A - mở đầu
I - lý do chọn đề tài

Trong lịch sử phát triển của toán học thì toán học là một trong bộ
môn khoa học đợc ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế
cuộc sống đã làm nảy sinh các kiến thức toán học. Toán học không những
góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học khác. Có
thể nói toán học là cơ sở của nhiều môn khoa học khác. Chính vì vậy trong
nhà trờng phổ thông, môn toán là một trong những bộ môn cơ bản và việc
nâng cao kiến thức toán cho học sinh đơng nhiên là cần thiết.
Trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì môn toán có
thể nói rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm đợc lợng kiến thức khá
rộng và có kỹ năng vận dụng nó một cách linh hoạt sáng tạo.
Kiến thức toán học rất rộng, hệ thống bài tập nhiều vì vậy không phải
kiến thức bài tập nào giáo viên cũng có thể khai thác và mở rộng ra đợc.
Giáo viên chỉ mở rộng cho những kiến thức chính, những dạng bài tập quan
trọng, cách mở rộng cũng nhiều hớng khác nhau.
Khái quát hoá để mở rộng thành những bài toán tổng quát khó hơn.
Tơng tự hoá để giới thiệu thêm những bài toán có cùng phơng pháp giải.
Đặc biệt hoá để đa bài toán về dạng đặc biệt hơn dễ nhớ hơn, có khi chỉ đơn
giản là phân tích thêm những kiến thức có liên quan để hớng dẫn học sinh
giải theo nhiều cách khác nhau hoặc đặt thêm yêu cầu mới cho bài toán.
Điều đó thôi thúc tôi chọn và nghiên cứu đề tài.
Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập trong sách giáo khoa để bồi
dỡng học sinh khá giỏi.
II - Nhiệm vụ nghiên cứu:

Học sinh khá, giỏi hiện nay phần lớn chỉ đầu t vào việc giải hết bài
toán khó này đến bài toán khó khác mà cha nâng cao đợc nhiều năng lực
toán học. Mà theo quan niệm của tôi cho rằng: Việc ôn tập bồi dỡng học
sinh giỏi môn toán cần phải:

= 2.(1 + 2) + 23. (1 + 2) + 25. (1 + 2) + 27. (1 + 2) + 29. (1 + 2)
= 2.3 + 23. 3 + 25. 3 + 27. 3 + 29. 3
Vậy A chia hết cho 3.
Từ bài toán này ta giải đợc một số bài toán sau:
Bài toán 1.1: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... +257 + 258 + 259 +260.
2


Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Lời giải:
Tơng tự nh Bài toán 1.
Bài toán 1.2: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... +257 + 258 + 259 +260.
Chứng minh rằng A chia hết cho 105.
Lời giải:
Ta có: 105 = 7.15 và (7, 15) = 1.
Thật vậy:
A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... +257 + 258 + 259 +260.
= (2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26) + ... + (258 + 259 +260)
= 2.(1 + 2 + 22 ) + 24.(1 + 2 + 22) + ... + 258.(1 + 2 + 22)
= 2.7 + 24.7 + ... + 258.7
=> A chia hết cho 7. (1)
A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 257 + 258 + 259 +260.
= (2 + 22 + 23 + 24 ) + ... + (257 + 258 + 259 +260).
= 2. (1 + 2 + 22 + 23 ) + ... + 257. (1 + 2 + 22 + 23 ).
= 2.15 + ... + 257.15
=> A chia hết cho 15. (2)
Vì (7, 15) = 1 nên kết hợp (1) và (2) suy ra A chia hết cho 105.
Nhận xét:
Với A = 2 + 22 + ... + 2n
a) Các Bài toán 1 và Bài toán 1.1 đúng khi số các số hạng n là số

Với a = -2, ta đợc:
S = 1 - 2 + 22 - 23 + 24 - ... +2100
= [(- 2)101 - 1] / [-2 - 1] = (- 2101 - 1)/ -3 = ( 2101 + 1)/ 3.
T = 3 - 32 + 33 - 34 + ... +31999 - 32000
= 3. (1 - 3 + 32 - 33 + ... +31998 - 31999 )
= 3. [(- 3)2000 - 1] / [-3 - 1] = 3. ( 32000 - 1)/ - 4
Bài toán 1.5:
a) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với:
A = 4 + 22 + 23 + 24 + ... +220
b) Chứng minh rằng 2.A + 3 là một luỹ thừa của 3 với:
A = 3 + 32 + 33 + 34 + ... +3100
Bài toán 1.6:
Cho số tự nhiên A = 7 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 + 78.
a) Số A là chẵn hay lẻ.
b) Số A có chia hết cho 5 không?
Bài toán 1.7:
4


Cho S = 2 + 22 + 23 + ... +22000 . Hỏi S có chia hết cho 6 không?
Bài toán 1.8:
Chứng minh rằng tổng:
P = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 chia hết cho 13.
II. Phần đại số:

Trong chơng trình Đại số 8, ở học kỳ I, học sinh đợc học về các hằng
đẳng thức đáng nhớ, trong đó:
A2 + 2AB + B2 = ( A + B )2
A2 - 2AB + B2 = ( A - B )2
và có nhận xét:


