BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

TĂNG THỊ HUÊ

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG
CỦA HỢP KIM THAY THẾ AB XEN KẼ NGUYÊN TỬ C
VỚI CẤU TRÚC LẬP PHƢƠNG TÂM DIỆN
BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Hà Nội, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

TĂNG THỊ HUÊ

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG
CỦA HỢP KIM THAY THẾ AB XEN KẼ NGUYÊN TỬ C
VỚI CẤU TRÚC LẬP PHƢƠNG TÂM DIỆN
BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN
Chuyên ngành:

Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số:

60.44.01.03


Tăng Thị Huê


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng luận văn mang tên “Nghiên cứu tính chất nhiệt động
của hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc lập phương tâm diện
bằng phương pháp thống kê mômen” là công trình nghiên cứu riêng của tôi. Các số
liệu trình bày trong luận án là trung thực, đã được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào khác.
Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Tăng Thị Huê


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
DANH MỤC BẢNG BIỂU
DANH MỤC ĐỒ THỊ, HÌNH VẼ
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................. 11
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................. 11
2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................................... 12
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 13
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn ..................................................................... 13
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................................... 14

2.2.9. Nhiệt dung đẳng áp ...................................................................................................... 38
2.2.10. Hệ số nén đoạn nhiệt…………………………………………………………………38
2.2.11. Môđun đàn hồi đoạn nhiệt..................................................................................38
2.3. Năng lượng tự do và khoảng lân cận gần nhất trung bình trong các hợp kim xen
kẽ nhị nguyên và tam nguyên với cấu trúc LPTD ở áp suất không..........................38
2.3.1. Năng lượng tự do của hợp kim thay thế AB .............................................................. 38
2.3.2. Năng lượng tự do của hợp kim xen kẽ AC ................................................................ 43
2.3.3. Các thông số của hợp kim xen kẽ AC…………………………………………………43
2.3.4. Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa các nguyên tử trong hợp kim xen kẽ AC
2.3.5. Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa các nguyên tử trong hợp kim thay thế
AB xen kẽ nguyên tử C hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C ………………………49.
2.3.6. Năng lượng tự do trong hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C.................49
2.4. Các đại lượng nhiệt động của hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc
LPTD ở áp suất không …………………………………………………………………… 50
2.4.1. Hệ số nén đẳng nhiệt…………………………………………………………………50
2,4.2. Môđun đàn hồi đẳng nhiệt…………………………………………………………51
2.4.3. Hệ số dãn nở nhiệt ........................................................................................................ 51
2.4.4. Năng lượng ................................................................................................................... 51
2.4.5. Entrôpi………………………………………………………………………………… 52
2.4.6. Nhiệt dung đẳng tích..................................................................................................... 52
2.4.7. Nhiệt dung đẳng áp ...................................................................................................... 52
2.4.8. Hệ số nén đoạn nhiệt…………………………………………………………………52
2.4.9. Môđun đàn hồi đoạn nhiệt…………………………………………………………….52


Kết luận chương 2 .................................................................................................................. 53
CHƢƠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH SỐ ĐỐI VỚI CÁC ĐẠI LƢỢNG NHIỆT ĐỘNG
CỦA HKXK AuCuLi Ở ÁP SUẤT KHÔNG.............................................................. 54
3.1. Thế tương tác giữa các nguyên tử trong hợp kim xen kẽ............................................. 54
3.2. Xác định các thông số của kim loại và hợp kim xen kẽ AC với cấu trúc LPTD ...... 57


Hợp kim xen kẽ

PPTKMM

Phương pháp thống kê mômen

TN

Thực nghiệm

LPTK

Lập phương tâm khối

LPTD

Lập phương tâm diện

LGXC

Lục giác xếp chặt

ĐHSP

Đại học Sư phạm

ĐHQG

Đại học Quốc gia


Phương pháp hàm Green tự hợp

MEAM

Phương pháp nguyên tử nhúng biến dạng

MD

Động lực học phân tử

CPA

Gần đúng thế kết hợp


DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1. Các thông số thế n-m của vật liệu [1- 3, 5-7] ................................. 46
Bảng 3.2. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của khoảng
lân cận gần nhất trung bình a đối với Au-6Cu -xLi ở P = 0 ......................... 52
Bảng 3.3. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của
khoảng lân cận trung bình a đối với Au-xCu -0.6Li ở P = 0 ........................ 53
Bảng 3.4. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của hệ số
nén đẳng nhiệt T 1012 Pa 1  đối với Au-6Cu-xLi ở P = 0 ............................. 54
Bảng 3.5. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của hệ số
nén đẳng nhiệt T 1012 Pa 1  đối với Au-xCu-0,6Li ở P = 0........................... 55
Bảng 3.6. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của môđun
đàn hồi đẳng nhiệt BT 1011 Pa  đối với Au-6Cu-xLi ở P = 0 ............................ 56
Bảng 3.8. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của hệ số

