Header Page 1 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Hường

Footer Page 3 of 258.


Header Page 4 of 258.
ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh, luận văn
chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải gần đúng
phương trình tích phân tuyến tính Volterra ” được hoàn thành bởi sự nhận thức
và tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Hường

Footer Page 4 of 258.


Header Page 5 of 258.
iii

Mục lục
Lời cảm ơn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5

Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.6

Khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Header Page 6 of 258.
iv

3

2.2.1

Phương pháp phân tích Adomian . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2

Phương pháp biến đổi phân tích . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3

Hiện tượng số hạng nhiễu âm . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.5

Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.6

Phương pháp chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 42

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

Rn
M = (X, d)
L
x∈M
x∈
/M
∀x ∈ M
∃x

Footer Page 7 of 258.

Không gian các hàm liên tục
Không gian các hàm khả vi liên tục
Không gian Euclid n chiều
Không gian metric
Biến đổi Laplace
x thuộc tập M
x không thuộc tập M
Với mọi x thuộc tập M
Tồn tại x


Header Page 8 of 258.
2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều
tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp phương trình tích phân đóng vai trò
quan trọng.

phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết
phương trình tích phân .
Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương trình tích
phân tuyến tính Volterra.

Footer Page 9 of 258.


Header Page 10 of 258.
4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số kiến thức về giải tích hàm
Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập tùy ý. Một metric trong X là một ánh xạ

d:X ×X →R
thỏa mãn các điều kiện sau đây
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X ;
ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
iii)d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;


Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X .
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ và f :

X → X là một ánh xạ của X vào chính nó thỏa mãn điều kiện
d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y),
với hằng số α < 1 và ∀x, y ∈ X . Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X
sao cho f (x∗ ) = x∗ . Hơn nữa, x0 ∈ X , dãy xn , n ∈ N xác định bởi xk+1 =

f (xk ), ∀k ∈ N hội tụ đến x∗ đồng thời ta có ước lượng
αn
d(x1 , x0 ), ∀n ∈ N.
d(xn , x ) ≤
1−α
∗

(1.1)

Chứng minh. Dễ thấy

d(xk+1 , xk ) = d(f (xk ), f (xk−1 )) ≤ αd(xk , xk−1 ) ≤ ... ≤ αk d(x1 , x0 ), ∀k ∈ N.
Từ đó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N ta có

d(xn+p , xn ) ≤ d(xn+p , xn+p−1 ) + ... + d(xn+1 , xn )
≤ (αn+p−1 + ... + αn )d(x1 , x0 ),

Footer Page 11 of 258.


Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.1.5. Một chuẩn, kí hiêu

· trong X là một ánh xạ từ X vào R

thỏa mãn các điều kiện:
i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X ;
ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
iii) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X ;
iv) x + y ≤ x + y với mọi y ∈ X .
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.6. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong
không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P là
thực hoặc phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X đặt

d(x, y) = x − y .
Footer Page 12 of 258.


Header Page 13 of 258.
7

Khi đó d là một metric trên X .
Định nghĩa 1.1.7. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0. Khi đó ta kí hiệu
n→∞

lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞



Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tuyến tính X trên trường số P (P =
R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ

Footer Page 13 of 258.


Header Page 14 of 258.
8

X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên đề:
(i) (y, x) = (x, y), với mọi x, y ∈ X ;(x, y) là số phức liên hợp của (x, y)
(ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), với mọi x, y, z ∈ X ;
(iii) (αx, y) = α(x, y) với mọi số α ∈ P và mọi x, y ∈ X ;
(iv) (x, x) > 0 nếu x = θ, (θ là kí hiệu phần tử không);
(v) (x, x) = 0 nếu x = θ;
Các phần tử x, y, z, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y) gọi là tích
vô hướng của x và y . Các tiên đề i, ii, iii, iv, v gọi là các tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.13. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích
vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.3. Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi x ∈ X , ta đặt

