Header Page 1 of 258.

1 

                                      
                                        BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
  
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
 
 
 
 
 
 
LÊ HƯƠNG GIANG
 
 
 
 
 
 
 
 
VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG
 
 
TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
 
 
 

                                    
 
                                     BỘ
GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 
 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
 
 
 
 
 
 
 
LÊ HƯƠNG GIANG
 
 
 
 
 
 
  VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG
 
TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
 
 
 
Chuyên ngành: Toán Giải tích 
 
                                                   Mã số: 60 46 01 02 

                                               LỜI CẢM ƠN
 
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy bảo 
tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại học Sư phạm Hà nội II. Đặc biệt là 
sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Qua đây, tôi 
xin  bày  tỏ  lòng biết  ơn sâu  sắc  đến GS.  TSKH.  Lê  Dũng Mưu, các  thầy  cô 
giáo cùng các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện 
luận văn.  
 
                                                                                  Hà Nội, tháng 7 năm 2016 
                                                                                                Tác giả 
                                                                               Lê Hương Giang 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Trang phụ bìa

2 

Lời cảm ơn

3 

Lời cam đoan

4 

Mục lục

5 

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

6 

Mở đầu

7 

Nội dung

9 

Chương 1. Toán tử đơn điệu


 
Header Page 6 of 258.

6 

Các ký hiệu và danh mục các từ viết tắt
H  - Không gian Hilbert. 
 - Tập số thực . 

 a, b

- Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a 
 Ứng  dụng  về  tính  đơn  điệu  của  toán  tử  vào  bài  toán  bất  đẳng 
thức biến phân. 
 
 
 

Footer Page 7 of 258.

 


 
Header Page 8 of 258.

8 

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn đối tượng áp dụng chính là toán tử đơn điệu, bất đẳng thức 
biến phân và áp dụng toán tử đơn điệu vào bất đẳng thức biến phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
 Tìm tòi, thu thập các tài liệu về toán tử đơn điệu, bất đẳng thức 
biến phân. 
 Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài. 
 Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới toán 
tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân và xét một số ứng dụng của 
toán tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân. 
6. Dự kiến đóng góp mới 
    Hoàn thành bản luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích theo đề tài “ 
Về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”, với 
mong muốn luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai có nhu 

iv. 

Footer Page 9 of 258.

x, x  0, x  H ,
x, x  0  x   .

  


 
Header Page 10 of 258.

10

trong đó  x, y  được gọi là tích vô hướng của hai vectơ  x  và  y.  
Định lý 1.1. H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita ,
không gian với tích vô hướng) khi H là không gian tuyến tính định chuẩn, với
chuẩn được xác định bởi công thức:  
                                             x 

x, x , x  H .   

Chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. 
Ví dụ 1.1.
1. Không gian vectơ thực  k  chiều   k  là một không gian Hilbert cùng với 
tích vô hướng: 
k

                                               x, y 


b

a

x(t ) y (t )dt , x(t ), y (t )  C  a, b         

          và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng 
                                  x 

x, x 



         không là một không gian Hilbert. 

Footer Page 10 of 258.

b

a

2

x(t ) dt   


 
Header Page 11 of 258.



2

2 x  y

2

 .  

Đẳng  thức  này  có  nghĩa  là:  tổng  bình  phương  các  cạnh  của  một  hình  bình 
hành bằng tổng bình phương của hai đường chéo. 
Định lý 1.4. Trong không gian tiền Hilbert thực, nếu lim  x n  a  và  
lim  y n  b  thì:  
                                               lim xn , yn  a, b .  
n

 
 
 

Footer Page 11 of 258.


 
Header Page 12 of 258.

12

1.2 Toán tử đơn điệu
1.2.1 Tập lồi và hàm lồi


k
j

 1    j x j  C,  
j 1

với mọi  x1 , x 2 ,..., x k  C ; k  ; 1 , 2 ,..., k  0.  
Mệnh đề 1.1. (Giao các tập lồi)
Nếu A,  B là các tập lồi trong  n , C là tập lồi trong  m , thì các tập sau là
lồi:

Footer Page 12 of 258.


 
Header Page 13 of 258.

13

A  B :  x x  A, x  B ,
                       A   B :  x x   a   B, a  A, b  B; ,    ,  





A  C : x   nm x   a, c  : a  A, c  C .
Định nghĩa 1.5. Siêu phẳng trong không gian  n là một tập hợp các điểm có
dạng:

Header Page 14 of 258.

14





                                             D  x   n Ax  b ,   
trong  đó  A   là  ma  trận  có  m  hàng  là  các  vectơ  a j , j  1,..., m     và  vectơ 

b T =   b1 , b 2 ,..., b m  .  
Định nghĩa 1.9. Một tập C trong H được gọi là nón nếu  
                                 0, x  C   x  C.   
Định nghĩa 1.10. Một nón  C  được gọi là nón lồi nếu  C  đồng thời là một tập 
lồi, tức là:  
                           x, y  C ,  ,   0   x   y  C.  
Một nón lồi vừa là tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện.  





Ví dụ 1.5. Trong   n ,  tập  x  x1, x2 ,..., xn : xi  0, i  1,..., n   góc  (orthant) 
không âm là một nón lồi có đỉnh tại 0. 
Định nghĩa 1.11. Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi C thỏa mãn hai điều kiện
sau:
i.   C  C ,   0 .  
ii.   C  C  C.   
Ví dụ 1.6.

ii. Với mọi y  H , hình chiếu pC ( y ) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
iii. Nếu y  C thì

pC  y   y , x  pC  y   0 là siêu phẳng tựa của C tại

pC ( y ) và tách hẳn y khỏi C, tức là
pC  y   y, x  pC  y   0, x  C
pC  y   y , x  pC  y   0.

và

iv. Ánh xạ y  pC  y  có các tính chất như sau:
a) pC ( x)  pC ( y )  x  y  x, y.