( 2x - 4)2 + ( y + 2)2 = 0

Bài 4: Tìm x biết :
x2 + 2( x + 1)2 + 3( x + 2)2 + 4( x + 3)2 = 0
Hớng dẫn:
Từ kết quả của Bài 1 ta có phơng trình tơng đơng:
x = 5
x+5= 0
5

x
=

3
x
+
5
=
0


3

( x + 5)2 + ( 3x + 5)2 = 0

Vậy không có giá trị nào của x để vế trái bằng 0.
Bài 5: Tìm x, y biết:
4x2 - 16x + y2 + 4y + 24 = 0
Hớng dẫn:

Từ bài tập 7, ta đa ra bài toán tổng quát hơn
Bài 13: Chứng minh rằng với 3 số a, b, c bất kỳ, ta có: a 2 + b2 + c2 ab +
bc + ca
Hớng dẫn:
Cách 1: Nhân 2 vế với 2, làm tơng tự bài 7 (biến đổi tơng đơng).
Cách 2: (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) =

[

]

1
( a b ) 2 + ( b c ) 2 + ( c a ) 2 0 =>
2

đpcm
Cách 3: Phơng pháp phản chứng.
Cách 4: Sử dụng bất đẳng thức đã biết, ta có:
a2 + b2
b2 + c2
ab,
bc,
2
2

c2 + a2
ca
2

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc:

7


Ta có thể khai thác những bài toán dạng này theo hớng khác là dạng
toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài 14: (Suy ra từ bài 5)
Tìm giá trị bé nhất của A = 4x2 - 16x + y2 + 4y + 24
Hớng dẫn:
A 4, min A = 4 khi x = 2, y = -2
Bài 15: Tìm giá trị bé nhất(lớn nhất) của các biểu thức:
P = x2 - 2xy + 6y2 - 12x + 2y + 45
Q = -x2 + 2xy - 4y2 - 2x - 10y - 3
R = x2 - 2xy + 4y2 - 2x - 10y + 3
Hớng dẫn:
P = (x- 6 - y)2 + 5(y - 1)2 + 4 4 => min P = 4 khi x = 7, y = 1
Q = 10 - (x - y -1)2 - 3(y - 2)2 10 => max Q = 10 khi x = 3, y = 2.
Từ bài 15 ta có thể suy ra kết quả sau:
1) f(x) = -x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y - 3 có GTLN bằng 10 khi x = 3,
y = 2.
2) - f(x) có GTNN bằng -10 khi x = 3, y = 2.
3)

1
1
có GTNN bằng
khi x = 3, y = 2.
f ( x)
10

Bài 16: Tìm GTNN của biểu thức:



B = (x - a)2 + (x - b)2 + (x - c)2 với a, b, c cho trớc
Hớng dẫn:
a+b+c 2
(a + b + c) 2
2
2
2
B = 3(x ) + (a + b + c ) 3
3

=> min B = (a2 + b2 + c2) -

a+b+c
(a + b + c) 2
khi x =
3
3

III - Phần hình học

Bài 1: Cho ABC, các đờng phân giác của các góc B và C gặp nhau tại S,
các đờng thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài B và C gặp nhau tại E.
Chứng minh rằng:
a) BSCE là tứ giác nội tiếp.
A
b) 3 điểm A, S, E thẳng hàng.
Hớng dẫn:
S

=> Câu hỏi tiếp:
d) Chứng minh rằng BEC =

1
( B + C )
2

9


Nhận xét 3:
BOC = 2 E = B + C mà A + B + C = 1800 => BOC + A = 1800
e) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
Nhận xét 4:
O nằm trên đờng tròn ngoại tiếp ABC, S là tâm đờng tròn nội tiếp
ABC, E là tâm đờng tròn bàng tiếp, OE = OS.
f) Chứng minh rằng đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp với tâm đờng
tròn bàng tiếp của tam giác bị đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy chia thành
hai phần bằng nhau.
Bài 2:
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính CD = 2R. Từ C và D kẻ hai tiếp
tuyến Cx, Dy. Từ một điểm E trên đờng tròn, kẻ tiếp tuyến với đờng tròn đó
x
y
cắt Cx, Dy lần lợt tại A, B.
Chứng minh rằng: AOB = 900.
A
Hớng dẫn:
E
(Có nhiều cách giải)

DB


Có CED = 1v
=> đờng thẳng vuông góc với ME
tại E cắt Cx tại A, cắt Dy tại B => B D.
=> AMB = ACD = 900

x

3) Trờng hợp M D

y

Chứng minh tơng tự trờng hợp M C
=> AMB = 900.

