ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——–o0o——–

NGUYỄN MẠNH HÀ

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI
BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——–o0o——–

NGUYỄN MẠNH HÀ

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI
BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG



35


1

Bảng ký hiệu
R
N
N∗
H
X
∅
∀x
∃x
., .
x
xn → x
xn
x
I
∩
inf A
sup A
lim sup xn

tập số thực
tập hợp các số tự nhiên
tập hợp các số tự nhiên khác 0
không gian Hilbert

Lý thuyết điểm bất động đóng vai trò rất quan trọng trong Toán
học. Nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân,
lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết kinh tế... Nhiều nhà toán
học đã mở rộng những kết quả của bài toán điểm bất động của ánh xạ
trong không gian Hilbert và không gian Banach. Trong đó đề cập đến
sự tồn tại điểm bất động; phương pháp lặp xấp xỉ mềm, phương pháp
lai ghép tìm điểm bất động. Luận văn này nhấn mạnh đến cách kết
hợp giữa phương pháp xấp xỉ mềm và phương pháp lai ghép trong việc
giải bài toán điểm bất động của một ánh xạ không giãn và của một họ
các ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Luận văn được cấu
trúc như sau:
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản. Chương này trình bày các nội
dung sau: Khái niệm và một số đặc trưng của không gian Banach;
Khái niệm điểm bất động và một số phương pháp tìm điểm bất động
của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và không gian Banach
(Phương pháp lặp Mann, Phương pháp lặp Halpern, Phương pháp lặp
Ishikawa, Phương pháp xấp xỉ mềm, Phương pháp chiếu đường dốc).
Chương 2: Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bất
động. Chương này nêu Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán
điểm bất động nhiều cấp của một ánh xạ không giãn và của một họ
đếm được các ánh xạ không giãn.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS Nguyễn Bường.
Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy
đã dành thời gian và tâm huyết để hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác
giả trong suốt thời gian làm luận văn.
Thái nguyên, tháng 9 năm 2016
Học viên: Nguyễn Mạnh Hà



gian Banach. Nếu V là một không gian Banach và K là một trường
nền (số thực hoặc số phức) thì bản thân K là một không gian Banach
và ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu V ∗ như là L(V, K), không


4

gian của biến đổi tuyến tính liên tục vào K. Không gian này lại là
không gian Banach với chuẩn của toán tử.
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach. Gọi U = {x ∈ X :
x = 1}.
(i) X được gọi là lồi đều nếu với mỗi
với mọi x, y ∈ U
x − y ≥ thỏa mãn

∈ (0, 2], tồn tại δ > 0 sao cho
x+y
≤ 1 − δ.
2

(ii) X được gọi là trơn nếu giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

(1.1)

tồn tại với mọi x, y ∈ U.

(b) α-accretive mạnh nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≥ α x − y 2 ,

α ∈ (0, 1);

(c) Giả co nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≤ x − y 2 ;
(d) β-giả co mạnh nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≤ β x − y 2 ,

α ∈ (0, 1);

(e) λ-giả co chặt nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax−Ay, j(x−y) ≤ x−y 2 −λ x−y−(Ax−Ay) 2 ,

λ ∈ (0, 1);

(f) Dương mạnh nếu tồn tại hằng số γ¯ > 0 sao cho Ax, J(x) ≥
γ¯ x 2 , β ∈ (0, 1), aI − bA = sup | (aI − bA)x, Jx |, với mọi
x ≤1

a ∈ [0, 1], b ∈ [−1, 1], I là ánh xạ đồng nhất.
Mệnh đề 1.1.5 Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của một không
gian Banach trơn đều X. Cho T : C → C là ánh xạ giả co liên tục với
F ix(T ) = ∅ và f : C → C là ánh xạ giả co mạnh thỏa mãn điều kiện
Lipshitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1) và hằng số Lipshitzian L > 0.
ChoA : C → C là toán tử tuyến tính dương bị chặn với hằng số γ¯ > 0.
Giả sử rằng C ± C ⊂ C và 0 < β < γ¯ . Cho dãy {xt } được xác định
bởi xt = tf (xt ) + (I − tA)T xt . Khi đó nếu t → 0 thì {xt } hội tụ mạnh


từ C vào chính nó sao cho Ω = ∩∞
i=0 F ix(Ti ) = ∅.
Người ta đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép ẩn để giải bài
toán điểm bất động của một họ ánh xạ không giãn {Tn }:



x0 ∈ C
yn = αn f (yn ) + βn xn = (1 − βn )I − αn A Tn yn



xn+1 = γn f (yn ) + (I − γn F )Tn yn , ∀n ≥ 0,

trong đó f : C → C là ánh xạ co cố định và {αn }, {βn }, {γn } là ba
dãy trong (0, 1). Dãy {xn } hội tụ đến một điểm z ∈ Ω với z là nghiệm
duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân:
(A − f )z, J(z − p) ≤ 0,

∀p ∈ Ω.

