Chuyên đề 1: “Hàm số”

Cao Văn Tuấn – 0975306275

VẤN ĐỀ 5: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Biên soạn: CAO VĂN TUẤN
SĐT: 0975306275

/>1. Phương pháp
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  .
1. Tiệm cận đứng
Đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị  C  nếu ít nhất một trong 4 điều kiện sau được thỏa
mãn:
lim f  x   
lim f  x   
lim f  x   
lim f  x   
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

2. Tiệm cận ngang
Đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang của đồ thị  C  nếu lim f  x   y0 hoặc lim f  x   y0 .
x 

x 


Ví dụ 1: Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2x 1
2  4x
a) y 
b) y 
x 1
1 x
Giải:
a) TXĐ: D = \ 1

c) y  2 x  1 

1
x2

d) y 

x2
1 x

2x 1
2x 1
 2,
lim
2
x  x  1
x  x  1
Suy ra đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x   và
x   ).
2x 1

/>
lim

x 

2  4x
 4.
1 x

1


Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Suy ra đường thẳng y  4 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x   và
x   ).
2  4x
2  4x
 lim
lim
  ,
  .
x 1 1  x
x 1 1  x
Suy ra đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x  1 và x  1 ).
c) TXĐ: D = \ 2


1 


0.
x  x  2

x 

Suy ra đường thẳng y  2 x  1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi x   và
x   ).
d) TXĐ: D = \ 1

x2
1
Ta có: y 
.
 x 1
1 x
1 x
1 
1 


 lim   x  1 
lim   x  1 
   ,
  
x 1 
x

1
1 x 
1 x 

 Đường thẳng  2 : 4  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x   và x   ).

 khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là: d M,2  
Suy ra: d M,1  .d M,2   x0  3 .

4 x0  1
13
4 
3  x0
3  x0

13
 13  (đpcm).
3  x0

 4x 1 
b) Tổng các khoảng cách từ điểm M  x0 ; 0    C  đến 2 đường tiệm cận của  C  là:
3  x0 

13 Cauchy
13
S  d M,1   d M,2   x0  3 
 2 x0  3 .
 2 13
3  x0
3  x0
/>
2






x2
có đồ thị  C  . Tìm tất cả các điểm M thuộc  C  sao cho:
x 3
a) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
1
b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng
lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
5
ĐS:
a) M1  2;0  và M 2 8; 2  .

Ví dụ 3: Cho hàm số y 

b) M1  2; 4  và M 2  4;6  .
3x  1
có đồ thị  C  .
x2
a) Tìm những điểm nằm trên  C  cách đều hai trục tọa độ.

Ví dụ 4: Cho hàm số y 

b) Tìm hai điểm A, B nằm về hai nhánh của  C  sao cho AB nhỏ nhất.
c) Tìm điểm M thuộc  C  sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  : 3x  4 y  1  0 bằng

12
5



 3x0  1
x0  2

 x0  x0  1  0
1  5
 x  2   x0
 x0 

2
 0
 5  21 5  21 
3x  1 5  21
5  21
 Với x0 
 0

 M1 
;
 .
2
2
2
x0  2
2


 5  21 5  21 
3x  1 5  21
5  21

1  5
 Với x0 
 0

 M 4 
;

2
x0  2
2
2
2 

 5  21 5  21 
 5  21 5  21 
Vậy có 4 điểm M cần tìm là: M1 
;
M 2 
;
 ;
 ;
2
2
2
2




 1  5 1  5 

b

2

25 
2
 5 5
Ta có: AB   a  b        a  b  1  2 2 
a b
 ab 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
 a  b 2  4ab


25 
25
10
1  2 2   2 1. 2 2 
ab
ab
 a b 
25 
10
2
 AB2   a  b  1  2 2   4ab.  40
ab
 ab 
a  b
a  b


32   4 

2



12

5

3x02  17 x0  2
x0  2
5



12
5

3x02  17 x0  2  12  x0  2 
 3 x  17 x0  2  12 x0  2   2
3x0  17 x0  2  12  x0  2 
2
0

  x0

 x
3x02  29 x0  26  0
  0


x 2  3x  1
. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến hai
x2

Giải:

x 2  3x  1
9
 x 5
Ta có: y 
.
x2
x2
9 
9 


 lim  x  5 
  ,
lim  x  5 

  
x 2 
x 2 
x2
x2
Suy ra đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x  2 và x  2 ).
1
1

x0  2 
x0  y0  5
9 2

d2 


2 x0  2
2
2
Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C  là: d1.d 2  x0  2 .