Hình 1.1. Hợp kim thay thế và hợp kim xen kẽ. ............................................... 7
Hình 1.2. Giản đồ pha của Au[28] .................................................................... 8
Hình 3.1. Đường cong thế năng tương tác giữa hai hạt. ................................. 46
Hình 3.2. a  cLi  ở P = 0. T = 100. 500.700 và 1000K đối với Au-6Cu-xLi. 53
Hình 3.3. a  cCu  ở P = 0. T = 300. 500. 700 và 1000K đối với Au-xCu-0,6Li
......................................................................................................................... 53
Hình 3.4. a(T) ở P = 0. cLi  0, 0,5, 0,7 và 1% đối với Au-6Cu-xLi ............... 53
Hình 3.5. a(T) ở P = 0. cCu  0, 2, 4 và 6 % đối với Au-xCu-0,6Li................. 53
Hình 3.6. T  cLi  ở P = 0. T = 100. 500. 700 và 1000K đối với Au-6Cu-xLi 55
Hình 3.7. T  cCu  ở P = 0. T = 50. 300. 500. 700 và 1000K đối với Au-xCu0,6Li ................................................................................................................ 55
Hình 3.8. T T  ở P = 0. cLi  0, 0,5, 0,7 và 1% đối với Au-6Cu-xLi ........... 55
Hình 3.9. T T  ở P = 0. cCu  0, 4 và 6% đối với Au-xCu-0,6Li ................ 55
Bảng 3.7. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của
môđun đàn hồi đẳng nhiệt BT 1011 Pa  đối với Au-xCu-0,6Li ở P = 0 ............ 57
Hình 3.10. BT  cLi  ở P = 0, T = 100, 500, 700 và 1000K đối với Au-6Cu-xLi . 57
Hình 3.11. BT  cCu  ở P = 0, T = 50, 300, 500, 700 và 1000K đối với Au-xCu0,6Li ................................................................................................................ 57
Hình 3.12. BT T  ở P = 0, cLi  0, 0,3, 0.5, 0.7 và 1% đối với Au-0,6Cu-xLi 58
Hình 3.13. BT T  ở P = 0, cCu  0, 2 và 6% đối với Au-xCu-0,6Li ................ 58
Hình 3.14. T  cLi  ở P = 0, T = 100, 500, 700 và 1000K đối với Au-6Cu-xLi. . 59
Hình 3.15. T  cLi  ở P = 0, T = 50, 300, 700 và 1000K đối với Au-xCu-0,6Li ....59


Hình 3.16. T T  ở P = 0, cLi  0,3, 0,5, 0,7 và 1% đối với Au-6Cu-xLi .... 60

11


Hình 3.17. T T  ở P = 0, cCu  1, 4 và 6% đối với Au-xCu-0,6Li ................ 60
Hình 3.18. CV  cLi  ở P = 0, T = 500, 700 và 900K đối với Au-6Cu-xLi........ 62
Hình 3.19. CV  cCu  ở P = 0, T = 50, 300, 500, 700 và 1000K đối với Au-xCu0,6Li ................................................................................................................ 62

