TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2x − 3
là:
x−7

Câu 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 7

C. x =

B. x = 14

C. x =

B. x = 14

C. x =

B. x = 14

Câu 4: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 7

B. y = 14

B. y = 3

B. y = 3

B. y = 25


x −3
C. y =

Câu 6: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 8

D. x = 3

2x − 3
là:
x−7
C. y =

Câu 5: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 8

3
2

8 x − 1999
là:
4x − 6

Câu 3: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 7

D. x = 3

8 x − 25
là:

là:
x−2
A. y = 2 x − 1

B. y = x − 2

C. y = 2 x + 1

D. y = − x + 2

Câu 10: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang:


A. y = x 3 + 25 x 2 + 8

B. y = x 4 − 8 x 2 + 99

C. y =

−3 x − 1
x2 − 2

D. y =

2x2 −1
x−2

Câu 11: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận xiên:
A. y = x 3 + 25 x 2 + 8


−3 x − 1
x2 − 8

D. y =

25x 2 − 1
x−2

x3 + 3x 2 − 1
là
x2 −1

C. 3

D. 4

1
là tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số nào ?
3

B. y = x + 25 x + 8
3

2

2x2 −1
C. y =
x−2

D. y =

D. y =

8 x − 25
1 − 3x

2x + 3
là:
x −1
D. y = 1, x =

1
2

x+2
có đồ thị (C) có hai điểm phân biệt M, N tổng khoảng cách
x−2

từ M và N đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó MN 2 bằng
A. 68

B. 48

Câu 18: Đồ thị hàm số y =
A. 1
Câu 19: Cho hàm số y =

C. 16

D. 32


có tiệm cận
mx − 1

đi qua điểm A ( 1; 4 )
A. m = 1
Câu 21: Cho hàm số y =

B. m = 2

C. m = 3

D. m = 4

3x 2 − 4 x + 5
. Đồ thị hàm số đã cho có các đường tiệm cận nào?
3 x ( x − 1)

A. Có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

B. Chỉ có tiệm cận đứng

C. Chỉ có tiệm cận ngang

D. Không có tiệm cận

Câu 22: Đồ thị hàm số y =
A. 1
Câu 23: Gọi a,b,c
y=



mx + 1
. Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 và có tiệm cận
x+n

ngang và đi qua điểm A ( 2;5 ) thì phương trình hàm số là:
A.

−2 x + 1
x−3

B.

−3 x + 1
x−3

C.

−5 x + 1
x−3

D.

3x + 1
x−3

Câu 25: Đường thẳng x = a được gọi tiệm cân đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu:
f ( x) = a
A. lim
x→0

C. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1
D. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và không có tiệm cận ngang.
Câu 28: Đồ thị hàm số y = x 4 − 2x 2 + 5 có bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 29: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng y = 2 là 1 đường tiệm cận ?
3x
x−2

A. y =

B. y =

−2 x + 1
2− x

C. y =

2x −1
2− x

D. y = x − 2

Câu 30: Đồ thị hàm số nào sau đây có 2 đường tiệm cận ngang?

C. y =

Câu 32: Gọi A là 1 điểm thuộc đồ thị hàm số y =

x+2
x − x −1
2

D. y =

x −1

( x + 2)

2

x+3
( C ) . Gọi S là tổng khoảng cách từ A
x−3

đến 2 đường tiệm cận của (C). Giá trị nhỏ nhất của S là
A.

B. 2 6

6

C. 6

D. 12

B. m ≥ 4

C. m < 4

D. m ∈ ∅

x+6
( C ) . Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là:
x+9
B. y = 1

C. x = −9

D. y = −6

x−3
( C ) . Tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
x−5

của (C) là:
A. ( 3;5 )

B. ( 5;3)

C. ( 3;1)

D. ( 5;1)


Câu 37: Cho hàm số y =

2

B. 1

Câu 40: Cho hàm số y =

C. 2

D. 3

x2 + 1
( C ) . Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là:
x +1

A. y = 1

B. y = −1

C. y = 1 và y = −1

D. x = 1 và x = −1

Câu 41: Cho hàm số y =

6x + 9
3x 2 + 5

( C ) . Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là:

A. y = 2 3


1
16

D. m

2
là tiệm cận xiên.
3

B. (C) có tiệm cận ngang là y =

D. (C) có hai đường tiệm cận đứng.

Câu 47: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2 x + 1 −
A. 2

B. 1

B. y = 2

1
x

C. 3

Câu 48: Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =
A. y = 2 x

D. 0
2 x 2 − 3x − 1
x−2

C. y = 2 x − 3

D. y = 2 x + 1


D. y = 1 − x
2 x 2 − 3x + m + 1
không tồn
x −1

tại đường tiệm cận xiên.
A. m = −1

B. m = 0

C. m ≠ −1

Câu 52: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong y =

D. m = 3
mx 3 − 2
có hai tiệm cận
x3 − 3 x + 2

đứng ?
 1
A. m ∉ 2; 
 4

 1
B. m ∉ 3; 
 2

C. m ≠ −1

D. 8

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1.A
11.D
21.A
31.B
41.C
51.B