9 2
9 2

  đpcm  .
2 x0  2
2

1
có đồ thị  C  . Gọi M là một điểm bất kì thuộc  C  , qua M vẽ
x2
hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường tiệm cận của  C  , hai đường thẳng này tạo với hai
đường tiệm cận một hình bình hành, chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi.
Giải:
TXĐ: D = \ 2

Ví dụ 6: Cho hàm số y  2 x  1 

Đồ thị  C  của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x  2 và tiệm cận xiên là đường thẳng


 Cm 

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là 8.

Giải:
TXĐ: D =

\ 1

x 2  mx  1
m
 x  m 1
.
x 1
x 1
 Khi m  0 thì hàm số trở thành y  x  1 . Hàm số này có tiệm cận xiên là đường thẳng y  x  1 ,
1
khi đó tam giác tạo ra có diện tích bằng . Do đó m  0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
 Khi m  0 :
m
m
lim  y   x  m  1  lim
0,
lim  y   x  m  1  lim
0.
x  
x  x  1
x  

x 1
gọi đường tiệm cận xiên này là  d  . Tìm m để:

a)
b)
c)

 d  đi qua điểm A 1; 4  .
 d  tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6.
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  bằng 3 .

Giải:
TXĐ: D =

\ 1

mx 2   3  m  x  m2  2
m2  1
 mx  3 
x 1
x 1
Suy ra  C  có tiệm cận xiên  m  0 . Khi đó,  C  có tiệm cận xiên là đường thẳng  d  : y  mx  3

Ta có: y 

a)

 d  đi qua điểm A 1;4  4  m.1  3  m  1 (thỏa mãn

m  0 ).

c) d O, d   3 
 3  m2  1  3
2
m 1
 m2  1  3  m2  2  m  2 (thỏa mãn m  0 ).
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Vậy m  

1  x2
có đồ thị  C  . Tìm tất cả các điểm M thuộc  C  sao cho: Khoảng cách
x
từ M đến tiệm cận đứng bằng 2 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên.
Giải:
TXĐ: D = \ 0
Ví dụ 9: Cho hàm số y 

1  x2
1
 x 
x
x

1
Gọi M  x0 ;  x0     C  là điểm cần tìm.
x0 

Ta có: y 

Đồ thị  C  của hàm số đã cho có:


2 x0
 x0  1

 Với x0  1 thì M1 1;0  .
 Với x0  1 thì M1  1;0  .
Vậy M1 1;0  và M2  1;0  là các điểm cần tìm.

mx 2   3m2  2  x  2

có đồ thị  Cm  với m .
x  3m
a) [ĐH, khối A – 2008] Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị  Cm  bằng 450 .

Ví dụ 10: Cho hàm số y 

b) Tìm m để đồ thị  Cm  có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác AOB có
diện tích bằng 4.
Giải:
TXĐ: D = \ 3m
Ta có: y 

mx 2   3m2  2  x  2
x  3m

 mx  2 

6m  2
x  3m

1

2
2
2
m 1

 2 m2  1  2 m  2  m2  1  4m2  m2  1  m  1 (thỏa mãn * ).
Vậy m  1 là những giá trị cần tìm.

OA   0; 2 
2  
b) Tiệm cận xiên của  Cm  giao với 2 trục tọa độ tại A  0; 2  và B  ;0   
2 
 m  OB   ;0 
m 

1
1
2
1
1
1
SAOB  OA.OB  . 2 .
4
 4  m   m   (thỏa mãn * ).
2
2
m
2m
2
2