Header Page 1 of 258.

ÔN THI THPT
QUỐC GIA

NGUYỄN BẢO VƯƠNG
TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

395 BTTN THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN CƠ BẢN
TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC
SINH THƯỜNG

Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9-10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago : BC2 AB2 AC2
A
b) BA2 BH.BC; CA2 CH.CB
c) AB. AC = BC. AH
b
c
1
1
1
d)
AH 2 AB2 AC2

sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
a.b.c
a b c
a.ha = a.bsin C
S
p.r
p.(p a)(p b)(p c) với p
2
2
4R
2
2
a 3
1
Đặc biệt :* ABC vuông ở A : S
AB.AC ,* ABC đều cạnh a: S
4
2
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diện tích hình thoi : S =

C

1
(chéo dài x chéo ngắn)

a (P)
(P)

II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên
mp(P) và song song với đường thẳng a
nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song
song với mp(P)

d

d

d / /a
a

ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với
mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt
mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song
với a.

(P)
d / /(P)

(P)

a
(P)

(Q)

Q
P

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:

2
Footer Page 3 of 258.


Header Page 4 of 258.
Hai mặt phẳng được gọi là song song với
nhau nếu chúng không có điểm nào
chung.

(P) / /(Q)

P

(P) (Q)

Q

II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau
và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q)
song song với nhau.

a, b (P)
a b I

(R) (P)

a

(R) (Q)

b

P

a / /b

Q

a
b

B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là vuông góc
với một mặt phẳng nếu nó vuông góc
với mọi đường thẳng nằm trên mặt
phẳng đó.

a

a

mp(P)

a

3
Footer Page 4 of 258.


Header Page 5 of 258.
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường
thẳng a không vuông góc với mp(P) và
đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b vuông góc với
a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a
trên (P).

a

a

mp(P), b

b

a

b

mp(P)

a'
P

nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông
góc với mặt phẳng (Q).

(P) (Q)
(P) (Q) d
a

(P), a

P

a

(Q)

a

d
Q

d

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với
nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi
qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

(P) (Q)
A (P)
A a

(R)
R

§3.KHOẢNG CÁCH

4
Footer Page 5 of 258.


Header Page 6 of 258.
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P))
là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm
M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

O

O

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

H

a
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng
cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).

P


B

§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt
cùng phương với a và b.

a

a'

b'
b

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng a và mp(P) là 900.

a

P

a'

5
Footer Page 6 of 258.


Header Page 7 of 258.

C



A

B

ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với B: diện tích đáy
h: chiều cao

h
B

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

a

c

SA SB SC
SA ' SB' SC'

S
C'
A'

A

B'
C
B

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

với

A'

h
V
B B'
BB'
3
B, B' : dieän tích hai ñaùy

B'
C'

A

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

Lời giải:
Ta có

C'

A'
B'
3a
a 2

C

A
a

ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a
AA' AB
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng
2
2
AA'B AA' A'B AB2 8a 2
AA' 2a 2
3
Vậy V = B.h = SABC .AA' = a 2

B

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.

C

D

3a
3a
2

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

A

B

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có
ABC đều nên

C'

A'

B'

AB 3
2

AI

A'AI

AA'

4

2

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a

C'

D'

và SABCD = 2SABD =

B'

A'

A

60

B

a 3


a3 3
; S = 3a2
4

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
BD' a 6 . Tính thể tích của lăng trụ.Đs: V = 2a3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết
rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng
trụ.Đs: V = 24a3
2) Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích lăng trụ.
C'

A'

Lời giải:
Ta có A'A

(ABC)

A'A

AB&AB là hình chiếu của A'B trên

đáy ABC .

C



B'

30

BC'A = 30o
AB
3a
t an30o

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] =

o

AC'B

AC'

V =B.h = SABC.AA'

A

a
o
60
B

C

AA'C'

A'

D'

Vậy góc [BD';(ABCD)] =

BDD'
o
30

C
D

a 6
3
3
a 6
4a 2 6
S = 4SADD'A' =
3
3
BD.tan 300

DD'

B
Vậy V = SABCD.DD' =

A


a

SABD

a2 3
4

a2 3
SABCD 2SABD
2
ABB' vuông tạiB BB' ABt an30o
3a 3
Vậy V
B.h SABCD .BB'
2

a 3

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a , biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
A'

C'

C

o
60

10
Footer Page 11 of 258.


Header Page 12 of 258.
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với
đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:

C'

A'

ABC đều

AI

BC

(ABC)

mà AA'

BC (đl 3

nên A'I

).

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A'IA = 30o


xI

x 3.

Do đó VABC.A’B’C’ = 8

3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với
đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
D'

C'

A'

B'

C

BD

CC' (ABCD) nên OC' BD (đl 3
60o
Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

O
A


AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD)

Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A'CA
BC
AB
BC
A'B (đl 3 ) .

30o

A'BA 60o
AC = AA'.cot30o = 2a 3

Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] =

A'AC

11
Footer Page 12 of 258.

=


Header Page 13 of 258.

D'

A'



4a 6
3

16a 3 2
3

C

B

4) Dạng 4:

Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh
bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.

A'

C'
B'

a

B

o
60
H


Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC
một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

12
Footer Page 13 of 258.


Header Page 14 of 258.

A'

C'

Lời giải:
1) Ta có
Vậy

B'

A'O

(ABC)

OA là hình chiếu của AA' trên (ABC)

60o

3 2
o
AOA' A'O AOt an60
a
3
a 3
Vậy V = SABC.A'O =
4

2)

O

H
B

ABC đều nên AO

a 3
3

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 AD = 7 .Hai
mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Tính thể tích khối
hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Lời giải:

 (ABCD ) ,HM  AB, HN  AD
 A' M  AB, A' N  AD (đl 3 )

Kẻ A’H

x
3
7

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x
=

3. 7.