(x, x). Khi đó ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz)

x =

|(x, y)| ≤ x . y , ∀x, y ∈ X.
Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian tiền Hilbert
đều là không gian định chuẩn với chuẩn x =


(αA)(x) = α(Ax), ∀x ∈ X.
Dễ dàng kiểm tra A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) là hai phép toán thỏa mãn
tiên đề tuyến tính. Do vậy L(X, Y ) cùng với hai phép toán trên là một không
gian vectơ trên trường P .
Với toán tử bất kỳ A ∈ L(X, Y )
Ta đặt

A = sup Ax

(1.3)

x =1

Dễ thấy công thức (1.3) thỏa mãn tiên đề chuẩn. Như vậy L(X, Y ) là một không
gian định chuẩn. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn L(X, Y ) gọi là hội tụ
đều của dãy toán tử bị chặn.
Dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A ∈ L(X, Y )
nếu với mỗi x ∈ X, lim An x − Ax = 0 trong không gian Y .
n→∞

Một dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) hội tụ đều tới toán tử A ∈ L(X, Y ) thì dãy

(An ) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y .
Định lý 1.1.4. Nếu Y là không gian Banach thì L(X, Y ) cũng là không gian
Banach.
Chứng minh. Lấy một dãy cơ bản bất kỳ (An ) ⊂ L(X, Y ). Theo định nghĩa

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗ )(∀n, m ≥ n0 ) An − Am < ε.

(1.4)


An − A ≤ ε, ∀n ≥ n0 .
Từ đó suy ra A = An1 − (An1 − A) ∈ L(X, Y ) với n1 > n0 và An − A → 0
khi n → ∞.
Vì vậy dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gian

L(X, Y ). Vậy L(X, Y ) là không gian Banach.
Bây giờ ta giả sử X = Y , nghĩa là ta xét không gian L(X, X) các toán tử
tuyến tính liên tục trong X . Khi ấy ta có thể định nghĩa phép nhân hai toán tử
như sau
Tích của hai toán tử A, B trong X là toán tử AB trong X sao cho

(AB)x = A(Bx), ∀x ∈ X.
Dễ thấy AB cũng là toán tử tuyến tính.
Mặt khác, ta có

(AB)x = A(Bx) ≤ A . Bx ≤ A . B . x ,

Footer Page 16 of 258.


Header Page 17 of 258.
11

suy ra AB cũng bị chặn (tức là liên tục) và

AB ≤ A . B .
Như vậy trong không gian L(X, X) có xác định phép cộng và phép nhân hai
phần tử. Dễ kiểm tra lại rằng phép cộng và phép nhân này thỏa mãn các tiên đề
của một vành.


x

1

|xi | , x

=
i=1

Footer Page 17 of 258.

n
2

x2i , x

=
i=1

∞

= max |xi |.
i=1,n


Header Page 18 of 258.
12

Rn là không gian định chuẩn đủ (không gian Banach).

C[a,b] = {x(t) xác định, liên tục ∀t ∈ [a, b]} , −∞ < a < b < +∞.
Không gian C[a,b] là không gian metric

∀x, y ∈ C[a,b] , d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
a≤t≤b

Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn

x = max |x(t)|.
a≤t≤b

Không gian C[a,b] là không gian Banach.
Không gian C[a,b] là không gian tách được (hay không gian khả ly).
Thật vậy tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] .
n
Không gian C[a,b]

n
Không gian C[a,b]
gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên đoạn [a, b] và có đạo

hàm liên tuc đến cấp n, với chuẩn được xác định bởi

x = max {|x(t)|, |x (t)|, ..., |xn (t)|} .
a≤t≤b

Footer Page 18 of 258.


Header Page 19 of 258.

c ở khoảng giữa x0 và x : c = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1.
Công thức này gọi là công thức Taylor cấp n, số hạng cuối cùng được gọi là số
hạng dư của nó. Ta nói f (x) khai triển được theo công thức Taylor.