Ngoài ra, người ta còn đề xuất một phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép


7

hiện để giải bài toán điểm bất động nhiều bậc của một họ ánh xạ
không giãn {Tn }:

x ∈ C

Khi đó lim sup sn = 0.
n→∞

Bổ đề 1.1.7 Cho dãy {an } ⊂ R sao cho an+1 ≤ (1 − γn )an + γn βn ,
∀n ≥ 0. Trong đó {γn } ⊂ (0, 1), {βn } ⊂ R thỏa mãn các điều kiện:
∞

γn = ∞;

(i)
n=0

(ii) lim supn→∞ βn ≤ 0.
Khi đó lim an = 0.
n→∞

Bổ đề 1.1.8 Cho X là không gian Banach trơn. Khi đó:
x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, J(x + y) ,

∀x, y ∈ X.

Gọi LIM là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và

Nhận xét 1.1.11 Nếu ánh xạ đối ngẫu J : x → {x∗ ∈ X ∗ : (x, x∗ ) =
x 2 = x∗ 2 } từ X và X ∗ là đơn trị và liên tục yếu thì X thỏa mãn
điều kiện Opial’s. Cả không gian Hilbert và không gian dãy lp với
1 < p < ∞ đều thỏa mãn điều kiện Opial’s.
Bổ đề 1.1.12 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Banach trơn thực X và F : C → X là ánh xạ.
(i) Nếu F : C → X là α-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với α+λ ≥ 1
thì I − F không giãn và F là liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz
với hằng số 1 + λ1 .
(ii) Nếu F : C → X α-accretive mạnh và λ-giả co chặt với α + λ > 1
1−α
thì ∃τ ∈ (0, 1), I − τ F là ánh xạ co với hệ số 1 − τ 1 −
.
λ
Chứng minh.


9

(i) Từ tính chất λ-giả co chặt của F , ta có ∀x, y ∈ C,
λ (I − F )x − (I − F )y

2

≤ (I − F )x − (I − F )y, J(x − y)
≤ (I − F )x − (I − F )y

Từ đó suy ra (I − F )x − (I − F )y ≤

x−y .

x−y .
λ

1−α
≤ 1, ta có I − F không giãn.
λ

(ii) Lấy điểm cố định τ ∈ (0, 1). Chú ý rằng ∀x, y ∈ C,
(I − τ F )x − (I − τ F )y
= (1 − τ )(x − y) + τ (I − F )x − (I − F )y
≤ (1 − τ ) x − y + τ (I − F )x − (I − F )y

≤ (1 − τ ) x − y + τ
=

Do α + λ > 1 ⇔

1−τ 1−

1−α
λ

1−α
λ

x−y

x−y .

1−α


Điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm
bất động

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert
H thực, T : C → C là một ánh xạ không giãn tức là T x − T y ≤
x − y , ∀x, y ∈ C. Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của
ánh xạ T nếu T x = x. Tập điểm bất động của T ký hiệu là F ix(T ).
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert được cho bởi định lý dưới đây.
Định lý 1.2.1 Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian
Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, T có ít
nhất một điểm bất động.
Dưới đây, chúng ta sẽ nhắc lại một số phương pháp cơ bản tìm điểm
bất động.
Bài toán: Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Hãy tìm
x∗ ∈ C : T (x∗ ) = x∗ .


11

Phương pháp lặp Mann:

x ∈ C
0
xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0

(1.2)


(1) lim αn = 0;
n→∞
∞

(2)

αn = +∞;
n=0
∞

|αn+1 − αn | < ∞.

