Header Page 1 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN ANH VĂN

TÍNH DƯỚI KHẢ VI CỦA HÀM LỒI
SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - 2016
Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,
lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường


Header Page 4 of 258.

Mục lục

Lời cám ơn

i

Lời cam đoan

ii

Bảng ký hiệu

v

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3


Hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3

2 Tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng

26

2.1

Tính dưới khả vi của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng . . . . . . . . . .

32

2.2.1

32

Tính dưới khả vi của hàm tựa lồi . . . . . . . . .
iii


Tài liệu tham khảo

52

iv

Footer Page 5 of 258.


Header Page 6 of 258.

BẢNG KÝ HIỆU

R

Tập số thực

Rn

Không gian Euclide n chiều trên trường số thực

R = R ∪ {−∞, +∞}

Tập số thực suy rộng

f :X→R

Ánh xạ đi từ X vào R

E

Trên đồ thị của hàm f

∂f (x)

Dưới khả vi của f tại x

X

Bao đóng của X

coX

Bao lồi của X

KX

Nón lồi sinh bởi X

∇f (x)

Vectơ gradient của f tại x

Hàm bao đóng của f

Kết thúc chứng minh.

Footer Page 6 of 258.


Header Page 7 of 258.


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Một số tính chất của hàm lồi suy rộng trong không gian Banach.
- Tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng.
- Một số bài toán ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài
theo phương pháp của Giải tích.

6. Đóng góp mới của luận văn
Đề tài góp phần làm rõ và chi tiết về những tính chất của hàm lồi
suy rộng và ứng dụng trong một số bài toán cụ thể.

2

Footer Page 8 of 258.


Header Page 9 of 258.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản liên
quan đến không gian Banach, tập lồi, hàm lồi, hàm lồi suy rộng trong
không gian Banach. Đây là những kiến thức cơ bản làm nền tảng cho
việc nghiên cứu tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng và ứng dụng.
Nội dung của chương này được tham khảo dựa trên các tài liệu [1], [3],
[4], [5], [6], [8], [10].


Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ E. Một không
gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi
là một không gian định chuẩn.
Mệnh đề 1.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ E
đặt,
ρ(x, y) = x − y .
Khi đó, ρ là một metric trên E.
Định nghĩa 1.2. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn . .
Nếu E với khoảng cách sinh bởi chuẩn của E : ρ(x, y) = x − y , là một
không gian metric đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.
Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không
gian Banach được kí hiệu là E. Chuẩn trong các không gian Banach luôn
được kí hiệu bởi . .
Định nghĩa 1.3. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn . .
Ta gọi mỗi ánh xạ tuyến tính x∗ : E → R là một phiếm hàm tuyến tính
xác định trên E.
Nếu x∗ ∈ E và x ∈ E thì giá trị của x∗ tại x sẽ được kí hiệu là
x∗ , x nghĩa là x∗ , x = x∗ (x).
Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E với phép
cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập
thành một không gian tuyến tính thực. Ta gọi không gian này là không
gian liên hợp của E và được kí hiệu là E ∗ . Không gian liên hợp của E ∗
gọi là không gian liên hợp thứ hai của E và kí hiệu là E ∗∗ .
Định lí 1.1. Không gian liên hợp E ∗ của E với chuẩn xác định bởi
x∗ = sup { x∗ , y : y ∈ E, y = 0}
4

Footer Page 10 of 258.


1.2.1

Tập lồi
Giả sử E là một không gian Banach, R là tập số thực.

Định nghĩa 1.7. Tập X ⊂ E được gọi là tập lồi, nếu
∀x, y ∈ X thì λx + (1 − λ)y ∈ X với ∀λ ∈ [0, 1]
Ví dụ 1.2.1. Cả không gian E là tập lồi. Tập X = ∅ là tập lồi.
5

Footer Page 11 of 258.


Header Page 12 of 258.

Mệnh đề 1.2. Giả Xα ⊂ E (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số
bất kì. Khi đó X =

Xα cũng lồi.
α∈I

Mệnh đề 1.3. Tập Xi ⊂ E lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , ..., m). Khi đó
λ1 X1 + ... + λm Xm cũng lồi.
Mệnh đề 1.4. Giả sử Ei là không gian Banach, tập Xi ⊂ Ei lồi
(i = 1, 2, , ..., m). Khi đó tích Đề các X1 × ... × Xm là tập lồi trong
E1 × ... × Em .
Mệnh đề 1.5. Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach, T : E1 → E2
là toán tử tuyến tính. Khi đó,
1) X ⊂ E1 lồi thì T (X) lồi;
2) Y ⊂ E2 lồi thì nghịch ảnh T −1 (Y ) của Y là tập lồi.