3
3
7

LOẠI 2:
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng
vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .

13
Footer Page 14 of 258.

)

BB'

Vậy


Header Page 15 of 258.


(SBC)

1 a2 3
a
3 4

a3 3
12

S

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2) Tính thể tích hình chóp.
Lời giải:
1) SA

S

(ABC) SA AB &SA
BC AB BC SB ( đl 3 ).

AC

mà
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
2) Ta có SA
(ABC) AB là hình chiếu của SB trên (ABC).


B

SAB

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy
ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .
Lời giải: M là trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên
AM
BC
SA BC (đl3 ) .

S

Vậy góc[(SBC);(ABC)] =
Ta có V =

1
B.h
3

C

A

SAM

60 o
a


1) Tính thể tích hình chóp SABCD.

14
Footer Page 15 of 258.


Header Page 16 of 258.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải:
1) Ta có SA

S

AD

CD

SD ( đl 3

Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o .

H

60

A

(ABC) và CD

SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3


B

C
Vậy AH =

1
AH2
a 3
2

1
SA2

1
AD2

1
3a 2

1
a2

4
3a 2

2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD.
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

2
3
a 3
6

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =

V

1
S
.SH
3 ABCD

C

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)
(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o. Tính thể tích tứ diện ABCD.

15
Footer Page 16 of 258.

).(1)


Header Page 17 of 258.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH


C

V=

3

a 3
3
2a 3
suy ra
3
1 1
. BC.HD.AH
3 2

BC = 2HD =

1
S .AH
3 BCD

a3 3
9

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên
SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b)
Tính thể tích khối chóp SABC.
a) Kẻ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC).

12

J

B

3) Dạng 3 : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng
chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều
SABC .
\

Lời giải:
Dựng SO (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên
AO =

2
AH
3

SAO

SO

2a 3
3 2
2



a 3 11
12

2a

C

A

a

O

H
B

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
Dựng SO  (ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD  ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại
tiếp nên ABCD là hình vuông .

S

Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên



a3 2
6

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của

ABC  DO  ( ABC )

1
V  S ABC .DO
3
a2 3
2
a 3
S ABC 
, OC  CI 
4
3
3
DOC vuông có : DO  DC 2  OC 2 

Footer Page 18 of 258.

a 6
3
17

DO 
2
6

1
1 a 2 3 a 6 a3 2
 VMABC  S ABC .MH 
.

3
3 4
6
24
3
a 2
Vậy V
24

B

4) Dạng 4 :

Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  a 2 , SA vuông góc
với đáy ABC , SA  a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song
với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:




// BC  MN// BC 
SB SC SI 3

G là trọng tâm,ta có :

M
I
B




VSAMN SM SN 4

.

VSABC
SB SC 9

Vậy:

VSAMN

4
2a 3
 VSABC 
9


 AB  EC

a

DB  EC  EC  ( ABD)

E
B

C

c) Tính

VDCEF :Ta có: VDCEF  DE . DF (*)

A

DA DB

DE.DA  DC , chia cho DA2
DE DC 2
a2
1




DA DA2 2a 2 2
DF DC 2



Header Page 21 of 258.
Lời giải:
Kẻ MN // CD (N  SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của
khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

S

+

N

VSBMN SM SN 1 1 1
1
1

.
 .   VSBMN  VSBCD  VSABCD
VSBCD
SC SD 2 2 4
4
8
A
3
Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD .
8
5
Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD
8


S

 EF // BD

1
V

S ABCD .SO với S ABCD  a 2
b) S . ABCD
3
M

+

E

B

I
C
F

Vậy :

VS . ABCD

a 6
2


SM SF 1
SI SF 2
.



  SAMF 
VSACD SC SD 3
SO SD 3

20
Footer Page 21 of 258.


Header Page 22 of 258.

1
1
a3 6
 VSAMF  VSACD  VSACD 
3
6
36

 VS . AEMF

a3 6 a3 6
2

36

c) Tính

B'

C'
D'

SC.

VS . AB 'C ' D '

VSAB 'C ' SB ' SC '

.
(*)
VSABC SB SC
SC ' 1

SAC vuông cân nên
SC
2
2
2
SB ' SA
2a
2a 2 2






3 3
9

VS . AB 'C ' D '  2VS . AB 'C '

2a 3 2

9

21
Footer Page 22 of 258.


Header Page 23 of 258.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ
dài đường cao không đổi thì thể tích S.ABC tăng lên bao nhiêu lần?
A. 4 .

B. 2 .

1
.
2

C. 3 .

D.


a3 2
.
12

C. a 3 .

B.

a3 2
.
4

D.

a3
.
6

A

B

C

H
D
Câu 6. Cho S.ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB
A.

a3 2

C

22
Footer Page 23 of 258.


Header Page 24 of 258.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có SA
chóp S.ABC biết AB
A.

a , SA

a3 3
.
12

C. a 3 .

ABC , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối

a .
B.

a3 3
.
4

D.


S

a3
.
3
D
A
B

C

Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O.ABC vuông tại O có OA
A.

2a 3
.
3

B.

a3
.
2

C.

a3
.
6


Header Page 25 of 258.

A.

12 3
cm .
3

B.

C.

24 3
cm .
3

D. 24cm3 .

S

24 3
cm .
5

C

A
B

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB

D



A

B

C

Câu 12. Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA

a 3, AC

a 2.

Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là:
S

A.

a3 3
.
3

B.

a3 3
C.
.

A.

a3 6
.
12

B.

a3 6
.
4

C.

a3 2
.
6

D.

a3
.
4

24
Footer Page 25 of 258.