BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
-----888-----

ĐỖ THỊ LAN ANH

PHÁT TRIỂN VĂN HÓA TOÁN HỌC CHO
HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
-----888-----

ĐỖ THỊ LAN ANH

PHÁT TRIỂN VĂN HÓA TOÁN HỌC CHO
HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Chuyên ngành: Lí luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số : 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS Vương Dương Minh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
TT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

HS

Học sinh

2

GV

Giáo viên

3

THPT

Trung học phổ thông

4

DH

Dạy học


10

HH

Hình học

11

NCS

Nghiên cứu sinh


iii
MỤC LỤC
2.1. Nội dung Hình học không gian lớp 11 ở trường THPT ...............................................44


1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, đất nước chúng ta không
chỉ cần có những người lao động mới, năng động, tự chủ, sáng tạo mà còn cần
cả những người có đạo đức, phẩm chất, thẩm mĩ … Luật giáo dục Việt Nam
năm 2005 đã ghi rõ: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát
triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mĩ và nghề nghiệp, trung
thành với lí tưởng độc lập dân tộc và Chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi
dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của
sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. để hoàn thành mục tiêu đó, luật giáo

hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Làm rõ cơ sở lý luận, thực tiễn và đề xuất các nguyên tắc phát triển văn
hóa toán học cho HS thông qua PPDH PH và GQVĐ;
- Đề xuất các biện pháp phát triển văn hóa toán học cho HS thông qua
PPDH PH và GQVĐ.
3. Để đạt được mục tiêu, phải giải đáp được các câu hỏi khoa học sau:
Câu hỏi 1: Văn hóa toán học là gì?
Câu hỏi 2: Thực trạng về trình độ văn hóa toán học của học sinh ở
trường THPT? Vì sao văn hóa toán học cần được phát triển trong trường
THPT?
Câu hỏi 3: Dạy học PH và GQVĐ được vận dụng như thế nào nhằm phát
triển văn hóa toán học?
Câu hỏi 4: Áp dụng những kết quả của câu hỏi 3 vào thực tiễn dạy học sẽ
mang lại những kết quả gì về yêu cầu phát triển văn hóa toán học và những
yêu cầu dạy học khác.
4. Phương pháp nghiên cứu
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và các tài liệu về Tâm lý học, Giáo
dục học, về văn hóa toán học để làm rõ các quan điểm về văn hóa nói chung


3
và văn hóa toán học nói riêng.
Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và PPDH môn Toán làm điểm tựa để
đề xuất các phương pháp phát triển văn hóa toán học cho HS; để làm sáng tỏ
vai trò của PPDH PH và GQVĐ đối với sự hình thành và phát triển văn hóa
toán học cho HS; để có cách thức vận dụng PPDH PH và GQVĐ vào phát
triển văn hóa toán học cho HS.

qua đó phát triển văn hóa toán học cho HS; Những đề nghị khác của GV và
cán bộ quản lí ở các cấp có liên quan.
+ Lập và thực hiện kế hoạch điều tra, quan sát: Xây dựng kế hoạch
khảo sát; Thiết kế phiếu hỏi, xây dựng nội dung phỏng vấn; Khảo sát thử; Xử
lý kết quả khảo sát thử và hoàn chỉnh phiếu hỏi; Khảo sát diện rộng ; Xử lí và
phân tích số liệu khảo sát.
c) Thực nghiệm sư phạm và thống kê trong khoa học giáo dục:
Tiến hành thực nghiệm một số biện pháp đã đề xuất, nhằm minh họa
bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp. Thực nghiệm sư
phạm tại một số lớp tại trường THPT nhằm kiểm định giả thuyết khoa học,
kiểm định tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong trong quá
trình dạy học môn toán ở trường THPT nhằm phát triển văn hóa toán học một
cách chủ động thì văn hóa toán học sẽ được phát triển ở mỗi HS góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở trường phổ thông, hình thành nên
những con người vừa có đức vừa có tài cho xã hội.
6. Những đóng góp của đề tài
- Luận án giúp cho GV có những căn cứ và nguyên tắc để phát triển
văn hóa toán học cho HS thông qua PPDH PH và GQVĐ
- Luận án là tài liệu tham khảo cho GV, sinh viên sư phạm toán;
- Sản phẩm là các biện pháp phát triển văn hóa toán học cho HS thông
qua PPDH PH và GQVĐ.
7. Cấu trúc luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:


