BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN THỊ OANH

VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ
BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN DƯỚI ẢNH
HƯỞNG CỦA ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài
và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và
bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình
học tập để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017
Tác giả

Phan Thị Oanh

1.2.1. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein ...................................... 10
1.2.2. Một số ứng dụng của ngưng tụ Bose – Einstein .............................. 15
Chương 2: LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII ................................... 23
2.1. Gần đúng trường trung bình............................................................... 23
2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii ........................................................... 26
Chương 3: VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE –
EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA ĐIỀU KIỆN
BIÊN ROBIN........................................................................................... 28
3.1. Gần đúng Parabol kép (Double parabola approximation - DPA)........ 28


3.2. Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép ................................... 30
3.3. Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần dưới
ảnh hưởng của điều kiện biên Robin......................................................... 34
KẾT LUẬN ............................................................................................. 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 41


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chon đề tài
Nói đến vật lý hiện đại chúng ta nghĩ ngay đến Albert Einstein (1897 1955) là nhà Vật lý lý thuyết người Đức. Ông được coi là một trong những
nhà khoa học có ảnh hưởng nhất của thế kỉ 20 – cha đẻ của Vật lý hiện đại.
Nói tới Einstein không thể không nhắc tới hàng loạt những công trình nghiên
cứu của ông, một trong số đó là ngưng tụ Bose – Einstein (Bose – Einstein
condensate – BEC) được tạo ra đầu tiên trên thế giới từ những nguyên tử lạnh
năm 1995.
Trong lĩnh vực nghiên cứu về hệ ngưng tụ BEC hai thành phần (BECs)
thì việc tìm ra vị trí măt phân cách giữa các thành phần đóng vai trò quan

- Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần dưới
ảnh hưởng của điều kiện biên Robin
5. Những đóng góp mới của đề tài
Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần dưới
ảnh hưởng của điều kiện biên Robin có những đóng góp quan trọng trong Vật
lý thống kê và cơ học lượng tử nói riêng, trong Vật lý lý thuyết nói chung.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng gần đúng parabol kép.
- Sử dụng phần mềm Mathermatica tính số và vẽ hình.


3

Chương 1
TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN
1.1. Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Từ công thức chính tắc lượng tử [2],
,
với

(1.1)

là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có
(1.2)

trong đó



là thế hóa.

xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu


4

được do hoán vị các hạt. Ta kí kiệu
(1.4)
Khi đó (1.4) được viết lại như sau

(1.5)
Ta có hai nhận xét về công thức (1.5) như sau:
Một là vế phải của (1.5) có thể coi là hàm của các
nhận công thức đó như là xác suất để cho có

nên ta có thể đoán

hạt nằm trên mức

,

hạt

nằm trê mức , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta
có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng


. Khi đó

,
thay giá trị của

(1.8)

vào (1.4) ta thu được (1.7). Để tính trị trung bình của các số

chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho
đại lượng

trong công thức (1.5) chỉ số , tức là ta sẽ coi hệ ta xét không phải

chỉ có một thế hóa học
phép tính ta cho

mà ta có cả một tập hợp thế hóa học

. Và cuối

.

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa
như sau
,

với

(1.9)


6

,

(1.14)

khi đó
.

(1.15)

Theo (1.13) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
,

(1.16)

ta có (1.16) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học

trong

công thức (1.16) được xác định từ điều kiện
(1.17)
Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt
trung bình có năng lượng trong khoảng từ

bằng
,

trong đó

,

(1.20)

khi đó (1.19) có thể được viết dưới dạng
.

(1.21)

Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc   c thì
suy ra
,
,
do đó (1.21) có dạng
.
Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin
năng lượng trong khoảng

của hạt

. Do đó, số các mức

là
.

(1.22)

Theo (1.18) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng
.

, để cho

luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị

của ).
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh

giảm dần khi nhiệt độ tăng lên.