(3)
n=0

Phương pháp lặp Ishikawa:



x0 ∈ C

yn = βn xn + (1 − βn )T xn



xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (yn ), n ≥ 0

(1.4)




1
λn
f (xn ) +
T xn , n ≥ 1
1 + λn
1 + λn

(1.6)

Trong đó, λn ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) lim λn = 0;
n→∞
∞

λn = ∞;

(2)
n=0
∞

1
= 0.
λn
n=0 λn+1
Khi đó dãy {xn } xác định bởi (1.6) hội tụ mạnh tới p∗ ∈ F ix(T ), ở đây
p∗ = PF (T ) f (p∗ ). Ngoài ra, nếu dãy {λn } thỏa mãn điều kiện (1) ở trên
thì dãy {xn } xác định bởi (1.5) hội tụ tới p∗ . Khi f (x) = u, ∀x ∈ C
thì phương pháp xấp xỉ gắn kết trên trở về phương pháp lặp Halpern B.
Phương pháp chiếu đường dốc:

Tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn

Định lý 2.1.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach trơn đều X thỏa mãn C ± C ⊂ C. Cho T : C → C là ánh xạ
không giãn với F ix(T ) = ∅ và F : C → C là α-accretive mạnh và λ-giả
co chặt với α + λ > 1. Cho f : C → C là ánh xạ giả co mạnh thỏa mãn
1−α
điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, r0 ), r0 = 1 −
λ
và hệ số Lipschitzian L > 0. Cho A : C → C là γ¯ -toán tử tuyến tính
dương mạnh bị chặn với γ¯ ∈ (1, 2).
Cho {xt } được xác định:
xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t(F (T xt ) − f (xt )) ,
2 − γ¯
và lim θt = 0 thì khi t → 0,
t→0
r0 − β
{xt } hội tụ mạnh đến một điểm z nào đó trong T , z là nghiệm duy
nhất trong F ix(T ) của bài toán bất đẳng thức biến phân dưới đây:
trong đó 0 < θt ≤ A

−1

, ∀t ∈

0,

(A − I)z, J(z − p) ≤ 0,

∀p ∈ F ix(T ).


2

≤[1 − θt (¯
γ − 1) + t(r0 − β)] x − y 2 .
2 − γ¯
thì St : C → C là ánh xạ liên tục và giả co mạnh
r0 − β
với hệ số giả co 1 − θt (¯
γ − 1 + t(r0 − β)) ∈ (0, 1).
Do đó, theo Bổ đề 1.1.13, tồn tại duy nhất một điểm trong C (ký
hiệu là xt ) là nghiệm duy nhất của phương trình:
Nếu t ∈

0,

xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t(F (T xt ) − f (xt )) .
Ta chứng minh tính duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân
(2.1).
Giả sử z1 , z2 ∈ F ix(T ) đều là nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân (2.1). Khi đó, ta có:
(A − I)z1 , J(z1 − z2 ) ≤ 0
và
(A − I)z2 , J(z2 − z1 ) ≤ 0
theo vế hai bài toán bất đẳng thức biến phân trên ta nhận được:
(A − I)z1 − (A − I)z2 , J(z1 − z2 ) ≤ 0.


15



= (I − θt A)T xt + θt T xt − t F (T xt ) − f (xt )

− p, J(xt − p)

= (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p, J(xt − p)
+ θt T xt − t F (T xt ) − f (xt ) − p, J(xt − p)
+ θt (I − A)p, J(xt − p)
= (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p, J(xt − p)
+ θt (I − tF )T xt − (I − tF )T p, J(xt − p)
+ t f (xt ) − f (p), J(xt − p) + f (p) − F (p), J(xt − p)
+ θt (I − A)p, J(xt − p)
≤ (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p
+ t β xt − p

2

+ θt I − A p

+ f (p) − F (p)

xt − p + θt (1 − tγ0 ) xt − p
xt − p

xt − p .

Từ đó ta có kết quả
xt − p ≤(1 − θt γ¯ ) xt − p + θt (1 − tγ0 ) xt − p
+ t β xt − p + f (p) − F (p)
Khi đó ta có

2

.

x∈C

Dễ dàng thấy rằng K là tập con lồi đóng khác rỗng của X. Chú ý rằng
xn − T xn = θn T xn − tn (F (T xn ) − f (xn )) − AT xn → 0 khi n → ∞.
Theo Bổ đề 1.1.14, ta biết rằng ánh xạ B = (2I −T )−1 là ánh xạ không
giãn và F ix(T ) = F ix(B), lim xn − Bxn = 0. Trong đó, I là toán
n→∞

tử đồng nhất. Từ đó ta có
µ(Bx) = LIM xn −Bx

2

= LIM Bxn −Bx

2

≤ LIM xn −x

2

= µ(x).