5
Chương 1: Văn hóa toán học
Chương 2: Thực trạng về trình độ văn hóa toán học của học sinh khi

nghĩa này, mối quan hệ giữa cá nhân, tập thể và môi trường là quan trọng
trong việc hình thành văn hóa của con người. Một định nghĩa khác về văn hóa
mà A.L. Kroeber và Kluckhohn đưa ra là “Văn hóa là những mô hình hành
động minh thị và ám thị được truyền đạt dựa trên những biểu trưng, là những
yếu tố đặc trưng của từng nhóm người… Hệ thống văn hóa vừa là kết quả
hành vi vừa trở thành nguyên nhân tạo điều kiện cho hành vi tiếp theo”…


7
Ở Việt Nam, văn hóa cũng được định nghĩa rất khác nhau. Hồ Chí
Minh cho rằng “Vì lẽ sinh tồn cũng như mục đích của cuộc sống, loài người
mới sáng tạo và phát minh ra ngôn ngữ, chữ viết, đạo đức, pháp luật, khoa
học, tôn giáo, văn học, nghệ thuật, những công cụ cho sinh hoạt hằng ngày về
mặt ăn, ở và các phương thức sử dụng. Toàn bộ những sáng tạo và phát minh
đó tức là văn hóa”[5]. Với cách hiểu này, văn hóa sẽ bao gồm toàn bộ những
gì do con người sáng tạo và phát minh ra. Cũng giống như định nghĩa của
Tylor, văn hóa theo cách nói của Hồ Chí Minh sẽ là một “bách khoa toàn thư”
về những lĩnh vực liên quan đến đời sống con người.
Trần Ngọc Thêm cho rằng: Văn hóa là một hệ thống hữu cơ các giá trị
vật chất và tinh thần do con người sáng tạo và tích lũy qua quá trình hoạt
động thực tiễn, trong sự tương tác giữa con người với môi trường tự nhiên và
xã hội của mình”
Theo Từ điển Tiếng Việt: “Văn hóa là tổng thể nói chung những giá trị
vật chất và tinh thần do con người sáng tạo ra trong quá trình lịch sử; là những
hoạt động của con người nhằm thỏa mãn nhu cầu đời sống tinh thần; là tri thức,
kiến thức khoa học; trình độ cao trong sinh hoạt xã hội, biểu hiện của sự văn
minh; nền văn hóa của một thời kì lịch sử cổ xưa, được xác định trên cơ sở một
tổng thể những di vật tìm thấy được có những đặc điểm giống nhau”.
Trong những năm gần đây, một số nhà nghiên cứu ở Việt Nam và kể cả
ở nước ngoài khi đề cập đến văn hóa, họ thường vận dụng định nghĩa văn hóa

hội, nghệ thuật, tín ngưỡng, văn chương, …
Với cách hiểu này cùng với những định nghĩa đã nêu thì văn hóa chính
là nấc thang đưa con người vượt lên trên những loài động vật khác; và văn
hóa là sản phẩm do con người tạo ra trong quá trình lao động nhằm mục đích
sinh tồn. Văn hóa chỉ được bộc lộ khi con người tương tác với cộng đồng xã
hội, với thế giới tự nhiên. Nhờ có văn hóa mà con người trở nên độc đáo trong
thế giới sinh vật và khác biệt so với những con vật khác trong thế giới động
vật, và do được chi phối bởi môi trường xung quanh và tính cách tộc người
nên văn hóa ở mỗi tộc người sẽ có những đặc trưng riêng.


9
1.2. Khái niệm văn hóa toán học.
Văn hóa toán học, trước hết là văn hóa, và là cái được tạo nên từ việc
học tập và nghiên cứu toán học. Trong thực tế, có nhiều người ít dùng trực
tiếp kiến thức toán học vào thực tiễn, nhưng không ai phủ nhận rằng, những
người học toán tốt thường có tư duy tốt, những phẩm chất của tư duy được
hấp thụ qua việc học toán, làm toán và bền vững đến mức dù có quên các kiến
thức toán học thì các phẩm chất đó vẫn còn được gọi là văn hóa toán học.
Theo Trần Kiều, ông nêu lên định nghĩa về văn hoá thuật toán (vốn
đã có) để từ đó tìm cách biểu đạt khái niệm văn hoá toán học. Văn hoá thuật
toán (văn hoá angorit) là tập hợp những ý niệm, kỹ năng, thói quen cần thiết
về thuật toán cần phải hình thành và phát triển trong mỗi con người để sống
và làm việc trong một xã hội hiện đại. Căn cứ vào những thuộc tính bản chất
của các khái niệm văn hoá toán học, đồng thời sử dụng cách diễn đạt nói
trên, có thể tạm đưa ra một định nghĩa như sau: “Văn hoá toán học là tập
hợp những tri thức, kỹ năng toán học, những thói quen suy nghĩ mang đặc
trưng toán học để thích ứng một cách văn hoá với các tình huống (khi cấn
thiết) trong cuộc sống”.
Theo Bùi Văn Nghị: “Văn hóa toán học bao gồm tổng thể những tri