2.D
12.D
22.B
32.B
42.C
52.A

3.C
13.C
23.A
33.A
43.C
53.A

4.D
14.D
24.B
34.A
44.A
54.A


10.C
20.A
30.C
40.C
50.A

Câu 1: Chọn B
Câu 2: Chọn B
Câu 3: Chọn B
Câu 4: Chọn B
Câu 5: Chọn C
Câu 6: Chọn A
Câu 7: Chọn C
Câu 8: Ta có y =

x
x3
x
= 0 suy ra y = x là
. Khi đó x2 = 2 lim ( y − x ) = lim 2
= x+ 2
2
x →±∞
x →±∞ x − 1
x −1
x −1

tiệm cận xiên của hàm số. Chọn B
Câu 9: Ta có y = 2 x + 1 +

= 0 nên
x
→±∞
x
→±∞
x−2
x−2
x−2
đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là y = 25 ( x + 2 ) Chọn D
Câu 12: Đồ thị hàm số ở câu A và B không có tiệm cận, đồ thị hàm số ở câu C có tiệm cận
ngang
y=

là

y

=

0

Xét

ý

D:

Ta

có

Câu 14: Chọn C
ax + b a
ax + b
= ( c ≠ 0; ad ≠ bc ) nên đồ thị hàm số y =
( c ≠ 0; ad ≠ bc )
x →±∞ cx + d
c
cx + d

Câu 15: Ta có lim

nhận đường thẳng y =

thị hàm số y =

16 x − 25
. Chọn B
−2 x + 3

Câu 16: Ta có lim

x →±∞

Lại có lim

x →±∞

a
là tiệm cận ngang. Do vậy đường thẳng y = -8 là tiệm ngang của đồ
c

4
≥ 2. a − 2 .
=4
a+2
a+2

 a = 4 ⇒ M ( 4;3)
2
⇒ MN 2 = 32 . Chọn D
Dấu ‘=” xảy ra ⇔ ( a − 2 ) = 4 ⇔ 
 a = 0 ⇒ N ( 0; −1)
y = ∞;lim y = ∞ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 1, x=
Câu 18: Ta có lim
x →1
x→2
2
y = 1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1. Chọn C
Mặt khác xlim
→±∞
Câu 19: Xét y =

Mặt

x →−∞

x2 − 2x + 6
lim y
= lim y
x →+∞
x →+∞

 x

x 1−

Nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = ± 1
Xét y =

x 2 − 4 x + 3 ( x − 1) ( x − 3)
=
ta có đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 và chỉ
x2 − 9
( x + 3 ) ( x − 3)

có một tiệm cận đứng là x = -3. Do vậy tổng số tiệm cận là 5. Chọn C
Chú ý: Do lim y =
x →3

x −1 2
= nên x = 3 không là tiệm cận đứng.
x −3 5

m ≠ 0
2
Câu 20: Điều kiện để hàm số không suy biến là m . ( −1) ≠ m. ( −4 ) ⇔ 
m ≠ 4
Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận là: x =

1
;y=m
m

có 1 tiệm cận đứng x = − và có 1 tiệm cận ngang y = (2 TC).
2x +1
2
2

2

Do vậy b > c > a. Chọn C

( x − 1) + 1
x2 − 2x + 2
=
; lim y = 1
Câu 24: Xét y = 2
x − 2mx + m2 − 1  x − ( m − 1)   x − ( m + 1)  x→+∞
2

Chú ý m − 1# m + 1∀m do vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng x = m − 1; x = m + 1 và 1 1 tiệm
cận ngang y = 1. Chọn B
f ( x ) = ∞ thì x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). Chọn D
Câu 25: Ta có lim
x →a
Câu 26: Chọn A
lim

x

Câu 27: Ta có x →+∞ x − 9

lim

= lim

1
9
− 1− 2
x

x →+∞

= −1

1
9
1− 2
x

=1

do vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận

ngang y = ±1
lim = ∞ nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = ±3 do vậy. Chọn A
Lại có x→±
3
Câu 28: Chọn B


Câu 29: Chọn B
Câu 30: Loại A, C vì hàm số y =


1 − + 2 ÷
 x x 
 x x 
tiệm cận ngang y = 0. Loại B. Chọn C
Câu 31: Xét hàm số dạng y =

f ( x)
g ( x)