Suy ra B(K) ⊂ K; K là tập bất biến trên B. Từ tính trơn đều của
không gian Banach có tính chất điểm bất động cho ánh xạ không giãn,
B có điểm bất động z ∈ K. Từ z cũng là một cực tiểu hóa của µ trên


Từ X là không gian trơn đều, ta kết luận rằng ánh xạ đối ngẫu J là
chuẩn liên tục đều trên tập con bị chặn bất kỳ của X. Cho t → 0, ta
thấy rằng hai giới hạn có thể hoán đổi và chúng ta thu được
LIM (x − Az, J(xn − z)) ≤ 0,

∀x ∈ C.

(2.2)

Mặt khác ta có
xn − z =(I − θn A)T xn − (I − θn A)T z
+ θn T xn − tn F (T xn ) − f (xn ) − z + θn (I − A)z
=(I − θn A)(T xn − T z)
+ θn tn F (xn ) − f (z) + (I − tn F )T xn − (I − tn F )z
+ θn (I − A)z.
+ θn tn f (xn ) − F z, J(xn − z)
+ (I − tn F )T xn − (I − tn F )z, J(xn − z)
+ θn (I − A)z, J(xn − z)
≤(1 − θn γ¯ ) xn − z

2

+ θn (1 − tn γ0 ) xn − z

2

+ tn β xn − z

2

tn f (z) − F (z), J(xn − z)
γ¯ − 1 + t(γ0 − β)
+ (I − A)z, J(xn − z)

(2.3)

.

Từ (2.2) và (2.3), ta được
LIM xn − z

2

≤

1
LIM (I − A)z, J(xn − z) ≤ 0.
γ¯ − 1

Điều đó dẫn đến LIM xn − z 2 = 0. Khi đó tồn tại một dãy con {xn }
sao cho xn → z khi n → ∞.
Tiếp theo ta chứng tỏ rằng z là nghiệm của (2.1). Từ
xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t(F (T xt ) − f (xt )) ,
ta có: xt − T xt = θt (I − A)T xt + θt t f (xt ) − F (T xt )) . Từ T là không
giãn, I − T là accretive. Vì vậy, từ tính chất accretive tăng của I − T ,
có điều dưới đây với điểm cố định bất kỳ z ∈ F ix(T ),
0 ≤ (I − T )xt − (I − T )p, J(xt − p) = (I − T )xt , J(xt − p)
=θt (I − A)T xt , J(xt − p) + θt t f (xt ) − F (T xt ), J(xt − p)
=θt (I − A)xt , J(xt − p) + θt (I − A)(T − I)xt , J(xt − p)
+ θt t f (xt ) − F (T xt ), J(xt − p) .


Bổ đề 2.2.2 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach thực X với X có chuẩn khả vi Gateaux. Cho T : C → C là
ánh xạ giả co liên tục với F ix(T ) = ∅ và f : C → C là ánh xạ giả
co mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1)
và hằng số Lipschitzian L > 0. Cho A : C → C là γ −toán tử tuyến
tính dương mạnh bị chặn với hệ số γ . Giả sử rằng C ± C ⊂ C và
{xt } hội tụ mạnh đến z ∈ F ix(T ) khi t → 0, trong đó xt được định
nghĩa bởi xt = tf (xt ) + (I − tA)T xt . Giả sử rằng {xt } ⊂ C bị chặn và
lim xn − T xn = 0 thì lim sup (f − A)z, J(xn − z) ≤ 0.
n→∞

n→∞

Định lý 2.2.3 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach trơn đều X sao cho C ± C ⊂ C. Cho {Ti }∞
i=0 là một họ đếm
được các ánh xạ không giãn từ C vào C sao cho Ω = ∩∞
i=0 F ix(Ti ) = ∅.
Cho F : C → C là α−accretive mạnh và λ−giả co chặt với α+λ > 1 và
1−α
f : C → C là một ánh xạ co với hệ số co β ∈ (0, γ0 ), γ0 = 1 −
λ
và hằng số Lipschitzian L > 0. Cho A : C → C là γ˜ -toán tử tuyến tính
dương mạnh bị chặn với hệ số γ˜ ∈ (β, 1 + β). Với điểm tùy ý x0 ∈ C,
cho dãy {xn } lặp xác định bởi