liên quan đến hệ thống giá trị và năng lực của mỗi người, giúp con người nâng
cao chất lượng cuộc sống.
1.3.1. Tư duy
1.3.1.1. Khái niệm tư duy
Trong tác phẩm “Rèn luyện tư duy trong DH toán” , PGS.TS Trần
Thúc Trình có định nghĩa: “TD là một quá trình nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện
tượng mà trước đó chủ thể chưa biết”.
Như thế ta có thể coi TD là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc
tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự
vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan.
TD có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ
nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có


11
vấn đề. Dù cho TD có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung của
TD cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính.
Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành
các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của TD. Ngôn ngữ được xem là
phương tiện của TD.
Sản phẩm của TD là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu
đạt bằng những từ, ngữ, câu, ..., ký hiệu, công thức, mô hình.
TD mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng.
Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và
lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Ví dụ 1: Bài toán “Cho các số a, b, c thỏa mãn a 2011 (a + b + c) < 0 .
Chứng minh b 2 − 4ac > 0 ”. Trong tư duy, HS liên tưởng đến sử dụng kiến
thức về tam thức bậc hai nhưng lại gặp chướng ngại: chưa có tam thức bậc hai
trong bài toán. Từ đó kích thích học sinh tư duy biến đổi:

- Kiểm tra các giả thuyết
- Giải quyết nhiệm vụ
K.K Platonov đưa ra sơ đồ sau:
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng, hình
thành giả thuyết

Khẳng định

Phủ định

Chính xác hoá
Giải quyết vấn đề

Hành động TD mới


13
Như vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều
thao tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp,
so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá.
Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu
hiện ở khả năng con người có thể xây dựng được những khái niệm chung gắn
liền với sự trình bày của những quy luật tương ứng.
1.3.1.4. Các loại hình tư duy
Các nhà nghiên cứu đã đặt cho tư duy rất nhiều loại hình tư duy như tư
duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lí luận, …Sự phân chia

ngữ tự nhiên.
- Ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ “biến”, “công thức” làm
cho nó rất thích hợp để khái quát, diễn đạt các quy luật chung.
Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được
biểu đạt bằng từ, ngữ, câu, kí hiệu, công thức, … Tư duy con người sử dụng
khái niệm để ghi lại những kết quả trừu tượng hóa. Nhờ trừu tượng hóa mà tư
duy đã chỉ ra được những mối liên hệ, quan hệ của rất nhiều sự vật, hiên
tượng, nêu ra được những khái niệm, những phạm trù, những quy luật phản
ánh các mối liên hệ, quan hệ nội tại của các sự vật, hiện tượng đó. Trên cơ sở
những nhận thức ban đầu, bộ óc xuất hiện những phán đoán, suy luận.
iii, Tư duy trực giác: là tư duy đặc trưng bởi trực tiếp nắm bắt được
chân lí một cách bất ngờ, đột nhiên, chớp nhoáng, không dựa vào hoạt động
lôgic của ý thức, gắn với tưởng tượng. Sản phẩm của tư duy trực giác mang
tính chất dự báo, cần kiểm tra tính đúng đắn bằng thực nghiệm và lôgic, nó
thường dẫn đến những nhận thức mới mẻ, sáng tạo.
1.3.1.5. Các hình thức tư duy
i, Khái niệm
Khái niệm là một hình thức TD phản ánh một lớp đối tượng và do đó
nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội hàm. Bản
thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các
thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng


15
đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm
càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
ii, Phán đoán
Phán đoán là hình thức TD, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc
hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và
nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.



16
học, hiểu lí do tại sao các ý tưởng được vận hành, phát triển một chuỗi kiến
thức được kết nối và đầy sức mạnh.
Polya (1954) cho rằng toán học tồn tại hai kiểu suy luận: suy luận diễn
dịchvà suy luận có lí. Suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, không chối
cải được, và dứt khoát. Còn suy luận có lí là suy luận không chắc chắn và có
thể gây tranh cải.
- Suy luận diễn dịch không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản
mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế
giới đều có liên hệ với suy luận có lí
- Suy luận diễn dịch có những tiêu chuẩn chặc chẽ và nhất quán, được
ghi lại thành quy tắc và được giải thích bằng lôgic. Những tiêu chuẩn của các
suy luận có lí rất linh động.
Mặc dù khác nhau như vậy, nhưng hai loại suy luận này không mâu
thuẫn mà trái lại bổ sung cho nhau. Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề cập đến
hai loại suy luận có lí là suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy.
i, Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch là suy luận có hai thuộc tính cơ bản: thứ nhất, xuất
phát từ những tiền đề khái quát; thứ hai, kết luận rút ra một cách tất yếu. Tùy
thuộc tính chất của phán đoán tiền đề để phân loại suy diễn nhất quyết, hay có
điều kiện hoặc lựa chọn. Có thể hiểu:
Suy luận diễn dịch là suy luận theo một quy tắc thỏa mãn điều kiện:
Nếu tiền đề đúng thì kết luận đúng. Kí hiệu:

