Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
LỜI NÓI ĐẦU
Tõ nh÷ng n¨m ®Çu cđa thËp kØ 90, vÊn ®Ị ®ỉi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc trong nhµ trêng phỉ
th«ng ë níc ta ®ỵc d ln x· héi vµ c¸c c¸n bé gi¸o viªn trong ngµnh gi¸o dơc quan t©m rÊt nhiỊu .
Vµi n¨m gÇn ®©y , viƯc ®ỉi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc theo tinh thÇn "lÊy häc sinh lµm
trung t©m" ®· ®ỵc thùc hiƯn réng r·i kh¾p c¸c tØnh, thµnh trong tÊt c¶ c¸c cÊp häc phỉ th«ng c¶ níc
. H¬n n÷a, viƯc ®ỉi míi ch¬ng tr×nh-SGK hiƯn nay lµ mét cc "c¸ch m¹ng" ,®ßi hái gi¸o viªn ph¶i
cã sù ®ỉi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc .
Mét trong nh÷ng ®Þnh híng quan träng cđa viƯc ®ỉi míi hiƯn nay lµ : T¨ng cêng h¬n n÷a tÝnh
"ph©n hãa" trong häc sinh . ViƯc d¹y häc m«n häc tù chän (tríc ®©y)vµ c¸c chđ ®Ị tù chän (hiƯn
nay)lµ mét trong nh÷ng biƯn ph¸p h÷u hiƯu thĨ hiƯn râ ®Þnh híng nµy .
B¾t ®Çu tµ n¨m häc 2002-2003 Bé GD&§T ®· híng dÉn thùc hiƯn DHTC cho mét sè m«n
häc thc khèi líp 8 vµ 9 (2 tiÕt /tn). N¨m häc 2006-2007 viƯc d¹y häc c¸c chđ ®Ị tù chän ®· ®ỵc
triĨn khai ®¹i trµ cho tÊt c¶ c¸c khèi líp tõ 6 ®Õn 9. Nh vËy ,viƯc d¹y häc tù chän ®· mang tÝnh ph¸p
quy.
Th«ng qua c¸c tiÕt d¹y häc C§TC , gi¸o viªn sÏ cã thªm ®iỊu kiƯn ®Ĩ ®ỉi míi ph¬ng ph¸p
gi¶ng d¹y, tÝch lòy , trau dåi thªm chuyªn m«n nghiƯp vơ ...MỈt kh¸c,còng th«ng qua c¸c tiÕt d¹y mµ
ph¸t hiƯn ra nh÷ng häc sinh cã n¨ng khiÕu ®ång thêi gióp häc sinh kh¾c phơc ®ỵc nh÷ng thiÕu sãt cđa
m×nh trong qu¸ tr×nh häc tãan....Häc sinh cã ®iỊu kiƯn cđng cè kiÕn thøc , ph¸t huy kh¶ n¨ng ,n¨ng
khiÕu cđa b¶n th©n vỊ m«n häc .
Trªn c¬ së ®Ỉc ®iĨm ch¬ng tr×nh tãan THCS , qua thùc tiƠn gi¶ng d¹y mét sè n¨m .B¶n th©n
t«i ®· ®óc kÕt ®ỵc mét sè kinh nghiƯm khi d¹y vµ «n tËp cho häc sinh líp 9 .Víi mơc ®Ých h×nh thµnh
trong nhµ trêng mét sè vÊn ®Ị vµ c¸c chđ ®Ị tù chän & ®Ĩ trao ®ỉi cïng c¸c ®ång nghiƯp . T«i tiÕn
hµnh tỉng hỵp vµ biªn so¹n mét sè chđ ®Ị Tãan 9 gåm :
*Chđ ®Ị 1: C¨n thøc bËc hai.
*Chđ ®Ị 2: HƯ ph¬ng tr×nh .
*Chđ ®Ị 3: Ph¬ng tr×nh bËc hai.
*Chđ ®Ị 4: Hµm sè vµ ®å thÞ .
*Chđ ®Ị 5: TiÕp tun cđa ®êng trßn.
*Chđ ®Ị 6: Tø gi¸c néi tiÕp .

