THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai
Nguyễn Tất Thu 1
ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Định lí Viet đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau:
Nếu phương trình :
32
axbxcxd0,a0

có ba nghiệm
123
x,x,x
thì
123
122331
123
b
xxx
a
c
xxxxxx
a
d
xxx
a






.
Do đó, từ sự tồn tại nghiệm của phương trình (*) sẽ dẫn tới các bất đẳng thức ba biến
a,b,c
. Trong bài viết này sẽ giới thiệu với bạn đọc ứng dụng của việc làm đó.
Đặt:
m
xy
3

;
23
m2m9mn27p
n;
327


. Ta thu được phương trình
3
yy0

(**)
Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị
3
(C):f(y)yy

với trục hoành
Ta có:
2
f'(y)3y




Suy ra
   
323
2
12
4274
fy.fy
2727


.
Do đó, ta có:

Phương trình (**) có ba nghiệm (có thể trùng nhau) khi và chỉ khi:




32
12
fy.fy04270

.
Hay là:


3
32



THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai
Nguyễn Tất Thu 2
Suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương trình :
3
xmxn0

(4)
Ta có:
2332
427
pnnp
274

.
Do đó:
2
2322
271
13p2p22n13p2p2pp10
22







44

.
Đẳng thức xảy ra
n2
a,b,c
m3










là ba nghiệm của phương trình
32
x3x20(x1)(x2)0x1,x2


Vậy
1
maxP
4

đạt được khi
(a,b,c)(1,1,2)


.
Vì
222
abc0abc2(abbcca)2nn0

.
Do đó:
5252
P32n32np8p32(n)(n)p8p



3
3
64np8p854pp









.
Xét hàm số
3

82
P
27
 . Đẳng thức xảy ra khi
3
2
p
18
1
n
24

















hay
a,b,c









.
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai
Nguyễn Tất Thu 3
Vậy
82
minP
27

. Đạt được khi
3
3
12
ab,c
9
63
 và các hoán vị.
2) Cho
2
nkm

, khi đó (1) trở thành:
 

tmtntp0


Từ giả thiết ta suy ra:
   
2
2
m
abc4abbccan
4
 .
Suy ra
3
3
33
m
m
27p108pmm
44


332
p(54pm)0pm54p


Do đó:
322222
3
4444
1111










, chẳng hạn ta chọn
3
3
1
p
3
m183
972
n
4




































.
Vậy
minP27

đạt được khi
3


ta suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương
trình :
32
xmxnxp0

.
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai
Nguyễn Tất Thu 4
Từ giả thiết ta suy ra:


22
2
2m2n5nnm
9

Mặt khác:


3
32
27p2m9mn2m3n

nên suy ra
62
3262
3



(luôn đúng).
Đẳng thức xảy ra khi
2
p2
p2
m27m33
n6n6






















2
P18abbccaabbccaabc489abc
 .
Lời giải.
Đặt
m(abc), nabbcca, pabc


Từ giả thiết ta suy ra:




2
2
abc3abbcca4m3n4

.
Mặt khác :


3
32
27p2m9mn2m3n

Suy ra


27p2m3n49mn1827p3mn8m16








2
2abcabbccaabc9abc16




444
8m161
2mmn9p162m166m8m64
33

.
Xét hàm số
4
f(m)6m8m64

, ta có:
3
3
1
f'(m)24m8f'(m)0m









.
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai
Nguyễn Tất Thu 5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
3
3
1
m
3
11
n4
3
9
1447
p
99
3





















, suy ra
a,b,c
là nghiệm của phương
trình :
32
333
1111447
tt4t0
399
393





thoả
222
abcabbcca1

. Chứng minh rằng:


2
2
(abc)43abbcca18abc

.
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với


2
2
P(abc)3abbcca18abc4

(*)
Đặt
m(abc), nabbcca, pabc


Từ giả thiết ta suy ra:




2


.
Đẳng thức xảy ra khi


2
2
3
mm30
m1
n
3
1
pm3m2
27
































Hay
a,b,c
là ba nghiệm của phương trình
32
1135131113
ttt0
2654


.
Phương pháp này có thể nói là một phát biểu kiểu khác của p,r,q. Tuy nhiên, với việc đánh
giá bđt (1) cho phép ta chế các bài toán về cực trị và bđt ba biến với đẳng thức xảy ra khi
hai biến bằng nhau. Chuyên đề sẽ được tiếp tục hoàn thành với những kết quả có ứng
dụng trong chứng minh bđt. Rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đọc.

2
P2abcabbcca
 .
Bài 3. Cho
a,b,c,0

thỏa
abc1

. Tìm GTLN của


222
Pabcabc
 .
Bài 4. Cho các số thực
a,b,c
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
abc3

và
abc4


Chứng minh rằng:
3abc125(abbcca)

.
2
444222222222
abcabc2abbcca
 


2
22
162n2n162n64n288


Nên




4442
11
Pabcn32n144
256128


Vì hàm
2
f(n)n32n144

nghịch biến trên



.
Bài 2. Đặt
nabbcca,pabc

, ta có
a,b,c
là nghiệm của phương trình
32
ttntp0

.
Ta có:
3
27p9n22(13n)

Suy ra
 
3
1
p9n2213n
27








f'(t)tttt1
999

,
f'(t)0t1,t0

.
Từ đó suy ra
f(t)f(1)0P0

.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc1
t1n0a1,bc0
p0














và các hoán vị.