E

AC

B

M D

O

4) Trờng hợp M O, C và D ta có bài toán sau:
Cho E là một điểm nằm trên (O,


thuộc CD nhng ở ngoài CD, đờng vuông góc với ME tại E cắt tiếp tuyến
Cx, dy của (O) lần lợt tại A, B chứng minh rằng AMB = 900.
x
y
Có: MEB = MDB = 900
=> Tứ giác AECM nội tiếp
A
E
=> MBA = MDE
tơng tự tứ giác AECM nội tiếp
=> MAE = ECD
C
D
M
0
O
mà MDE + ECD = MAB + MBA = 90
=> AMB = 900 => đpcm.
B
Bài 3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng
bờ AB chứa nửa đờng tròn vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đờng tròn. Lấy
C, D lần lợt thuộc Ax, By sao cho CD = AC + BD.
Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB.
Bài toán này có thể giải đợc dựa trên ý tởng là xét hai tam giác bằng
nhau để rút ra các yếu tố tơng ứng của chúng bằng nhau.
Lời giải:
Trên tia đối của tia BD đặt điểm K sao cho: BK = AC.
Từ đó ta có DK = DB + BK = DB + AC = CD.
Từ OAC = OBK có OC = OK.
Dễ thấy OCD = OKD (c.c.c).

DB) do vậy bài toán 3 tơng đơng với bài toán sau:
Bài toán 3' :
Cho hai đờng tròn tâm C và tâm D tiếp xúc ngoài và AB là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đờng tròn (A, B là các tiếp điểm).
Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB.
Việc tổ chức dạy học sáng tạo bằng cách sử dụng các biện pháp nêu trên
không những giúp cho học sinh hiểu sâu nắm vững kiến thức lôgíc của bài
toán, biết cách "chuyển hoá" ngôn ngữ thông qua sử dụng hệ thống khái
niệm.

13


C. Bài soạn - Tiết 1: Phần Hình học
A. Mục tiêu:
- Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bày lời giải bài toán hình.
- Rèn t duy toán thông qua khai thác, mở rộng các bài toán.
- HS tăng cờng năng lực sáng tạo, tính tự học, tự nghiên cứu.
- Rèn tính cẩn thận, chính xác trong làm bài.
B. Chuẩn bị:
Giáo viên: Máy chiếu, thớc thẳng, com pa.
Học sinh:.Thớc thẳng, com pa.
C. Tiến trình dạy học:
1. ổn định tổ chức.
2. Kiểm tra bài cũ
HS1: Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù?
Nêu một số cách chứng minh tứ giác nội tiếp?
HS2: Nêu một số cách chứng minh ba điểm thẳng hàng?
3. Bài mới:
Bài 1: Cho ABC, các đờng phân Bài 1:


Lời giải:

E

a) CS là tia phân giác trong của C
CE là tia phân giác ngoài của C
=> SCE = 900.
Chứng minh tơng tự SCE = 900.
=> Tứ giác SBEC nội tiếp
vì SCE + SBC = 1800
14


HS làm bài.

b) S là giao điểm của 3 đờng phân
giác trong, E là giao điểm của 2 đ-

Em nào có cách làm?
Em nào có cách làm khác?

ờng phân giác ngoài của B và C
thuộc ABC.
Theo định lí đã học => A, S, E
thẳng hàng.
GV hớng dẫn HS khai thác bài toán Khai thác bài toán
trên.
Nhận xét 1:
Ta có SCE = SBE = 90 0 => tâm đEm có nhận xét gì về tứ giác BSEC? ờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE là


Nhận xét 3:
BOC = 2 E = B + C mà A + B + C =
1800 => BOC + A = 1800
e) Chứng minh tứ giác ABOC nội
tiếp
Nhận xét 4:

Từ câu e có nhận xét gì về vị trí của O nằm trên đờng tròn ngoại tiếp
ABC, S là tâm đờng tròn nội tiếp
điểm O?
ABC, E là tâm đờng tròn bàng tiếp,
Có nhận xét gì về điểm S và E?
OE = OS.
So sánh OE và OS?
f) Chứng minh rằng đoạn thẳng nối
Từ đó ta có câu f.
15


tâm đờng tròn nội tiếp với tâm đờng
tròn bàng tiếp của tam giác bị đờng
tròn ngoại tiếp tam giác ấy chia
thành hai phần bằng nhau.

4. Củng cố - luyện tập
GV lu ý cho HS:
- Tìm hiểu kỹ bài toán, vẽ hình chính xác.
- Biết cách phân tích, tổng hợp, khai thác bài toán.
5. Hớng dẫn:

việc khai thác các kiến thức cơ bản trong chơng trình sách giáo khoa đi đến
sáng tạo và đề xuất bài toán mới, tìm tòi nhiều cách giải khác nhau cho một
bài toán góp phần bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi.
Hải Dơng, ngày 30 tháng 5 năm 2006
Ngời thực hiện

Xác nhận của nhà trờng
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................

17


Tài liệu tham khảo
1 - Nâng cao và phát triển Toán 6: Vũ Hữu Bình
2 - Nâng cao và phát triển Toán 8: Vũ Hữu Bình
3 - Một số vấn đề phát triển Toán 8: Vũ Hữu Bình
4 - Toán nâng cao và chuyên đề hình học 9: Nguyễn Ngọc Đạm,
Nguyễn Việt Hải, Vũ Dơng Thụy
5 - Bồi dỡng học sinh giỏi toán cấp 2: Võ Đại Mau

18


Mục lục
Trang
1