TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn

Chương 10. Phép Nghịch Đảo
Một số bài tập hóc búa trong di sản toán học Nhật thường chứa nhiều đường tròn tiếp xúc với
nhau. Một ví dụ nổi bật là bài tập (sẽ khảo sát bên dưới) do Hotta Jinsuke đề nghị và treo tại đền
Myokendo vào năm 1788. Cách giải truyền thống vô cùng phức tạp và gay góc. Nhưng bài toán
này và những bài tương tự có thể giải một cách dễ dàng hơn bằng một kỹ thuật đơn giản và vô
cùng mạnh mẽ gọi là phép nghịch đảo, do các nhà toán học phương Tây độc lập phát hiện vào
những năm từ 1824 đến 1845, mà các nhà toánhọc Nhật bản chưa biết được. Vài bài toán liên
quan đến đường tròn thoạt nhìn thấy khó khăn sẽ được khắc phục trong bằng cách biến hình
ban đầu qua phép nghịch đảo. Ta sẽ được mối quan hệ mới và đơn giản hơn giữa các đường đã
được nghịch đảo. Sau đó ta sẽ “đảo ngược” tiến trình trở lại bài toán ban đầu để được kết quả
cuối cùng.
Phép nghịch đảo có thể được gọi là “hết sẩy”, và mặc dù các học sinh cấp 3 có thể lãnh
hội không mấy khó khăn, nhưng không hiểu tại sao không được dạy tại Mỹ trừ ra trong những
giáo trình toán học nâng cao chuyên biệt. Vì vậy trong chương này ta sẽ giới thiệu kỹ thuật này,
gồm một số định lý để giải những bài toán trong sách này. Với số định lý này trong tay, ta sẽ sử
dụng chúng để giải bài toán Hotta.
Tiếp tuyến của

Nghịch đảo là một phép biến đổi định nghĩa ứng với một đường tròn. Giả sử cho một đường
tròn () có bán kính k và tâm T. Phép nghịch đảo ứng với () biến đổi điểm P thành điểm P’ nằm
trên tia OP sao cho
TP.TP’ = k2
T gọi là tâm nghịch đảo. P’ gọi là ảnh nghịch đảo của P. Ta thấy ngược lại P cũng là ảnh nghịch
đảo của P’. Từ định nghĩa trên, ta th ấy dễ dàng nếu P ở trong (thì P’ ở ngoài () và ngược lại.
Ta có thể xác định vị trí tương đối của P và P’ bằng nhận xét nếu vẽ qua P đường vuông góc với
TP và cắt ( tại A thì AP’ là tiếp tuyến của đường tròn.
Không chỉ nghịch đảo từng điểm, ta có thể nghịch đảo toàn hình. Muốn nghịch đảo một

TQ’P’ đồng dạng. Vì tam giác TPQ vuông
tại P, nên tam giác TQ’P’ vuông tại Q’.
Điều này chứng tỏ tập hợp những điểm
Q’ là đường tròn đường kính TP’. Như
vậy ảnh của l là đường tròn qua tâm
nghịch đảo T.

Định Lý B
Nếu đường tròn C qua tâm nghịch đảo T, thì C biến thành một đường thẳng không đi
qua tâm nghịch đảo. (Đây là là đảo của Định Lý A.)

Hơn nữa, nếu cho T có toạ độ (0, 0) trong mặt phẳng toạ độ, thế thì phương trình đư ờng
thẳng nghịch đảo là
y’ =

Ở đây (g, f) là toạ độ tâm đường tròn C.

+

2


TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn

Ví dụ: C là đường tròn tâm (0, 1) bán kính 1 qua tâm nghịch đảo T. Theo định lý C ảnh
nghịch đảo của C là đường thẳng C’ có phương trình y’ = k2/2. Nếu k = 1 thì C’ là đường
thẳng y’ = ½ như hình dư ới.



⃗′ =

|
|

|
.
|

⃗ =

|

|

||

|

|

⃗=

|

⃗ , suy ra:

|



c 0
 2
 2g 2
 2 f  2
2 
2 
2 
2 
x
'

y
'
x
'

y
'
x
'

y
'
x
'

y
'



qua phép nghịch đảo.

−2

+

= 0 : đây là phương trình đư ờng tròn C’, ảnh của C

Nếu c =0 (tức C qua T) thì (*) thành – 2gk2x’ -2fk2y’ + k4 = 0 hay y’ = -

là kết quả của định lý B.

+

Chú ý là tâm của C và C’ thẳng hàng với tâm nghịch đảo T và tiếp tuyến chung của C
và C’ đi qua tâm nghịch đảo T. (Bạn đọc tự chứng minh)
Định lý D

Nếu r là bán kính của C và r’ là bán kính của C’, thế thì r và r’ liên hệ bằng hệ thức
r’ =

|(

trong đó d là khoảng cách giữa T và tâm của C.

|

r



+

= 0 . Vì T có toạ độ (0,

0) nên thế x’ = y’ = 0 vào vế trái của phương trình trên, ta đư ợc giá trị L2 :
L2 =

k4
(c > 0)
c

Mà theo định lý D:
c=

|d2

–

r2|=

k 2r
r'

Thế biểu thức này, ta được đpcm.
Các định lý A-E là đủ để giải bài toán của Hotta. Nếu bạn muốn đi sâu hơn thì sau đây là các
định lý nâng cao, có thể dùng để giải những bài toán hóc búa hơn.
Định lý F

Những điểm trên đường tròn nghịch đảo (đường tròn ) thì bất biến qua phép

P’. Ta biết hai tam giác TPR và TP’R’
đồng dạng; suy ra = . Khi R tiến
đến P, cạnh PR của tam giác TPR tiến
đến vị trí t , và vì thế trong giới hạn
này = . Tương tự, = ∅. Do đó,
tại giới hạn, = ∅, như thế góc mà C
và C’ tạo với TP là bằng nhau. Nếu có
một đường thứ hai, gọi là S, cắt TP tại
theo một góc . Qua phép nghịch đảo
S biến thành S’ và góc của S’ và TP
cũng là . Do đó góc gi ữa hai đường C
và S và giữa C’ và S’ đều là − , tức
p[hép nghịch đảo giữ nguyên góc của
hai đường.