Áp dụng quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.24) ta có:

. (1.26)

Nhưng do (1.24) nên

, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải

(1.26) luôn luôn dương với mọi giá trị của , vì vậy
và

của hàm

ta thấy khi nhiệt độ giảm thì

. Từ các tính chất
tăng (từ giá trị âm

tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ
giá trị cực đại bằng không (


Đối với tất cả các khí Bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào
cỡ 120kg/m3 ta được

=2,190

. Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ

có ý

nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ
. Khi giảm nhiệt độ xuống tới
, mà
độ

nên
thì

Với nhiệt độ

thì thế hóa học

tăng tới giá trị

không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt

.
số hạt có năng lượng là
.(1.29)


chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn

, một phần các hạt của khí Bose sẽ

nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ
được phân bố trên các mức khác theo định luật

. Hiện tượng mà ta vừa

mô tả, trong đó một số hạt của khí Bose chuyển xuống mức “năng lượng
không” và hai phần của khí Bose phân bố khác nhau theo năng lượng được
gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối (

) tất cả các hạt

bose sẽ nằm ở mức không.
1.2.Tổng quan nghiên cứu về ngưng tụ Bose – Einstein
1.2.1. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein
Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí Boson loãng
bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K
hay -2730C). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng
thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở
mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô.
Hiện tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử
với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tưởng về
một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm
để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó
mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và

ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion


12

không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử”.

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường
hợp này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của
các nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh,
màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi
xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên
phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều
nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu
trắng.
( Ảnh: Wikipedia )
Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,
giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi
cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến
thống kê Maxwell – Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí
bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong
kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý
cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng


13

, do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có
đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ


Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng Vật lý cơ bản. Với việc chọn


14

Erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý
Thực Nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì
những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để
nghiên cứu những những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực Vật lý lượng tử.
“Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới một
trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”, Ferlaino cho biết.
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser
và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose –
Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với Erbium
cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương
tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên
tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói.
Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý
ở Innsbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của
ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của Sesium, dẫn tới vô số
những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ
START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của
Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium
hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố

photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng.
Tuy nhiên, bốn nhà Vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và
Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành
“nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”.
Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein truyền thống được
làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên
không thể phân biệt được, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng
cho rằng, các photon sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm
lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ nó cùng lúc dường như là bất khả thi. Do photon
là các hạt không có khối lượng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi
trường xung quanh và biến mất – điều thường xảy ra khi chúng bị làm lạnh.
Theo trang LiveScience, bốn nhà Vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách
làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để nhốt giữ
các photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm
bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một
phần triệu của một mét (1 micrô). Giữa các gương, nhóm nghiên cứu đặt các
phân tử “thuốc nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm màu).
Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thu và sau đó
được tái phát.
Các tấm gương đã “tóm” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến
– lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử
trao đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và
cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng.
Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó
đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngưng tụ Bose Einstein.
Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà Vật lý James Anglin


17



polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt độ khá cao là 19K.
Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu
hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong
lĩnh vực này lại nghi ngờ rằng các polariton dù ở trạng thái BEC thật, nhưng
bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được kích thích
bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp được rồi.

Hình 1.3: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007).
Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp
Pittsburgh và các cộng sự ở Phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tương
tự mà trong đó các polartion được tạo ra bởi các tia laser sau đó di chuyển
khỏi vùng kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một ghim nhỏ
chiều ngang 50 micrô, để tạo ra một ứng suất bất đồng nhất trên vi cầu, có
nghĩa là tạo ra như một bẫy để tích lũy các polartion. Và ở hệ này, trạng thái
BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K. Mặc dù ở nhiệt độ này thấp
hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của Kasprzak đã công bố, nhưng
Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi xuất bản công trình này, nhóm


19

đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32 K: “Có hàng trăm nguyên
nhân để hi vọng chúng tôi có thể đạt tới nhiệt độ cao hơn, cao hơn nữa… dù
không thể giả thiết có thể đạt tới nhiệt độ phòng nhưng trên 100K không
phải là không thể đạt được trong khả năng của chúng tôi”.
Hơn nữa, các vi cầu (hay vi hốc – microcavity) được tạo ra bởi vật liệu
bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tương tự từng được dùng trong các khí
nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác.


ma sát, đoàn tàu sẽ lướt đi theo đường từ trường ở tốc độ cao hơn.
Jin cùng với hai đồng nghiệp Eric Cornell và Carl Wieman đã đoạt giải
Nobel Vật lý năm 2001 cho phát minh ra vật chất Bose – Einstein cô đặc.
Loại vật chất này được tạo ra từ tập hợp của hàng nghìn phần tử cực lạnh tạo
thành trạng thái lượng tử đơn, tương tự một siêu nguyên tử. Còn loại vật chất
mới mà nhóm nghiên cứu của bà vừa tạo ra khác với Bose – Einstein. Nó
được tạo thành từ những khối hạt vật chất là proton, electron và neutron trong
môi trường chân không được làm lạnh xuống gần tới độ không tuyệt đối. Tại
nhiệt độ đó, các phần tử vật chất ngừng hoạt động. Sau đó, từ trường và tia