Footer Page 19 of 258.


Header Page 20 of 258.
14

Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA
2.1

Phương trình tích phân Volterra

2.1.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một

Dạng tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một
được cho bởi

x

f (x) =

K(x, t)u(t)dt,


Footer Page 20 of 258.


Header Page 21 of 258.
15

2.1.3

Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương
trình tích phân Volterra loại hai

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp biến đổi phương
trình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai.
Ta giả thiết K(x, x) = 0. Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình tích phân
Volterra loại một

x

f (x) =

K(x, t)u(t)dt,

(2.3)

0

đối với x, và dùng quy tắc Leibnitz, ta tìm được
x

f (x) = K(x, x)u(x) +

Đặt

g(x) =
và

1
K (x, t).
K(x, x) x
Khi đó ta có phương trình tích phân Volterra loại 2
G(x, t) = −

(2.7)

x

u(x) = g(x) +

G(x, t)u(t)dt
0

Khi đã biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình
tích phân Volterra loại hai. Ta có thể áp dụng các phương pháp giải phương
trình tích phân Volterra loại hai. Nghiệm thu được chính là nhiệm của phương
trình tích phân Volterra loại một.
Ví dụ 2.1. Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình

Footer Page 21 of 258.


Header Page 22 of 258.

Ví dụ 2.2. Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương
trình tích phân Volterra loại hai
x

4 + x − 4ex + 3xex =

(x − t + 2)u(t)dt.

(2.9)

0

Lấy đạo hàm cả hai vế của (2.9) và dùng quy tắc Leibnitz ta thu được
x
x

x

1 − e + 3xe = 2u(x) +

u(t)dt,
0

Từ đó ta có phương trình tích phân Volterra loại hai

1
1 1
u(x) = (3x − 1)ex + −
2
2 2

(2.10)

0

Lấy đạo hàm hai vế của (2.10) và dùng quy tắc Leibnitz ta được
x

cosh(x − t)u(t)dt,

x sin x = 2
0

phương trình trên vẫn là phương trình tích phân Volterra loại một. Tuy nhiên vì

Kx (x, x) = 0, nên ta lấy đạo hàm thêm một lần nữa để thu được phương trình
tích phân Volterra loại 1

x
1
u(x) = sin x + cos x −
2
2

x

sinh(x − t)u(t)dt.
0

Khi đã biến đổi phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một thành
phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, thì ta có thể áp dụng các

trình bất kỳ thành tổng vô hạn của các số hạng được xác định bởi chuỗi
∞

u(x) =

un (x),

(2.11)

n=0

hay tương đương

u(x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + ...,

(2.12)

trong đó các hàm un (x), n ≥ 0 được xác định bằng phương pháp truy hồi.
Để thiết lập quan hệ truy hồi, ta thế (2.11) vào phương trình tích phân Volterra
(2.2) ta thu được
∞

∞

x

K(x, t)

un (x) = f (x) + λ


tương đương với
x

u0 (x) = f (x),

u1 (x) = λ

K(x, t)u0 (t)dt,
0

Footer Page 24 of 258.

(2.14)


Header Page 25 of 258.
19
x

u2 (x) = λ

x

K(x, t)u1 (t)dt, u3 (x) = λ

K(x, t)u2 (t)dt,

0

(2.15)

2

un (x) = 6x − 3x +

un (t)dt,
0

n=0

n=0

hay tương đương
x

u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + ... = 6x − 3x2 +

[u0 (t) + u1 (t) + u2 (t) + ...]dt.
0

Ta đồng nhất thành phần thứ không bởi tất cả các số hạng mà không bao gồm
dưới dấu tích phân. Do đó ta thu được quan hệ truy hồi sau

u0 (x) = 6x − 3x2 ,
x

uk (t)dt, k ≥ 0,

uk+1 (x) =
0