Hàm số có tiệm cận đứng khi x = x0 sao cho hàm số không xác định tại đó.
Từ đó ta nhận xét hàm số không có tiệm cận đứng khi hàm số đó luôn xác định trên R.
Ta có x 2 − x + 1 > 0, ∀x ∈ R. ⇒ Hàm số y =

x−2
luôn xác định trên R. Chọn A
x − x +1
2

 x +3
x+3
Câu 32: Gọi A  x0 ; 0
có tiệm cận đứng x = 3, và tiệm cận
÷∈ ( C ) . Hàm số y =
x0 − 3 
x−3

ngang y = 1.
Tổng khoảng cách từ A đến hai đường tiệm cận
S = d ( A, d1 ) + d ( A, d 2 ) = x0 − 3 +


x0 + 3
4
4
− 1 = x0 − 2 +
≥ 2 x0 − 2 .
=4
x0 − 3
x0 − 3
x0 − 2

 x0 − 2 = 2
 x0 = 4; y = −3
4
2
⇔ ( x0 − 2 ) = 4 ⇔ 
⇒
⇒ P ( 4; −3) , Q ( 0; −1)
x0 − 2
 x0 − 2 = −2  x0 = 0; y = −1

⇒ PQ = 4 2 . Chọn A
Câu 34: Cần nhớ số tiệm cận đứng của hàm số y =

f ( x)
bằng với số nghiệm của phương
g ( x)

trình g ( x ) = 0 . Yêu cầu bài toán  phương trình x 2 − 4 x + m = 0 có nghiệm kép
⇔ ∆′ = 4 − m = 0 ⇔ m = 4 . Kiểm tra lại với m = 4 ta được y =


= lim
x →−∞
x +1

1
x 2 = lim  − x + 1  = −1

÷
x2 ÷
 1  x →−∞ 

x 1 + ÷
 x

x

x+


•

lim y = lim

x →+∞

x →+∞

1
x +1
x 2 = lim  x + 1  = 1

x
x÷
lim y = lim
= lim 
= lim  − 
= −2 3 ⇒ y = −2 3 là
x →−∞
x →−∞
5 ÷
3 x 2 + 5 x →−∞ x 3 + 5 x →−∞ 
3+ 2 ÷

x2
x 

tiệm cận ngang.


9
9

x6 + ÷
6 + ÷÷


6x + 9
x
x÷
lim y = lim
= lim 

cx + d
c
c

3x + 5
3
3
luôn có tiệm cận đứng x = và tiệm cận ngang y = . Chọn B
2x − 3
2
2

Câu 47: Tập xác định D = R \{0}

1

y = lim+  2 x + 1 − ÷ = −∞
 xlim
+
x →0 
x
 →0
⇒ x = 0 là tiệm cận đứng
Ta có 
 lim y = lim  2 x + 1 − 1  = +∞

÷
 x →0−
x →0− 
x

23
= − +
2x +1
2 4 4 ( 2 x + 1)

x 7
23

 y = 2 − 4 + 4 ( 2 x + 1)
x 7

⇒ y = − là tiệm cận xiên
Ta có 
23
2 4
 lim
=0
 x →±∞ 4 ( 2 x + 1)
7

Giao điểm của tiệm cận xiên với trục tung là điểm M  0; − ÷. Chọn A
4

Câu 50: Gọi ∆ : y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 3 x 3 − x

Khi đó

a = lim

x →±∞


 

1
x 3 − x − x = lim  x  3 1 − 3 − 1 ÷
=0
÷÷
÷
x →±∞ 
x





)

Suy ra tiệm cận xiên của hàm số y = 3 x 3 − x là đường thẳng có phương trình y = x. Chọn A
2
Câu 51: Hàm số không có tiệm cận xiên khi đa thức g ( x ) = 2 x − 3 x + m + 1 có chứa nhân từ

x – 1 (tức là phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm x = 1)
Yêu cầu bài toán ⇔ 2 − 3 + m + 1 = 0 ⇔ m = 0 . Chọn B


Câu 52: Cần nhớ số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng với số giá trị x mà tại đó hàm số
không xác định.
Ta có D = R\{1;2}
Để hàm số y =



 g ( 1) = 4 − m ≠ 0
m ≠ 4
⇔
Suy ra 
. Chọn A
m ≠ 36
 g ( 3) = 36 − m ≠ 0
Câu 54: Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình y = x

Ta có lim y = lim
x →−∞

lim y = lim

x →+∞

x →+∞

x →−∞

x2 + 1
= lim
x →−∞
x

x +1
= lim
x →+∞
x