Mệnh đề 1.6. ([3], tr7) Giả sử X ⊂ E lồi. Khi đó,
1) Phần trong intX và bao đóng X của X là các tập lồi;
2) Nếu x ∈ intX, y ∈ X, thì
{x, y} = {λx + (1 − λ)y : 0 < λ ≤ 1} ⊂ intX.
Định nghĩa 1.10. Tập K ⊂ E được gọi là nón có đỉnh 0, nếu
∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K.
K được gọi là nón đỉnh x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh 0.
Định nghĩa 1.11. Nón K có đỉnh 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một
tập lồi, vậy
∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ K.
Mệnh đề 1.7. Giả sử Kα (α ∈ I) là các nón lồi có đỉnh x0 với I là tập
Kα là nón lồi có đỉnh x0 .

chỉ số bất kì. Khi đó
α∈I

Định lí 1.4. Tập K ⊂ E là một nón lồi có đỉnh 0 khi và chỉ khi
∀x, y ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ x + y ∈ K, λx ∈ K.
Hệ quả 1.2. Tập K ⊂ E là nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất cả các tổ
hợp tuyến tính dương của các phần tử của K, tức là nếu
m

x1 , ..., xm ∈ K, λ1 , ..., λm > 0 thì

λi xi ∈ K.
i=1

Hệ quả 1.3. Giả sử X là tập bất kì trong E, K là tập tất cả các tổ hợp
tuyến tính dương của X. Khi đó X là nón lồi nhỏ nhất chứa X.

sao cho H = {x ∈ E : x∗ , x = α}. Khi đó ta nói H xác định bởi x∗ và
α, và viết là H(x∗ , α).
Định nghĩa 1.16. Cho các tập hợp X, Y ⊂ E. Ta nói phiếm hàm tuyến
tính liên tục x∗ = 0 tách X và Y , nếu tồn tại số α sao cho
x∗ , y ≤ α ≤ x∗ , x
Nếu như có x∗ , y < α < x∗ , x

(∀x ∈ X, ∀y ∈ Y ),

(∀x ∈ X, ∀y ∈ Y ), thì ta nói x∗ tách

ngặt X và Y .
8

Footer Page 14 of 258.


Header Page 15 of 258.

Khi đó siêu phẳng H(x∗ , α) = {x ∈ E : x∗ , x = α} được gọi là
siêu phẳng tách X và Y , các tập X và Y được gọi là tách được.
Định lí 1.7. (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách, xem [1])
Cho X và Y là hai tập lồi trong không gian Banach E, có tính chất
X ∩ Y = ∅ và intX = ∅. Khi đó, X và Y có thể tách được bằng một
phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức
∃x∗ ∈ E ∗ \ {0} , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y : x∗ , x ≥ x∗ , y .
Định nghĩa 1.17. Giao của tất cả các tập affine của tập X ⊂ E được
gọi là bao affinc (affine hull) của X ký hiệu là affX.
Định nghĩa 1.18. Điểm x ∈ E được gọi là tổ hợp affine của các điểm
m

1.2.2

Hàm lồi
Cho E là không gian Banach, X ⊂ E, f : X → R.

Định nghĩa 1.22. Cho hàm f : X → R, X ⊂ E, R = R ∪ {−∞, +∞},
các tập dom f = {x ∈ X |f (x) < +∞} , epi f = {(x, α) ∈ X × R |f (x) ≤ α},
α ∈ R, lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và epi đồ thị của f.
Định nghĩa 1.23. Hàm f được gọi là lồi trên X nếu epif là tập lồi trong
không gian E × R.
Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f = ∅ và −∞ < f (x) với
mọi x ∈ X.
Hàm f được gọi là lõm trên X nếu −f là hàm lồi trên X .
Định nghĩa 1.24. Giả sử X là tập lồi trong không gian E, hàm
f : X → (−∞, +∞]. Khi đó, f là tập lồi trên X khi và chỉ khi
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ X).
Ví dụ 1.2.3. Hàm chỉ.
Cho C = ∅ là một tập lồi trong E. Đặt

δC (x) :=

0

khi x ∈ C

+∞ khi x ∈
/ C.

