Mục lục

Chương 1. Thông tin chung về đề tài

3

1.1. Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự
tham chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Chủ nhiệm đề tài: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Đơn vị chủ trì: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4. Thời gian thực hiện đã được phê duyệt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 2. Kết quả thực hiện đề tài

4

2.1. Kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4



1.1.

Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân
đạo hàm riêng tự tham chiếu

• Mã số đề tài: CS2012-11.
• Lĩnh vực: Toán học.

1.2.

Chủ nhiệm đề tài:

ThS. Nguyễn Thị Thanh Lan

1.3.

Đơn vị chủ trì:

Khoa Toán-Ứng Dụng - Trường Đại học Sài Gòn

1.4.

Thời gian thực hiện đã được phê duyệt:

12 tháng (03/2012 đến 03/2013)

3



Hướng nghiên cứu của đề tài là các bài toán liên quan đến mô hình toán học ứng dụng trong
di truyền học và có định hướng ứng dụng trong thực tiễn.

2.5.

Tình hình tổ chức thực hiện đề tài

Tác giả đã thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu theo tiến độ đề ra và hoàn thành đúng thời gian
qui định. Kết quả của đề tài đã được nhận đăng trên tạp chí quốc tế ISI. Các vấn đề nghiên
cứu đều là những vấn đề thời sự và thuộc hướng mới đang được nhiều nhà Toán học quan
tâm.

4


Chương 3
Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo
hàm riêng tự tham chiếu

Trong đề tài này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của bài toán

∂
1 t


u(x, s)ds + ϕ(u(x, t)), t , t ,
 u(x, t) = u f u(x, t) + v
∂t
t 0
(3.1)


1 s


+v
u(x, τ )dτ + ϕ(u(x, s)), s , s ds,

s 0
t



v g v(x, s)
v(x,
t)
=
v
(x)
+
0



0



1 s



ds,


Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 6
t

un+1 (x, t) = u0 (x) +

un f un (x, s)
0

1
s

+ vn

s

un (x, τ )dτ + ϕ un (x, s) , s , s ds,

(3.4)

0

t

vn g vn (x, s)

vn+1 (x, t) = v0 (x) +
0

|f (α1 ) − f (α2 )| ≤ P |α1 − α2 |, α1 , α2 ∈ R,



|g(β ) − g(β )| ≤ Q|β − β |, β , β ∈ R,
1
2
1
2
1
2
|ϕ(γ1 ) − ϕ(γ2 )| ≤ |γ1 − γ2 |, γ1 , γ2 ∈ R,



|ψ(η1 ) − ψ(η2 )| ≤ σ|η1 − η2 |, η1 , η2 ∈ R.
Với n = 1 ta có
|u1 (x, t) − u1 (y, t)| ≤ M1 (t)|x − y|,

(3.5)


Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 7
trong đó
M1 (t) = M0 + t(M02 P + M02 N0 + M02 N0 ),
và
|v1 (x, t) − v1 (y, t)| ≤ N1 (t)|x − y|,
trong đó
N1 (t) = N0 + t(N02 Q + M0 N02 + M0 N02 σ).
Bằng qui nạp ta thu được

(3.7)

trong đó
t

Nn2 (s)Q

Nn+1 (t) = N0 +
0

1 d
+ Mn (s)
2s ds

s

2

Nn (τ )dτ
0

+ Mn (s)Nn2 (s)σ ds.
Dễ thấy, Mn+1 (t) và Nn+1 (t) là các hàm không âm và liên tục trên R. Bằng cách chọn các
hằng số dương K0 , H0 và I0 thỏa các điều kiện sau
N0 + K0 ≤ H0 , M0 + K0 ≤ I0 , G0 = max{H0 , I0 },
khi đó tồn tại T1 > 0 sao cho
0 ≤ Mn+1 (t) ≤ M0 + K0 ≤ G0 ,
0 ≤ Nn+1 (t) ≤ N0 + K0 ≤ G0 ,

(3.8)

A1 (s) 1 + M0 P + M0 N0

+ M0 B1 (s)

