Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 1
CĂN THỨC BẬC HAI
Bài 1: Tính
a)
3 2 2 3 5
3 2 1 6
−
−
− +
b)
2 2
2 2 3 2 2 3
+
− +
c)
( )
50 2 18 98 .3 2− +
d)
( )
3 2 50 2 18 98− +
e)
27 3 48 2 108 7 4 3− + − −
f)
( )
20 2 5 5 45 .3 5− +
g) 2 27 5 5 75 3 20− − +
h)
2 3 6 216 1
.
3
8 2 6

4
2
x x x
P
x
x x x x
   
−
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
với x > 0, x
≠
1, x
≠
4
c) Rút gọn biểu thức
1 . 1
1 1
a a a a
A
a a
   
− +
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

2
Bài 4: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghóa:
a) 12 3P x= −
b)
2Q x= −
c)
3
2
x
R
x
−
=
−
Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 2
d)
2
1
4
S
x
=
−
e)
2
1 1
x
A
x x
= +

1
ab
x
b
=
+
trong đó a > 0, b > 0
Bài 7: Cho biểu thức
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
− + +
= − −
− + − −
a) Tìm điều kiện của x để A có nghóa.
b) Rút gọn A.
c) Tìm các giá trò nguyên của x để A là số nguyên.
Bài 8: Cho a > 0, b > 0, a
≠
b. Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào a
a)
1 1
.
2
a b
P
a ab a ab b
−

−
− + −
 
với x > 0, x
≠
4, x
≠
9
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trò của x để P > 0, P < 0.
Bài 10: Cho biểu thức
2
3 3
1 : 1
1
1
M x
x
x
 
 
= + − +
 ÷
 ÷
+
 
−
 
(-1 < x <1)
a) Rút gọn M.

Bài 12: Giải phương trình (dạng đặc biệt)
a)
2 2 2
3 12 16 4 16 25 1 4x x x x x x− + + − + = + −
b)
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
c)
3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + − − + − =
d)
1 2 2 7 6 2 6x x x x− + − + + + − =
e)
5 4 1 3x x x+ + + = +
f)
2
2
3
3 1 0
3 3
x x
x x
+ − − =
− +
Bài 13: Cho
2
3 2A x x y y= − +
a) Phân tích A thành thừa số.
b) Tính giá trò của A với
1
, 9 4 5

x< <
. Tính giá trò biểu thức
2
1 2
2 1
x x
A
x
− −
=
−
Bài 16:
a) Tính
3
12 2 3 5 2 8 .2 6
4
 
− + −
 ÷
 
b) Chứng minh rằng
4 7 4 7 2+ − − =
Bài 17: Cho
2
1 1
:
x
P
x x x x x x
+

.
1
2 1 2
x x x
P
x
x x
 
− + −
 
= −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 
a) Rút gọn P.
Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 4
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trò lớn nhất của P.
Bài 20:
a) Rút gọn
( )
12 27 108 .2 3+ −
b) Chứng minh rằng
2 6
2 3 5
2 3 5

= +
−
Bài 24:
a) Chứng minh phương trình sau vô nghiệm
2
5 5 2 8x x x x− + + = − +
b) Giải phương trình
2 2
2 8 4x x− + + =
Bài 25: Cho biểu thức
2 3 2
2
x x
A
x
− −
=
−
và
3
2 2
2
x x x
B
x
− + −
=
+
a) Tìm điều kiện của x để A, B có nghóa. Rút gọn A và B.
b) Tìm giá trò của x để A = B.

28 10 3 4 2 3− + −
Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 5
b)
7 7 7 7
1 1
1 7 1 7
  
− +
+ +
 ÷ ÷
 ÷ ÷
− +
  
c)
14 6 5 14 6 5− + +
d)
1
2
a b a b b b
a ab ab a ab a ab
 
+ − −
+ +
 ÷
 ÷
+ − +
 
với a > 0, b > 0, a
≠
b

4 10 2 5 4 10 2 5C = + + + − +
d)
4 15 4 15 2 3 5D = + + − − −
Bài 31: Chứng minh rằng các số sau đây đều là số nguyên
a)
2 3 5 13 48
6 2
A
+ − +
=
+
b)
5 3 29 12 5B = − − −
c)
(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
C
+ − −
=
−
d)
4 5 3 5 48 10 7 4 3D = + + − +
e)
( 3 1) 6 2 2 3 2 12 18 128E = − + − + + −
Bài 32: Tìm x biết
5 13 5 13 ...x = + + + +
. Trong đó các dấu chấm có nghóa là lặp đi pặp lại cách viết
căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần.
Bài 33: Cho số
3 3