2
= 7ab(2a
2
- ab +5b
2
)
Ví dụ 2: x
3
+ x
2
+x+1 = x
2
(x+1)+x+1 = (x+1)((x
2
+1)
2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức :
Ví dụ 1: a
2
-1 +b
2
+2ab = a
2
+b
2
+2ab -1 = (a +b)
2
-1 = (a +b-1)(a +b+1)
Ví dụ 2: (x+y)
3
- (x-y)

phân tích đa thức thành nhân tử
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Phương pháp nhóm các số hạng :
Ví dụ 1: phân tích thành nhân tử đa thức : x
2
+y+xy+x
C1: Ta có : x
2
+y+xy+x = (x
2
+x) + (y+xy) = x(x+1) +y (x+1) =(x+1) (x+y)
C2: Ta có : x
2
+y+xy+x = (x
2
+xy)+(y+x) = x(x+y) +(y +x)=(x+1) (x+y)
Ví dụ 2: ax
2
+ ay
2
-bx
2
-by
2
+b - a = (ax
2
-bx
2
) +(ay

- 1 - 6x + 6 = (x -1)(x +1)- 6(x-1) =(x-1)(x +1-6) =(x-1)(x -5)
C3: x
2
- 6x + 5 = 6x
2
- 6x - 5x
2
+ 5 = 6x(x-1)- 5(x
2
-1) = 6x(x-1)- 5(x -1)(x +1)
= (x-1)[6x - 5(x +1)] = (x-1)(x -5)
C4: x
2
- 6x + 5 = x
2
- 6x +9 - 4 = (x-3)
2
- 2
2
= [(x-3)-2][(x-3)+2] = (x-1)(x -5)

* Còn một số cách tách khác nữa , xin mời bạn đọc .
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
Ví dụ 1: x
5
+ x + 1 = x
5
+ x
2
- x

)
2
+ 8
2
= (x
2
)
2
+2.x
2
.8 + 8
2
- 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
- (4x)
2
= (x
2
- 4x + 8 )(x
2
+ 4x +8)
6. Phương pháp dùng nghiệm của đa thức :
Giả sử đa thức f
(x)
có một nghiệm x= a thì (x - a) là một nhân tử và ta có :
f

x
n-1
+ a
n-2
x
n-2
+…..+ a
1
x + a
0
và nhò thức x -
α
. Ta luôn viết được : f
(x)
=
P
(x)
(x -
α
) + r
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
3
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bằng cách sử dụng sơ đồ hoócne:
a
n
a
n-1

α
b
2
+ a
1
b
0
=
α
b
1
+ a
0
Với P
(x)
= b
n
x
n-1
+ b
n-1
x
n-2
+ b
n-2
x
n-3
+ …..+ b
2
x + b

(x)
có thể viết : f
(x)
= (x + 1)P
(x)
.
- Tuy nhiên trong một số trường hợp cụ thể thì cả hai cách đóan nghiệm như trên là không khả
thi . Khi đó , ta cần phải sử dụng đến cách thứ ba : Loại trừ các ước của hệ số tự do không là
nhiệm của f
(x)
, bằng cách : Nếu a là nghiệm nguyên của f
(x)
và f
(1) ,
f
(-1)
khác 0 thì
(1)
1
f
a −
va
( 1)
1
f
a
−
+
đều là số nguyên .
Ví dụ :

Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách thực hiện :
+ Viết các hệ số của A
(x)
(các hêï số của đa thức được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến ).
Ta đặt các hệ số của A
(x)
theo thứ tự trên và các cột ở dòng trên ( tà cột thứ hai ) .
+ Ở dòng thứ hai , cột đầu tiên là một nghiệm , ba cột tiếp theo là các hệ số tương ứng của đa thức
thương , cột cuối cùng cho ta số dư .
+ Kể từ cột thứ ba (dòng thứ hai) , mỗi số được xác đònh bằng cách : lấy
α
nhân với số cùng dòng
liền trước , cộng với số cùng cột ở dòng trên .
Sơ đồ :

α

Ta có thể viết : A
(x)
= (x – 1) (x
2
– 4x + 4) = (x – 1) (x – 2)
2
b) Tổng các số hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ : 9 +(-5)
= 1 + 3 = 4 => -1 là một nghiệm của B
(X)
. Tươmg tương tự , ta có sơ đồ Hoócne :
1 -5 3 9