Trường hợp đặc biệt nếu TP tiếp xúc với C tại P thì TP (TP không đ ổi qua phép nghịch đảo)
cũng tiếp xúc với C’ tại P’. Do đó tiếp tuyến với C vẽ từ T cũng là ti ếp tuyến của C’, tức tiếp
tuyến chung của hai đường tròn nghịch đảo thì đi qua T.
Định lý L




Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T, ảnh nghịch đảo của chúng là hai
đường thẳng song song.
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại P không phải là tâm nghịch đảo, ảnh
nghịch đảo của chúng là hai đường tròn tiếp xúc nhau (hay một đường thẳng
tiếp xúc với một đường tròn) tại điểm P’, ảnh của P.
6


Suy ra: OM2 + OI2 – r2 = OL2 + OM2 , hay OL2 = OI2 – r2 : giá trị này không phụ thuộc C, chứng
tỏ L và L’ là hai điểm cố định. Như vậy, nếu ta vẽ một đường tròn thứ hai D như C thì đường
tròn này cũng vuông góc với  và  và cũng qua hai điểm cố định L và L’.
7


Chương 10. Phép nghịch đảo

Bây giờ sử dụng phép nghịch đảo tâm L với k = LL’ (thật ra với giá trị k nào cũng đư ợc).
Trong phép nghịch đảo này,  và  biến thành các đường tròn ’ và ’ có tâm trên đường
thẳng IJ. Còn các đường tròn C và D vì qua L và L’ nên biến thành các đường thẳng C’, D’ đều
qua L’. Vì C và D vuông góc với  và  nên C’ và D’vuông góc với ’ và ’ do phép nghịch đảo
giữ nguyên góc, tức C’ và D’ qua tâm của ’ và ’, như thế ’ và ’ là những đường tròn có
tâm đều là L’, tức là hai đường tròn đồng tâm.
′

′


′

′

′

′

′

′

đường tròn bán kính r’ cho bởi L2 = (O’T)2 – r’2, trong
đó O’ là tâm đường tròn. Như th ế
L12 + L32 = (O’1T)2 + (O’3T)2 – 2r’2,

L22 + L42 = (O’2T)2 + (O’4T)2 – 2r’2,

Từ (*) , suy ra L12 + L32 = L22 + L42
Và định lý E cho ta đpcm.
\

Giải Bài Toán Hotta
Một đường tròn lớn bán kính r chứa
hai đường tròn ,
đều có bán kính r1
= r/2 tiếp xúc nhau và tiếp xúc trong
với đường tròn lớn. Đường tròn bên
dưới cũng tiếp xúc với một chuổi
đường tròn rn như trong hình. Hơn nữa
một chuổi đường tròn nhỏ hơn bán
kính tn ở khoảng giữa các đường tròn rn
và sao cho mỗi tn đều tiếp xúc với
cũ ng như các đường tròn rn và rn+1. Hãy
tính rn và tn theo r và n.

t2

r3

9


www.saosangsong.com.vn

Tiếp theo, xét đường tròn tức r1 ở phía trên. Đường tròn này không qua T do đó
biến thành đường tròn ’ . Vì tiếp xúc với tại B và tiếp xúc với tại O nên ’ tiếp xúc với
’ và ′ tại B’ và O’ (định lý L). Bán kình đư ờng tròn này là r1’.

Tương tự, đường tròn r2 tiếp
xúc với r1,
và
nên biến
thành đường tròn r2’ tiếp xúc
với r1’ và hai đường thẳng
song song (xem hình). Các
đường tròn rn khác cũng v ậy.
Do đó bằng phép nghịch đảo
này, mọi đường tròn ở chuổi
ngoài đều có bán kính bằng
nhau: r1’ = r2’ = r3’ = . . . = rn’
(gọi chung là r’)
Tương tự một đường tròn tn ở
chuổi trong đều biến thành các
đường tròn bằng nhau có bán
kính: t1’ = t2’ = t3’ = . . . = tn’ (gọi
chung là t’).

Ta sẽ tính r’ và t’ theo r. Xét r1. Khoảng cách từ T đến tâm của (tức r1) theo định nghĩa là
khoảng cách d trong định lí D. Vì d = 3r1, theo định lí D, r1’2 (d2 – r12) = r12 (nhớ ở đây k = 1),
suy ra

Nhưng r1 = r/2, do đó r’ =

Mn2 =  r ' 
2

Mà theo định lí E cho ta biết Ln 

1 
2
  xn
2r 

r'
rn

Thế các giá trị của r’, Ln , Mn , xn vào (*) ta được phương trình tí nh rn

rn 

r
2  (n  1) 2

Công thức này cho ta bán kính đường tròn thứ n trong chuổi ngoài theo r và n
Với các đường tròn ở chuổi trong tn, ta
tiến hành tương tự và có:
Ln2 + t’2 = Mn2 (* *)
2

Mn2

1


2
4
15
12
10

12


TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn

Bài tập 2
Bài này trong tuyển tập toán học của
Nakamura Tokikazu.
Như trong hình, chứng tỏ rằng

1
1
2(2 2  1)


r1
r3
r2

Bài tập 3
Bài này lấy trong nhật ký của Yamaguchi
năm 1819.

14