y = α f (y ) + β x + (1 − β )I − α A T y
n
n


sup Tn+1 x − Tn x < ∞ với mọi tập con bị chặn D của

Giả sử rằng

n=0 x∈D

C. Cho T : C → C là ánh xạ được xác định bởi T x = lim Tn x, ∀x ∈ C
n→∞

và giả sử rằng F ix(T ) = ∩∞
i=0 F ix(Ti ) thì {xn } hội tụ mạnh đến điểm
z ∈ Ω sao cho z là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
(f − A)z, J(p − z) ≤ 0, ∀p ∈ Ω.
Chứng minh. Từ điều kiện (i), không mất tính tổng quát, chúng ta có
thể giả sử
αn ≤ (1 − βn ) A −1 .
Từ A là γ˜ −toán tử tuyến tính dương mạnh bị chặn trên C, từ định
nghĩa ánh xạ dương mạnh ta có
A = sup | Au, J(u)

: u ∈ C, u = 1 .

Chú ý rằng
(I−βn )I−αn A u, J(u) = 1−βn −αn Au, J(u) ≥ 1−βn −αn A ≥ 0.
Từ đó suy ra
(I − βn )I − αn A
= sup

(I − βn )I − αn A u, J(u) : u ∈ C, u = 1

một điểm bất động duy nhất yn , ∀n ≥ 0 sao cho
yn = αn f (yn ) + βn xn + (I − βn )I − αn A)Tn yn .
Vậy dãy {yn } được xác định. Tiếp theo chúng ta chứng tỏ dãy {xn } bị
chặn. Lấy điểm bất kỳ p ∈ Ω. Khi đó ta có
yn − p

2

=αn f (yn ) − Ap, J(yn − p) + βn xn − p, J(yn − p)
+

(1 − βn )I − αn A (Tn yn − p), J(yn − p)

≤αn f (yn ) − f (p), J(yn − p) + αn f (p) − Ap, J(yn − p)
+ βn xn − p
≤αn β yn − p

2

yn − p + (1 − βn − αn (˜
γ ) yn − p
+ (1 − βn − αn γ˜ ) yn − p

2

+ αn f (p) − Ap, J(yn − p) + βn xn − p
= 1 − βn − αn (˜
γ − β) yn − p
+ βn xn − p


= σn f (yn ) − f (p) + (I − σn F )Tn yn − I(I − σn F )Tn p
+ σn f (p) − F (p)
≤σn f (yn ) − f (p) + (I − σn F )Tn yn − I(I − σn F )Tn p
+ σn f (p) − F (p)
≤σn β yn − p + (1 − σn γ0 ) Tn yn − Tn p
+ σn f (p) − F (p)
≤σn β yn − p + (1 − σn γ0 ) yn − p + σn f (p) − F (p)


22

= 1 − σn (γ0 − β) yn − p + σn f (p) − F (p)
βn
≤ 1 − σn (γ0 − β)
xn − p
βn + αn (˜
γ − β)
αn (˜
γ − β)
f (p) − Ap
+
.
βn + αn (˜
γ − β)
γ˜ − β
+ σn f (p) − F (p)
≤ 1 − σn (γ0 − β) max

xn − p ,


f (p) − Ap
f (p) − Ap
,
γ˜ − β
γ0 − β

,

∀n ≥ 0.

Vì vậy {xn } bị chặn và các dãy {yn }, {Tn yn } cũng bị chặn.
Ta chú ý rằng
yn − Tn yn = αn f (yn ) − ATn yn + βn (xn − Tn yn )
≤ αn f (yn ) − ATn yn + βn xn − Tn yn .
Kết hợp với chú ý (i) ta có lim yn − Tn yn = 0.
n→∞

Mặt khác, ta có yn − T yn ≤ yn − Tn yn + Tn yn − T yn .
Sử dụng Bổ đề 2.2.1 ta thu được lim yn − T yn = 0.
n→∞

Cho xt = tf (xt ) + (1 − tA)T xt . Sử dụng Mệnh đề 1.1.5 và Bổ đề 2.2.1,
ta có dãy {xt } hội tụ mạnh đến z ∈ F ix(T ) = ∩∞
i=0 F ix(Ti ) = Ω và
lim sup (f − A)z, J(yn − z) ≤ 0.

(2.4)

n→∞