Tổng các hệ số của đa thức : 4 -13 + 9 – 18 = -18 ≠ 0
Tổng các số hệ số của số hạng bậc chẵn của đa thức C(x) bằng: - 13 – 18
Tổng các số hệ số của số hạng bậc lẻ của đa thức C(x) bằng: 4 + 9
Rõ ràng: -13 – 18 ≠ 4 +9
Vậy với hai cách đoán nghiệm thông thường như trên không khả thi đối với đa thức này. Ta
sử dụng phương pháp loại trừ nghiệm như sau:
Xét: C(1) = 4 – 13 + 9 – 18 = -18 ≠ 0
C(-1) = -4 – 13 – 9 – 18 = -44 ≠ 0
Rõ ràng 1 và -1 không là nghiệm của C(x). Ta thấy:
18
3 1
−
− −
;
18
6 1
−
−
;
18
6 1
−
− −
;
18
9 1
−
−
;
18

= (x – 3) (4x
2
– x + 6)
Nhận xét: Đối với các đa thức trên, nếu không sử dụng sơ đồ Hoócne vẫn phân tích được thành
nhân tử bằng cách sử dụng phương pháp tách nhóm hạng tử. Chẳng hạn:
A(x) = x
3
– 5x
2
+8x – 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
6
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
= x
3
– 4x
2
+4x – x
2
+ 4x – 4
= ( x
3
– 4x
2
+4x ) – (x
2
– 4x + 4)
= x (x


b. x
4
– 2x
3
+10x
2
- 20x = 0
c. x
2
(x-1) – 4x
2
+8x -4
4. Tính giá trị của biểu thức
A = 2x
2
+ 2y
2
-x
2
z + z - y
2
z - 2 ,Với x = y =1 ,z = -1
1. Nhắc lại một số tính chất của lũy thừa bậc hai :
+ a
2
≥ 0 ,∀a
+ a
2
>b

0
≥
=
⇔
a
ba
{
0
2
≥
=
⇔
b
ba
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Nếu a ≥ b Thì : ac ≥ bc (c ≥ 0)
* Nếu a ≥ b Thì : ac ≤ bc (c < 0)
* a ≥ b và b ≥ c thì a ≥ c
2. Căn bậc hai của một số :
* Định nhĩa : CBHSH của một số a≥0 là số x ≥0 sao cho a= x
2
,kí hiệu ;
a
Ta có :
Lưu ý :
+ a ≥ 0: có 2 CBH đối nhau là
a
(gọi là CBH dương của a hay CBHSH) và
-

22
3;)3(
−

b.
49
=
2
7
=7 ;
10
1
10
1
100
1
01,0
2
===
;
5
2
5
2
25
4
2
2
==


0
2
≥
=
⇔=
x
ax
xa
{
01
41
≥−
=−
x
x
{
1
5
≥
=
x
x
{
01
41
≥−
=−
x
x
{

,vì 2 =
4
=>
21
=−
x
⇔
41
=−
x
⇔ ⇔ ⇔ x =5
Cách 2: Áp dụng tính chất:
a
= b
Ta có:
21
=−
x
⇔ ⇔ ⇔ x =5
c.
2 2 2
x 1 2 x 1 2 x 1(Dox 1 1)+ = ⇔ + = ⇔ = ± + ≥

VÍ DỤ 3: So sánh
a. 4 và
15
; b.
47
và 7 ; c.
35

15

b. Tương tự: 7
2
=49;
( )
4747
2
=
=> 7>
47
c. Ta có: (
35
)
2
= 5
3
(
192
)
2
= 2
19
Ta lại có :(5
3
)
2
= 75
(2
19

nếu A < 0
a ≥ 0
a = b
a = b
a = - b
a < 0
-a = b
=>
35
<
192
{
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ X ≤ a ⇔ - a≤ X ≤ a
VÍ DỤ 4: Với giá trị nào của a thì các căn thức sau có nghĩa ?
a.
2
a
; b.
a3
−
; c.
1
2
+
a
; d.
2
3 a

1
2
+
a
có nghĩa với
∀
a
d.
2
3 a
−
có nghĩa ⇔ 3 - a
2
≥ 0 ⇔ a
2
≤3⇔ -
3
≤a≤
3
e.
1
1
−
a
có nghĩa ⇔
1
1
−
a
>0 ⇔

= 2 a = 2a (a ≥ 0 )
b. Ta có
2
3a
=
3
 a = -a
3
(a <0)
c. Ta có
4
5 a
=
22
)(5 a
= 5a
2
(a
2
≥ 0 ∀)
d.
2
)21(
−
=
21
−
= -(1-
2
) =

)
2
= (2-
3
)
2
=>
347
−
=
2
)3 -(2
=2-
3
(ví 2-
3
>0)
5.Bài tập
1.Tìm các giá trị khơng âm của x để:
xx
≥
2. So sánh (khơng dùng máy tính):
a.
15
và 4 ; b. 1-
16
1
và
5
4

23
1
−
x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
10
1 với x
≤
1
2x-1 với x>1
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.Các phép tính :
1.1. Nhân ,chia các căn thức bậc hai:
A≥ 0,B≥ 0 Ta có :
BABA ..
=
A≥ 0,B> 0 Ta có :
B
A
B
A
=
1.2. Ví dụ :
* Cách sử dụng
BA.
,
BA.