Footer Page 15 of 258.

( tính không giãn)


 
Header Page 16 of 258.

16

2

b) pC  x   pC ( y ), x  y  pC ( x)  pC ( y ) .

( tính đồng bức)


 x      y     x  y  y       

                                                     =  y  

2

  y  

T

 x  y  . 

Từ đây và b), ta dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, có:  

Footer Page 16 of 258.


 
Header Page 17 of 258.

17

                y  

2

  y  

T



                                    y    NC  1 .  
Tức là                         
                                     y ,  1    0    
và                               
                                     1  y ,    1  0.   
Cộng hai bất đẳng thức này lại ta suy ra     1  0  và do đó    1.  

Footer Page 17 of 258.


 
Header Page 18 of 258.

18

iii. Do    y     N C     nên    y , x    0, x  C.   
Vậy    y , x    y,   là một siêu phẳng tựa của  C  tại   .   
Siêu phẳng này tách  y  khỏi  C  vì  y    nên 
                                  y , y       y

2

 0.   

iv. Theo phần iii. ánh xạ  x  p  x   xác định khắp nơi.  
Do  
       z  p  z   N C  p  z    với mọi  z , nên áp dụng với  z  x, z  y,  ta có: 
                                    x  p  x  , p  y   p  x   0   
và                


 p  x   p  y  , y  x  p  x   p  y   0.

  

Chuyển vế ta có:  
2

                                p  x   p  y  , x  y  p  x   p  y   
Đây chính là tính đồng bức cần chứng minh.                                                     
Định nghĩa 1.14. Cho hai tập  C  và  D  khác rỗng, ta nói siêu phẳng  a T x    
tách  C  và  D  nếu 
                           a T x    a T y,  x  C,y  D.    
Ta nói siêu phẳng  a T x    tách chặt  C  và  D  
                        a T x    a T y,  x  C,y  D.   
Ta nói siêu phẳng  a T x    tách mạnh  C  và  D  nếu  
                           sup a T x    int a T y.  
xC

yD

Định lý 1.5. ( Định lý tách 1)  
Cho C và D là hai tập lồi, khác rỗng trong H sao cho C  D  . Khi đó,
có một siêu phẳng tách C và D.
Định lý 1.6. ( Định lý tách 2)  
Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho C  D  . Giả sử có ít
nhất một tập là tập compắc. Khi đó, hai tập này có thể tách mạnh được bởi
một siêu phẳng.

Footer Page 19 of 258.


f   x  1    y    f  x   1    f  y    1     x  y .    
Định nghĩa 1.17. Hàm  f  là hàm lõm trên  C  nếu  f  lồi trên  C.  
Định nghĩa 1.18. Một hàm  f  được gọi là chính thường trên nếu  domf    
và  f  x     với mọi  x.  
Định nghĩa 1.19. Hàm  f được gọi là đóng, nếu  epif  là  một tập đóng trong 

H.  

Footer Page 20 of 258.


 
Header Page 21 of 258.

21

Ví dụ 1.7.
1) Hàm mặt cầu 





Cho mặt cầu  S : x  H x  1  và một hàm bất kỳ  h : S     . Khi đó 
hàm 

 0
khi


i. nửa liên tục dưới đối với  E  tại điểm x khi  

 

                                   lim inf x k  f  x  .   
ii. nửa liên tục trên nếu  f  nửa liên tục dưới đối với  E  tại  x.  

Footer Page 21 of 258.


 
Header Page 22 of 258.

22

iii. liên tục nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới đối với  E  tại  x.  
Mệnh đề 1.4. Với mọi hàm f : H     các điều sau là tương
đương:
i. Trên đồ thị của f là một tập đóng trên H , nói cách khác f  f .
ii. Với mọi số thực  , tập mức dưới





L f   : x f  x     
là một tập đóng.
iii. f nửa liên tục dưới trên H .
Mệnh đề 1.5. Đối với một hàm lồi chính thường trên H và



23



  x  C  được gọi là cực tiểu địa phương của  f  trên  C  nếu tồn tại một lân 
cận  U  của  x   sao cho  

 

                                         f x   f  x   với  x  U  C.  

 

Nếu                                   f  x   f x   với  x  C   
thì  x   được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của  f  trên  C.  
Mệnh đề 1.8.  Cho f : H     lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu địa
phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa,. tập hợp các 
điểm cực tiểu của  f  là một tập lồi. Nếu  f  lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn 
tại sẽ duy nhất.
Định nghĩa 1.22. Cho hàm  f  xác định trên một lân cận của  x  H,  hàm  f  
được gọi là khả vi tại  x  nếu tồn tại  x  H  
                        lim

f  z   f  x   x* , z  x

z x

zx



C.


                                         C  x   
Với  x 0  C  thì                             

   x ,x  x

                                 C x 0 



0



 C  x  , x .   

Với  x 0  C  thì  

   x ,x  x

                                C x 0 



0





f
x


f
x




i 
i

 , x.
i1
 i1


Footer Page 24 of 258.


 
Header Page 25 of 258.

25

1.2.2 Toán tử đơn điệu
1.2.2.1 Ánh xạ đa trị