Tùy theo cấu hình của từng loại hợp kim, người ta chia hợp kim làm hai loại là
hợp kim thay thế (HKTT) và hợp kim xen kẽ (HKXK).
Hợp kim nói chung và hợp kim xen kẽ nói riêng là những vật liệu phổ biến
trong khoa học và công nghệ vật liệu. Việc nghiên cứu hợp kim xen kẽ đã và đang
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Có nhiều phương pháp lý thuyết trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp
kim như phương pháp giả thế, phương pháp phiếm hàm mật độ, phương pháp thống
kê mômen (PPTKMM),…PPTKMM do GS Nguyễn Hữu Tăng đề xuất và được
nhóm nghiên cứu của GS Vũ Văn Hùng tại Đại học Sư phạm Hà Nội phát triển
mạnh trong khoảng 30 năm trở lại đây. Về nguyên tắc, có thể áp dụng PPTKMM để
nghiên cứu các tính chất cấu trúc, nhiệt động, đàn hồi, khuếch tán, chuyển pha, …
của các loại tinh thể khác nhau như kim loại, hợp kim, tinh thể và hợp chất bán dẫn,
chất bán dẫn có kích thước nano, tinh thể ion, tinh thể phân tử, tinh thể khí trơ, siêu
mạng, tinh thể lượng tử, màng mỏng, graphen,… với các cấu trúc LPTK, LPTD,
LGXC, kim cương, sunfua kẽm,…trong khoảng rộng của nhiệt độ từ 0 K đến nhiệt

1


độ nóng chảy và dưới tác dụng của áp suất. Gần đây, một số kết quả nghiên cứu về
hợp kim thay thế và hợp kim xen kẽ bằng PPTKMM được đề cập trong một số công
trình như nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim thay thế AB với các cấu trúc
LPTD và LPTK trong luận án TS của Phạm Đình Tám (1998)[5], nghiên cứu về
tính chất đàn hồi của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc LPTK trong luận văn ThS của
Nguyễn Thị Thu Hiền (2009)[3], nghiên cứu biến dạng đàn hồi của hợp kim thay
thế AB xen kẽ C với cấu trúc LPTK trong luận văn ThS của Hồ Thị Thu Hiền
(2009)[1], nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc
LPTK trong luận văn ThS của Đinh Thị Thanh Thủy (2015)[8], nghiên cứu tính
chất nhiệt động của hợp kim xen kẽ AB với cấu trúc LPTD trong luận văn ThS của
Trần Thị Cẩm Loan (2015)[9], … Có nhiều kết quả thu được phù hợp tốt với số liệu

Công thức này cho phép biểu diễn các mômen cấp cao qua các mômen cấp thấp hơn
và do đó có thể xác định tất cả các mômen của hệ mạng. Công thức mômen cho
phép nghiên cứu các tính chất nhiệt động phi tuyến của vật liệu khi tính đến tính phi
điều hòa của dao động mạng.
Về nguyên tắc, có thể áp dụng PPTKMM để nghiên cứu các tính chất cấu trúc,
nhiệt động, đàn hồi, khuếch tán, chuyển pha, … của các loại tinh thể khác nhau như
kim loại, hợp kim, tinh thể và hợp chất bán dẫn, chất bán dẫn có kích thước nano,
tinh thể ion, tinh thể phân tử, tinh thể khí trơ, siêu mạng, tinh thể lượng tử, màng
mỏng, grafen,… với các cấu trúc LPTK, LPTD, LGXC, kim cương, sunfua kẽm,
florite trong khoảng rộng của nhiệt độ từ 0 K đến nhiệt độ nóng chảy và dưới tác
dụng của áp suất. PPTKMM đơn giản và rõ ràng về mặt vật lý. Một loạt tính chất cơ
nhiệt của tinh thể được biểu diễn dưới dạng các biểu thức giải tích trong đó có tính
đến các hiệu ứng phi điều hòa và tương quan của các dao động mạng. Có thể dễ
dàng tính số biểu thức giải tích của các đại lượng cơ nhiệt. PPTKMM không phải sử
dụng sự làm khớp và lấy trung bình như phương pháp bình phương tối thiểu. Các
tính toán theo PPTKMM trong nhiều trường hợp phù hợp tốt với thực nghiệm hơn
các phương pháp tính toán khác. Có thể kết hợp PPTKMM với các phương pháp
khác như phương pháp biến phân chùm, phương pháp từ các nguyên lý đầu tiên, mô