====

b.
360.1,12
=
666.116.1136.12136.12136.10.1,12
22
=====
c.
0,09.64
=
4,28.3,08.3,064.09,0
22
===
d.
8
3
.
3
2 aa
=
248
3
.
3
2
2
aaaa
==
e.

Nhân 2 căn thức
Khai phương một thương 2 căn thức
Chia 2 căn thức
bab .)2(
22
=
B
A
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quy tắc: Muốn khai phương của
B
A
(A
≥
0,B>0 ), ta có thể khai phương lần lượt A
và B, sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
Muốn chia CBH của A
≥
0 cho CBH của B>0, ta có thể chia A cho B, rồi khai
phương kết quả đó (tức là lấy CBH của )
VÍ DỤ 2: Tính
a.
55,12
; b.
4,14.5,2
; c.
16
9
1

=
6
10
12.5
10
12.5
10
144
.
10
25
2
22
===
c.
16
9
1
=
4
5
16
25
16
25
==
d.
111
999
=

3
1
3
5
1
5
15
5
3
15
3
5
15
53
15
35
15
5335
+=+=+=+=+=
+
2.Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai:
2.1. Đưa thừa số ra hoặc vào trong dấu căn.
• B≥ 0. Ta có :
BABA
=
2VÍ DỤ 3:
a.

b.
6
2
1
và
2
1
6
Giải:
Bằng cách đưa thừa số ra hoặc vào trong CBH và so sánh biểu thức trong CBH,
ta có:
a.
12
=
323.4
=
<3
3
Vậy
12
<3
3
b.
6
2
1
=
4
6
=

B
A
==
.
.
• Mẫu thức có dạng tổng hoặc hiệu các CBH: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức
liên hợp của mẫu để làm mất CBH ở mẫu.
*
2
)(
))((
)(
BA
BAm
BABA
BAm
BA
m
−
−
=
−+
−
=
+
*
BA
BAm
BABA
BAm

c.
13
13
)13(2
)13)(13(
)13(2
13
2
+=
−
+
=
+−
+
=
−
d.
)34(2
34
)34(2
)34)(34(
)34(2
34
2
−=
−
−
=
−+
−

89
12
)223)(223(
)223223(2
223
2
223
2
=
−
=
−+
++−
=
−
+
+
b.
ab
ba
bbaa
−
+
+
=
( ) ( )
ab
ba
abbaba
ab

)( ba
−
=
2
)31(
−
2.3.Bài tập tự giải :
1.Tính :
a. (2+
3
).
347
−
; b.
22
4258
−
; c.
27
)31(
2
−
; d.
3:)486278(
−
e.
32
32
−
+

:
,a=b=
2
3. Thực hiện các phép tính - Rút gọn các biểu thức có chứa căn thức bậc
hai
Lưu ý: Ở trên, ta đã nhắc lại một số phép tính và biến đổi đơn giản các căn thức
bậc hai. Các bài tập tự giải ở trên dùng để cho học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng các
phép tính và biến đổi. Trong nội dung tiếp theo này chúng ta chỉ đề cập đến một số.
Ví dụ về thực hiện các phép tính - Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.

Trước hết hãy nhắc lại một số khái niệm:
3.1 Căn thức bậc hai đồng dạng: Là những căn thức có cùng biểu thức dưới
dấu căn.
3.2. Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai : Muốn rút gọn các biểu thức
chứa các căn thức bậc hai ,trước hết phải thực hiện các phép biến đổi các căn thức(đưa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
14
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
thừa số ra -vào dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu), đưa
chúng về dạng các căn thức bậc hai đồng dạng, rồi thực hiện các phép tính.
VÍ DỤ 7: Rút gọn các biểu thức sau .
a.
50
2
1
51883
+−−
; b.(