Khi đó δC là hàm chỉ của C .
Ví dụ 1.2.4. Hàm tựa.

Cho f : E → (−∞, +∞]. Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi
m

∀λi ≥ 0, (i = 1, ..., m),

λi = 1; ∀x1 , ..., xm ∈ E,
i=1

f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ).
Mệnh đề 1.8. Giả sử f : E → (−∞, +∞). Khi đó, f là hàm lồi khi và
chỉ khi
f (λx + (1 − λ)y) < λr + (1 − λ)s
(∀λ ∈ (0, 1), ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s)
11

Footer Page 17 of 258.


Header Page 18 of 258.

Định lí 1.10. Giả sử f là hàm lồi trên E, µ ∈ [−∞, +∞]. Khi đó, các
tập mức {x : f (x) < µ} và {x : f (x) ≤ µ} lồi.
Hệ quả 1.4. Giả sử fα là hàm lồi trên E, λα ∈ R, (∀α ∈ I), I là tập
chỉ số bất kì. Khi đó, tập X = {x ∈ E : fα (x) ≤ λα , ∀α ∈ I} lồi.
Định nghĩa 1.25. Hàm f xác định trên E được gọi là hàm thuần nhất
dương, nếu ∀x ∈ E, ∀λ ∈ (0, +∞), f (λx) = λf (x).
Định lí 1.11. Hàm thuần nhất dương f : E → (−∞, +∞]. Ba phát biểu
sau đây là tương đương
a) f lồi
b) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) (∀x, y ∈ E)

∀x, y ∈ X, f (x) ≤ f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y), ∀λ ∈ [0, 1] .
Nhận xét 1.1. Mọi hàm lồi f : X → R đều là hàm tựa lồi. Thật vậy,
giả sử f lồi. Khi đó
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)y
≤ max {f (x), f (y)} , ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Ví dụ sau đây, chứng tỏ điều ngược lại trong nhận xét nêu không
đúng.
Ví dụ 1.3.1. Lấy X = (x, y) ∈ R2 |x, y ≥ 0 , f : X → R;
f (x, y) = −xy.
Định lí 1.13. Cho X ⊂ E là một tập lồi và f : X → R. Khi đó, các
điều kiện sau đây là tương đương;
a) f là hàm tựa lồi trên X, nghĩa là
f (λx + (1 − λ)y) ≤ max {f (x), f (y)} , ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] .
b)Với ∀x ∈ X và với mọi y ∈ E hàm số gx,y (t) = f (x + ty) là tựa
lồi trên đoạn Tx,y = {t ∈ R|x + ty ∈ X} }.
13

Footer Page 19 of 258.


Header Page 20 of 258.

c) Với ∀x, y ∈ X hàm hx,y (λ) = f (λx + (1 − λ)y) là tựa lồi [0, 1].
d) Với mọi α ∈ R tập mức dưới
L(f, α) = {x ∈ X|f (x) ≤ α}
là lồi (có thể rỗng).
e) Với mọi α ∈ R, tập mức dưới chặt
SL(f, α) = {x ∈ X|f (x) < α}
là tập lồi.
Chứng minh. a) ⇒ b): Dễ dàng kiểm tra được rằng, Tx,y là tập lồi. Lấy

Do đó f (λx + (1 − λ)y ≤ α0 < α, nghĩa là λx + (1 − λ)y ∈ SL(f, α).
e) ⇒ d): Lấy tùy ý x, y ∈ L(f, α), λ ∈ [0, 1]. Khi đó,
x, y ∈ SL(f, α + ε) với mọi ε > 0
và λx+(1−λ)y ∈ SL(f, α+ε) với mọi ε > 0. Do đó f (λx+(1−λ)y < α+ε
với mọi ε > 0, nghĩa là f (λx + (1 − λ)y ≤ α.
Định lí 1.14. Cho X ⊂ E là một tập lồi mở, f : X → R là một hàm
khả vi trên X. Khi đó, f tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) ≤ f (y) ⇒ (x − y) , ∇f (y) ≤ 0.
Chứng minh. Giả sử f tựa lồi và f (x) ≤ f (y). Khi đó,
f (y + λ(x − y)) = f (λx + (1 − λ)y ≤ f (y) ∀λ ∈ [0, 1]
và như vậy,
lim
λ↓0

f (y + λ(x − y)) − f (y)
= (x − y) , ∇f (y) ≤ 0.
λ

Ngược lại, giả sử điều kiện nêu trong định lý thỏa mãn và f (x) ≤ f (y).
¯ ∈ (0, 1) và f (λx
¯ + (1 − λ)y)
¯
Ta giả sử phản chứng là λ
> f (y). Điều này
nghĩa là với hàm
hx,y = f (y + λ(x − y)).
15

Footer Page 21 of 258.


