Giả sử hàm nl  l  là nghiệm đúng của phương trình

 Hˆ  l    n  n  l   0
l l


Đối với hệ Fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng

n1 1

s 

n1  2 

n1  3

1
n 1 n2  2  n2  3
N! 2
nN 1 nN  2  nN  3

(1.6)

Từ (1.6) chúng ta có thể suy ra nguyên lý Pauli
1.2. Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2],
,
trong đó

(1.7)

là độ suy biến.



,

là thế nhiệt động lớn,

Sở dĩ có thừa số

(1.9)

là thế hóa.

xuất hiện trong công thức (1.9) là vì có kể đến tính

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu
được do hoán vị các hạt.
Ta kí kiệu
(1.10)
Khi đó (1.10) được viết lại như sau

(1.11)
Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.11) như sau
Một là vế phải của (1.11) có thể coi là hàm của các
nhận công thức đó như là xác suất để cho có

nên ta có thể đoán

hạt nằm trên mức

,



thái khác nhau về phương diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng
cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho

chia
.

Khi đó
,
thay giá trị của

(1.14)

vào (1.10) ta thu được (1.13). Để tính trị trung bình của các

số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn
cho đại lượng

trong công thức (1.11) chỉ số , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình

như không phải chỉ có một thế hóa học
. Và cuối phép tính ta cho

mà ta có cả một tập hợp thế hóa học

.

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa
như sau
,

.

(1.19)

Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ
) và

do đó theo (1.15) ta có

,

(1.20)

khi đó
.

(1.21)

Theo (1.19) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
,

(1.22)

ta có (1.22) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học

trong

công thức (1.22) được xác định từ điều kiện
(1.23)
Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt

(1.25)

Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng

và véctơ sóng

,

(1.26)

khi đó (1.25) có thể được viết dưới dạng
.

(1.27)

Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc

thì

suy ra
,
,
do đó (1.27) có dạng
.
Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin
năng lượng trong khoảng

của hạt
là

.
Thực vậy, số hạt trung bình

(1.31)
chỉ có thể là một số dương, do đó,

theo (1.29), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.29) luôn luôn dương
(nghĩa là khi

, để cho

luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị

của ).
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,

giảm dần khi nhiệt độ tăng

lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.30) ta có:

(1.32)


12
Nhưng do (1.30) nên

, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải

(1.32) luôn luôn dương với mọi giá trị của , vì vậy
và

, nên từ (1.33) và

(1.33)

, ta được

.

(1.34)


13
Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào
cỡ 120kg/m3 ta được

= 2,190 . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ

có ý

nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ
. Khi giảm nhiệt độ xuống tới
, mà
độ

nên
thì

Với nhiệt độ


Các hạt còn lại

(1.36)

, cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi,

chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn

, một phần các hạt của khí bose sẽ

nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ
được phân bố trên các mức khác theo định luật

. Hiện tượng mà ta vừa


14
mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lượng
không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi
là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối (

) tất cả các hạt bose sẽ

nằm ở mức không.
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein
Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng
bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K
hay -2730C). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng

chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel
Vật lý năm 2001.
Các hạt trong Vật lý được chia ra làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và
lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion là
các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài
ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion
không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử”.
Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,
giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi
cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến
thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí
bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong
kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý
cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng
, do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có
đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ

. Còn

các hạt lần lượt chiếm các

trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lượng của cả hệ khác
không (

).


16
Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay

yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ
và dạng hình học của hốc thế được dự đoán từ trước.
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium
Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng Vật lý cơ bản. Với việc chọn
Erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý
Thực Nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì
những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để
nghiên cứu những những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực Vật lý lượng tử.
“Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới
một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”, Ferlaino cho biết.
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser
và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose –


18
Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với Erbium
cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương
tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên
tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói.
Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý
ở Innsbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của
ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của Sesium, dẫn tới vô số
những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ

Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành
“nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”.
Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein truyền thống được
làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên
không thể phân biệt được, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng
cho rằng, các photon sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm
lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ nó cùng lúc dường như là bất khả thi. Do photon
là các hạt không có khối lượng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi
trường xung quanh và biến mất – điều thường xảy ra khi chúng bị làm lạnh.


20
Theo trang LiveScience, bốn nhà Vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách
làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để nhốt giữ
các photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm
bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một
phần triệu của một mét (1 micrô). Giữa các gương, nhóm nghiên cứu đặt các
phân tử “thuốc nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm màu).
Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thu và sau đó
được tái phát.
Các tấm gương đã “tóm” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến
– lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử
trao đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và
cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng.
Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó
đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngưng tụ Bose Einstein.
Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà Vật lý James Anglin
thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên
là “một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Các tác giả của nghiên cứu này cho
biết thêm rằng, công trình của họ có thể gúp mang tới những ứng dụng trong