Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Biên soạn
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
Bài 2 :

I. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa :
Cho mặt phẳng (α) . Nếu vectơ
0a ≠
r r
và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì
n
r
được gọi là vectơ pháp tuyến của (α)
Chú ý : Nếu

n
r
là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì
( )
. 0k n k ≠
r
cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó .
Bài toán : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (
α
) và 2 vectơ không cùng phương
( ) ( )

r
vuông góc với cả hai vectơ
&a b
r r
α
n
r
b
r
a
r
'a
uur
'b
ur
Có nghĩa là giá của nó vuông góc với 2 đường
thẳng cắt nhau của mp (
α
) .Suy ra giá của
n
r
vuông góc với mp (
α
) .
vì
&a b
r r
không cùng phương nên các
tọa độ của
n

Giải :
( )
2;1; 2AB = −
uuur
( )
12;6;0AC = −
uuur
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1.0 6. 2 ; 1 . 12 2.0;2.6 1. 12n AB AC⇒ = ∧ = − − − − − − −
r uuur uuur
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;n a b a b a b a b a b a b= − − −
r
( ) ( )
12;12;24 12 1;1;2= =
Click

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Bài toán 1 :
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

α α
∈ ⇔ ∈
0
n M M⇔ ⊥
r uuuuuur
0
. 0n M M⇔ =
r uuuuuur
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z⇔ − + − + − =
Click

Bài toán 2 :
Trong không gian Oxyz , chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x ; y ; z) thõa mãn
phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A , B , C không đồng thời bằng
0)
là một mặt phẳng nhận vectơ
Giải :
Ta lấy điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z=
( )
; ;n A B C
r
làm vectơ pháp tuyến .
sao cho
0 0 0
0Ax By Cz D+ + + =

Ax By Cz D
+ +
⇔ + + + =
Từ 2 bài toán trên có định nghĩa sau :
Click

Định nghĩa :
Phương trình có dạng : Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A , B , C không đồng
thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng .
Nhận xét :
a) Nếu mặt phẳng (
α
) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có
một vectơ pháp tuyến là :
( )
; ;n A B C
r
b) Phương trình mặt phẳng đi qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) nhận vectơ
( )
; ; 0n A B C ≠
r r
làm vectơ pháp tuyến là : A(x – x

0
A B
A B C
A B C
+ =


⇔ + + =


− − =

4
5
B A
C A
= −

⇔

=

Vậy có x - 4y + 5 z - 2 = 0
Click

Các trường hợp riêng :
Trong không gian Oxyz cho mp (α) : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
a) Nếu D = 0
Thì gốc tọa độ O có tọa độ thõa mãn phương
trình của mặt phẳng (

x
α
)
By + Cz + D = 0
z
yO
x
α
)
Ax + Cz + D = 0
z
yO
x
Ax + By + D = 0
α
)
Click