(1 − λ0 ) (x − y) , ∇f (x0 ) ≤ 0,
hay h x,y (λ0 ) ≤ 0, mâu thuẫn với h x,y (λ0 ) > 0 ở trên.
Định lí 1.15. a) Cho f : X → R là một hàm liên tục trên tập lồi
X ⊂ E. Khi đó f tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) < f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y), ∀λ [0, 1] .
b) Cho f : X → R là một hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ E. Khi đó f
tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) < f (y) ⇒ (x − y), ∇f (y) ≤ 0.
16

Footer Page 22 of 258.


Header Page 23 of 258.

Chứng minh. Dễ thấy a) và b) là những điều kiện cần cho tính tựa lồi,
hơn nữa, dưới điều kiện khả vi a) và b) là tương đương. Bây giờ ta chứng
minh a) là một điều kiện đủ cho tính tựa lồi của f , nghĩa là "sự kéo theo"
trong a) vẫn đúng cả trong trường hợp f (x) = f (y). Giả sử rằng tồn tại
¯ ∈ (0, 1) với (λx
¯ + (1 − λ)y)
¯
λ
> f (x) = f (y).
¯
¯
Do f liên tục, tồn tại z = λ0 x+(1−λ0 )y trong đoạn nối x và λx+(1−
λ)y,
¯ 1), sao cho
nghĩa là λ0 ∈ (λ,


y, ∇f (x) = 0 ⇒ y, ∇2 f (x)y ≥ 0.

Chứng minh. Giả sử f tựa lồi và tồn tại x0 ∈ X, y0 ∈ E với ∇f (x0 ) = 0
và y0 , ∇2 f (x0 )y0 < 0. Không giảm tổng quát, ta có thể xem y = 1.
Do các thành phần của Hessian đều liên tục, tồn tại hình cầu mở B(x0 , δ)
sao cho y0 , ∇2 f (x0 )y0 < 0 với mọi x ∈ B(x0 , δ). Nói riêng ra,
y0 , ∇2 f (x0 ± λy0 )y0 < 0
với mọi λ ∈ [0, δ]. Sử dụng công thức khai triển Taylor, ta chọn được
f (x0 + δy0 ) − f (x0 ) =

1
y0 , ∇2 f (x0 + µδy0 )y0 < 0
2

f (x0 − δy0 ) − f (x0 ) =

1
y0 , ∇2 f (x0 − νδy0 )y0 < 0,
2

và

17

Footer Page 23 of 258.


Header Page 24 of 258.


 1, nếu 1 ≤ x ≤ 2

3, nếu 2 < x ≤ 3


 2, nếu 3 < x ≤ 4 .
18

Footer Page 24 of 258.


Header Page 25 of 258.

Ta có Y (f, α) = ∅ với α = 1, 2, 3 và Y (f, 1) = [1, 2] , Y (f, 2) = (3, 4],
Y (f, 3) = (2, 3]. Như vậy, Y (f, α) lồi với mọi α ∈ R, nhưng f không tựa
lồi và do đó f không tựa tuyến tính. Lưu ý rằng f không liên tục.
Định lí 1.17. Nếu các tập mức Y (f, α) = {x ∈ X|f (x) = α} lồi với mọi
α ∈ R và f liên tục trên tập lồi X ⊂ E thì f tựa tuyến tính trên X.
Chứng minh. Ta chỉ ra f tựa lồi. Cho f (x) ≤ f (y) và giả sử phản chứng
¯ ∈ (0, 1) sao cho
rằng tồn tại λ
¯ + (1 − λ)y)
¯
f (λ
> f (y).
Vì f liên tục nên ta có thể tìm được x0 = λ0 x + (1 − λ0 )y nằm giữa x
¯ + (1 − λ)y,
¯
¯ 1] sao cho
và λ

Khi f khả vi, ta có
Định lí 1.18. Cho f khả vi trên tập lồi mở X ⊂ E. Khi đó, f tựa lồi
chặt trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) = f (y) ⇒ (x − y), ∇f (y) = 0.
19

Footer Page 25 of 258.