2
2
52.92.43
2
+−−=+−−

=(6-3-
2)5
2
5
+
=
2
2
11
b.(
)612
3
2
3)(
2
3
4
3
2
26
2
3
−−−+
=(

aabaa 923622533
23
−−−
)31215(
)612153(61215332)6(2.)5(33
222
++−=
−−−=−−−=−−−=
baa
baaaabaaaaabaaa
VÍ DỤ 8: Rút gọn các biểu thức sau
a. A =
12
1
:
1
11
+−
+








−
+
−

≠
y)
Giải:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
15
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x
x
A
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
1
1
)1(
)1(
1
)1(
1
:






−
+
−
=
( )
1
2
2
))((:)(
2
))((:2
2
))((:
))((
2
))((:
)()(
.
2
33
=
+
+
=
+



−
+
+
=
yx
yx
yx
y
yx
yx
B
yx
y
yxyxyxB
yx
y
yxyxxyyxB
yx
y
yxyxxy
yx
xyyxyx
B
yx
y
yxyxxy
yx
yx

aaa
11
1
1
)1(
)1(
1
)1(
1
:
)1(
1
)1(
1
:
1
1
)1(
1
A a.
2
22
−
=
−
=⇒=
−
=
+
−

))((:2
2
))((:
))((
2
))((:.
2
22
22
33
=⇒
=
+
+
=
+
+
+
−
=
+
++−−=
+
++−−+=
+
++−





ba
b
bababaB
ba
b
babaabbaB
ba
b
babaab
ba
abbaba
B
ba
b
babaab
ba
ba
Bb
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
16
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Như vậy, có thể thấy rằng: Việc "hữu tỉ hóa" sẽ giúp cho việc biến đổi các biểu
thức trở nên đơn giản hơn rất nhiều (các biểu thức trở thành biểu thức hữu tỉ). Khi đó,
việc rút gọn các biểu thức cũng trở nên khơng còn khó khăn nữa.

Lưu ý: Câu b còn thể được phát biểu dưới dạng khác như sau: Chứng minh giá trị
của biểu thức B khơng phụ thuộc vào giá trị của biến.
Nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng rút gọn các biểu thức, trước hết hãy cho

33
xyyxyxyx
−++=+
2 2
2
b. x y 2 xy ( x) ( y) 2 x. y
( x y)
+ − = + −
= −
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
17
VẤN ĐỀ 3: Một số dạng tóan cơ bản
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2
c. 11 2 10 10 2 10 1 10 2 10 1
( 10 1)
− = − + = − +
= −
<3>- Nhóm các số hạng: Sử dụng các tính chất của phép cộng đại số.
Ví dụ :
. 6 2 3 (6 2 ) ( 3 )
2(3 ) (3 ) (3 )(2 )
+ + + = + + +
= + + + = + +
a ab a b a ab b
a b a a b
b.

x
-2) =(
x
-2) (
x
-3)
 Lưu ý : Nếu đặt
x
=a , ta có : x -5
x
+ 6 = a
2

- 5a + 6
* Đơi khi có nhiều biểu thức đòi hỏi phải phối hợp các phương pháp cùng lúc.
BÀI TĨAN 1: Tính và rút gọn các biểu thức
D ạng 1 (Tự giải)
a.
(5 2 4 3)(2 3 6 2) 3(4 2 1)+ − − −
b.
2 ( 3) ( 3)x x x x− + +
c.
( 1)(3 1) (2 1)( 2)x x x x− + − + −
Dạng 2:Tính.
a.
33
6
23
5
13

−
−
+
=
)33)(33(
)33(6
)23)(23(
)23(5
)13)(13(
)13(4
−+
+
+
−+
+
−
−+
−
=
6
)33(6
1
)23(5
2
)13(4
−
+
+
−
+

−−
−
=
=
−+
−
=
+
−
=
+−
)33)(33(
)33(
33
33
2
33
:
2
33
2
32
6
3612
−=
−
e. Áp dụng cách giải Ví dụ 4.1:
625625
−−+
=

phân thức
3
1
−
−
x x
x
, như thế sẽ gặp khó khăn khi thực hiện cơng việc rút gọn biểu thức
đã cho .
*Dạng tích hoặc thương: Rút gọn biểu thức
B=
2 1
: 1
1
1 1
x x
x
x x x x x
   
− +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
+ − − −
   
Giải :
2
: x 0, x 1
2 1 2 1 1
: : 1 :

x
x x
*Dạng phối hợp: Rút gọn biểu thức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
19
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C=
( )
2
2
2 1 1
:
x y
xy x y
x y
 