0

+ M0 N0

s

1
s

A1 (τ )dτ ds := A2 (t),
0

và
t

|v2 (x, t) − v1 (x, t)| ≤

B1 (s) 1 + N0 Q + M0 N0 σ + N0 A1 (s)
0

+ M0 N0

s

1
s

(3.10)

trong đó
t

Bn+1 (t) =

Bn (s) 1 + Nn−1 (s)Q + Mn−1 (s)Nn−1 (s)σ
0

1
+ An (s)Nn−1 (s) + Mn−1 (s)Nn−1 (s)
s

s

Bn (τ )dτ ds.
0

Với h ∈ (0, 21 ), ta có thể chọn T2 > 0 sao cho các bất đẳng thức sau đúng với mọi t ∈ (0, T2 ]
1
+ G20 t ≤ h < ,
2
1
1 + G0 Q + G0 + G20 σ + G20 t ≤ h < ,
2

1 + G0 P + G0 + G20

(3.11)

liên tục Lipschitz lần lượt theo từng biến x ∈ R và t ∈ (0, T ].
Ta có định lí sau
Định lí. Giả sử các hàm f, g, ϕ, ψ, u0 và v0 thỏa các giả thiết (A1 ) − (A2 ). Khi đó, tồn tại
một giá trị dương T sao cho (3.3) có nghiệm duy nhất trên R × (0, T ], ký hiệu là u∞ , v∞ .
Hơn nữa, các hàm này cũng liên tục Lipschitz và bị chặn lần lượt theo từng biến x ∈ R và
t ∈ (0, T ].
Chứng minh.
Ta chọn T = min{T1 , T2 }. Sử dụng các bổ đề 3.1 và 3.2, các giới hạn u∞ (x, t), v∞ (x, t),
của các dãy hàm {un (x, t)}n≥1 , {vn (x, t)}n≥1 bị chặn trên R × (0, T∗ ], liên tục Lipschitz lần
lượt theo từng biến và thỏa bài toán (3.3).
Bây giờ, ta giả sử (u , v ) là một nghiệm khác của bài toán (3.3) trên R × (0, T∗ ] với các
dữ kiện cho trước như trên. Khi đó, ta chứng minh được
|u (x, t) − u∞ (x, t)| ≤ h max{ u − u∞
|v (x, t) − v∞ (x, t)| ≤ h max{ u − u∞

v − v∞
L∞ , v − v∞

L∞ ,

L∞ },
L∞ },

(3.12)

với mọi t ∈ (0, T0 ], x ∈ R.
Cuối cùng, ta được
max{ u − u∞

L∞ ,

Khi đó, ta thu được kết quả
u (x, t) = u0 (x), v (x, t) = et .

(3.14)

Thực tế, ta có thể chọn u0 (x) là hàm không âm và liên tục Lipschitz; v0 (x) là hàm hằng và
ngược lại thì ta cũng thu được kết quả tương tự.


Tài liệu tham khảo
[1] V. Volterra: Opere Matematiche: Memorie e note, Vol. V, 1926-1940, Accad. Naz. Lincei.
Roma (1962).
[2] E. Eder: The functional-differential equation x (t) = x(x(t)), J. Differ. Equ. 54, 390–400
(1984).
[3] J. G. Si, S. S. Cheng: Analytic solutions of a functional-differential equation with state
dependent argument, Taiwanese J. Math. 4, 471–480 (1997).
[4] X. P. Wang, J. G. Si: Smooth solutions of a nonhomogeneous iterative functional differential equation with variable coefficients, J. Math. Anal. Appl. 226, 377–392 (1998).
[5] X. Wang, J. G. Si, S. S. Cheng: Analytic solutions of a functional differential equation
with state derivative dependent delay, Aequationes Math. 1, 75–86 (1999).
[6] M. Miranda, E. Pascali: On a class of differential equations with self-reference, Rend.
Mat., serie VII, 25, Roma 155-164 (2005).
[7] M. Miranda, E. Pascali: On a type of evolution of self-referred and hereditary phenomena,
Aequationes Math. 71, 253–268 (2006).
[8] E. Pascali: Existence of solutions to a self-referred and hereditary system of differential
equations, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2006 No. 07, pp. 1–7 (2006).
[9] N. M. Tuan, N.T.T. Lan: On solutions of a system of hereditary and self-referred partialdifferential equations, Numer. Algorithms 55, no. 1, 101-Ờ113 (2010).
[10] P. K. Anh, N. T. T. Lan, N. M. Tuan: Solutions to systems of partial differential equations
with weighted self-reference and heredity Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2012(2012), No.
117, pp. 1-14. ISSN: 1072-6691.