A
B

Trong toán học, thường gặp hai loại suy diễn sau đây:

bằng 1800, người học có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giả thuyết
bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng
1800. Giả thuyết này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lí cơ
bản trong hình học.
- Suy luận ngoại suy


18
Ngoại suy là loại suy luận trung tâm của tất cả các lĩnh vực như triết
học, khoa học máy móc, trí tuệ nhân tạo, khảo cổ học, luật, khoa học tội
phạm…Nói một cách đơn giản thì ngoại suy là suy luận để giải thích cho một
quan sát.
Ví dụ: Dùng ngoại suy để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: có
thể đưa ra giả thuyết như sau, phải chăng hai đoạn thẳng này là hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau và tìm xem hai tam giác nào chứa hai
cạnh đó mà bằng nhau không? Đó là kết quả của suy luận ngoại suy và kết
quả này chưa chắc chắn đúng. Hoặc, trong cuộc sống hằng ngày, sau một đêm
thức dậy nếu nhìn thấy cỏ trước sân bị ướt, chúng ta có thể đưa ra giả thuyết
bằng suy luận ngoại suy: có thể trời đã mưa, hay ai đó đã tưới cây.
Theo Patokorpi (2006), suy luận ngoại suy là quá trình suy luận nhằm
tìm kiếm những giả thuyết phù hợp nhất để giải thích cho một kết quả quan
sát được. Nói cách khác, suy luận ngoại suy trả lời cho câu hỏi: Đây là trường
hợp của quy tắc nào? Điều gì dẫn đến kết quả này?
Vậy ngoại suy là suy luận đi ngược lại từ các kết quả (các hệ quả) đến
nguyên nhân hay điều xảy ra trước đó, nhằm giải thích cho một kết quả gây
ngạc nhiên với người suy luận. Giả thuyết của ngoại suy là có lí nhưng không
chắc chắn đúng. Ngoại suy là suy luận mở đầu cho quá trình khám phá.
1.3.1.6. Một số hoạt động tư duy ngoài suy diễn
i, Khái quát hóa
Khái quát hoá là thao tác TD nhằm hợp nhất nhiều đối trượng khác

Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái
riêng lẻ đến cái tổng
quát

Khái quát hóa từ cái
tổng quát đến cái
tổng quát hơn

Khái quát hóa
tới cái tổng quát
đã biết

Khái quát hóa
tới cái tổng quát
chưa biết


20
Ta xét hai ví dụ sau:
Ví dụ 1:
a) Ta có

1
1 1
1
1 1
= − ;
= − ;…


Như vậy, từ a là các trường hợp riêng lẻ, khái quát hóa thành b là cái
tổng quát đã biết (quen thuộc); từ a và b tới c là khái quát hóa tới cái tổng
quát chưa biết; kết quả thu được chứa đựng ý nghĩa sáng tạo to lớn (có thể
dùng kết quả này cho việc tính nguyên hàm và tích phân của hàm dạng
1
hay chứng minh một số đẳng thức về tổ hợp).
(ax + b) (cx + d ) m
n

Nói về vai trò của khái quát hóa ta có thể khẳng định: “ Là một thông
số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của tư duy và là cơ sở duy nhất
để phân biệt giữa tư duy lí luận và tư duy kinh nghiệm, năng lực khái quát
hóa ở mỗi con người luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập và
nghiên cứu, khi được phát triển tới mức độ cao, chính năng lực này sẽ giúp
mỗi con người tách được cái chung, bản chất, những mối liên hệ bên trong
của tài liệu nghiên cứu học tập bằng con đường phân tích chỉ một sự kiện
điển hình mà thôi. Bằng con đường đó con người có thể tiết kiệm thời gian
sức lực của mình, biết cách khám phá tri thức khoa học bằng những phương
pháp tối ưu…”.
Trong toán học, khái quát hóa liên kết chặt chẽ với các thao tác tư duy
khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt hóa…Khái quát
hóa là thao tác tư duy cơ bản, đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành
các khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện vấn đề và đề xuất kiến thức mới,
hình thành tri thức phương pháp giải toán…