+
− −
 ÷
 ÷
−
 
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2

a.M =
1,0,
1
21
1
2
12
2
≠>
−
=
+
⋅






−
−
−
++
+
aa
a
a
a
a
a

2
Giải :
a.Có thể "hữu tỉ hóa": Đặt
xa
=

M =
=
+
⋅






−
−
−
++
+
x
x
x
x
xx
x 1
1
2
12

−
⋅
+
−+
a
−=
1
BÀI TĨAN 4. Bài tóan có nội dung liên quan đến biểu thức rút gọn.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức với giá trị cho trước của biến.
Ví dụ: Xem ví dụ 6b
Áp dụng :
x 4 x 4
ChoH .Tính giá trò của H , biết x =4-2 3
x
+ +
=
2
HD: 4-2 3 = ( 3 1) thay vào H .−

Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó
Ví dụ 1:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
20
{
4x 0
x 3 0
>
− >
{

-4 -2 -1 1 2 4

x
-1 1 2 4 5 7
x
/ 1 4 16 25 49
Ta thấy: Các giá trị x tìm được ở trên đều thỏa mãn ĐK (*). Vậy: x ∈ { 1;4;16;25;49}
Lưu ý: Khi x ngun thì
x
hoặc ngun (x chính phương), hoặc vơ tỉ (x khơng
chính phương). Nếu
x
là số vơ tỉ thì
x
-3 là số vơ tỉ. Khi đó
4
x 3−
khơng ngun .Vậy
x
cũng phải ngun .
Ví dụ 2:
4x
Cho B .Tìm x để B>0
x 3
=
−
Giải: ĐK: x≥ 0, x ≠ 9 (**)
 Chú ý: Phân thức có giá trị dương khi và chỉ khi tử và mẫu của nó cùng dấu !
4x
Vậy B>0 >0

x< 9
AD:
+ +
= ∀ >
2x 4 x 2
Chứng minh rằng Q >6, x 0
x
Dạng 3: Chứng minh một tính chất nào đó của biểu thức :
Ví dụ :
= > ∀ >
− +
xy
Chứng minh rằng P 0, x, y 0
x xy y
Giải :
∀ >x, y 0
=>
xy 0>
Cần chứng minh
x xy y− +
> 0
Thật vậy, ta có :
2
2 2
y y y
3y 3y
x xy y = ( x) 2 x ( ) x 0, x,y>0
2 2 4 2 4
 
 ÷

 ÷ ÷
+
− +
  
−
1 Cho bi u th c
ĐS: 0≤ a ≠ 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
22
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2
3 3
a
a.A
1 a
1 a 1 a
b.M = a(A ) a ( a 1)
2 2 2(1 a)
1 a
a
a 0 0 ,a 1 ( a 1) 0.Vậy M 0.
2(1 a)
*Cần chú ý: a ( a)
=
+
 
− = − = − −

+ + > + + = + +
 
 
x x 1 1 2 x
3. ể ứ :  C ( +- ):( )
x 1
x x x x 1 x 1 x x x x 1
a.Rút gọn C .
b.Tìm xđể C C.
+
= −
+
+ + + − − + −
>
Cho bi u th c
ĐS: 0≤ x ≠ 1

x 1
C
x 1
C C C 0( x 1 0)
+
=
−
> ⇔ < + >
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
23
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

minH 1 khi x 0
= −
+
< − <=> ≤ <
= − < => <=>
+ +
=> = − =
Bài tập :

x x 1 x x 1 1 x 1 x 1
1. ể ứ :  Q - x +
x x x x x x 1 x 1
a.Rút gọn Q .
b.Tìm xđểQ 7.
C.Tìm giá trò của x để Q>6.
 
 
− + + −
= + −
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
=
Cho bi u th c
2
3 3
2. ể ứ :  P + 1 a : 1

Sơ đồ giải :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
24
{
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⇔=
)()( xgxf
VÍ DỤ 1(BÀI 60/33 SGK TĨAN 9 TẬP 1): Giải phương trình
)1(,11644991616
−≥+−=+++−+
xxxxx
(1)
Giải :
16144991616)1(
=+++++−+⇔
xxxx

⇔

161121314
=+++++−+
xxxx

⇔

14
+
x



− − =

2
1
3
2 3 2 0
x
x x
Giải phương trình 2x
2
-3x -2 = 0 ,được x
1
= 2(tmđk) ,x
2
=
2
1
−
(loại)
Vậy S =
{ }
2
CÁCH 2:
+ + = −
2
6 9 3 1x x x
(2)
⇔