3


hình tương quan phi điều hòa của Einstein, phương pháp phonon tự hợp, phương
pháp hàm phân bố một hạt, phương pháp trường tự hợp, …
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn
Rút ra biểu thức giải tích đối với các đại lượng nhiệt động của HKTT AB xen
kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTD như các hệ số nén đẳng nhiệt và đoạn nhiệt, hệ
số dãn nở nhiệt, các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp, … phụ thuộc vào nhiệt độ, áp
suất, nồng độ nguyên tử thay thế và nồng độ nguyên tử xen kẽ.
Áp dụng tính số đối với HKXK AuCuLi với cấu trúc LPTD và so sánh kết quả

thể là trật tự hoặc vô trật tự. Vì vậy, mạng tinh thể ít bị biến dạng.
Đối với hợp kim xen kẽ (hoặc hợp kim ngoài nút) các nguyên tử kim loại ở nút
mạng tinh thể được giữ nguyên và xen kẽ vào các chỗ trống là các nguyên tử khác
có kích thước bé hơn như silic, liti, hiđrô,…với nồng độ hạt xen kẽ rất nhỏ cỡ vài
phần trăm. Khi xen kẽ như vậy, mạng tinh thể bị biến dạng cục bộ và các tính nhiệt
động, tính đàn hồi, độ cứng của tinh thể bị thay đổi. Điều này có ý nghĩa rất quan
trọng trong công nghệ vật liệu.
Một hợp kim xen kẽ hoặc một hợp chất xen kẽ là một hợp chất được tạo thành
khi một nguyên tử có bán kính đủ nhỏ nằm trong một “lỗ trống” xen kẽ trong một
mạng kim loại. Các ví dụ về các nguyên tử nhỏ là H, Li, Si, B và N. Các hợp chất
này đóng vai trò quan trọng trong công nghiệp chẳng hạn như một số cacbua và
nitrua kim loại chuyển tiếp.
Ý tưởng về các hợp chất xen kẽ đã được đưa ra thảo luận vào cuối những năm
1930 và chúng thường được gọi là các pha Hagg. Các kim loại chuyển tiếp thường
kết tinh theo các cấu trúc LPTD và LGXC. Cả hai cấu trúc này có thể được xem
như được tạo thành bởi các lớp nguyên tử xếp chặt theo kiểu lục giác. Trong cả hai
loại mạng giống nhau này, có hai loại khoảng trống hay lỗ trống. Loại thứ nhất có 2
lỗ trống tứ diện ứng với một nguyên tử kim loại, nghĩa là một lỗ trống ở giữa bốn

5


nguyên tử kim loại. Loại thứ hai có một lỗ trống bát diện ứng với một nguyên tử
kim loại, nghĩa là một lỗ trống ở giữa sáu nguyên tử kim loại.
Một sự hiểu biết đầy đủ hơn về cấu trúc của các kim loại, các pha nhị nguyên
và tam nguyên của các kim loại và phi kim loại chứng tỏ rằng nói chung ở nồng độ
thấp của nguyên tử nhỏ, có thể mô tả pha như một dung dịch và điều này gần đúng
với mô tả lịch sử của hợp chất xen kẽ nói trên. Ở các nồng độ cao hơn của nguyên
tử nhỏ, có thể có mặt các pha với các cấu trúc mạng khác nhau và chúng có thể có
một phạm vi của các phép hợp thức (stoichiometry).

các khe. Thép là một ví dụ về hợp kim xen kẽ trong đó một số tương đối nhỏ của
các nguyên tử cacbon trượt trong các khe giữa các nguyên tử lớn trong một mạng
tinh thể của sắt.

Hình 1.1. Hợp kim thay thế và hợp kim xen kẽ.
Ta có thể đưa ra một số ví dụ về các cách thức khác nhau trong đó các nguyên
tử xen kẽ tham gia vào hợp kim và các quá trình có liên quan. Các hợp kim xen kẽ
rõ ràng là sản phẩm chủ yếu của công nghiệp thép một cách chủ ý để làm cứng và
tạo thành cacbua hoặc một cách tự nhiên làm tạp chất cần được làm cực tiểu. Các
kim loại cứng chịu nóng được sử dụng trong các công cụ cacbua hoặc cái tương tự
là các hợp kim xen kẽ cơ bản. Các quá trình khuếch tán và ôxi hóa chất rắn phụ

7


thuộc vào sự có mặt của các nguyên tử xen kẽ trong dòng chảy. Các quá trình làm
cứng bề mặt như sự nitrua hóa bao hàm việc đi vào mạng tinh thể của chúng (nói
chung không bền nhưng kéo dài). Việc có mặt các nguyên tử xen kẽ trong các chia
tách vi mô chẳng hạn như tại các lệch mạng, các biên hat thường xác định độ bền cơ
học hoặc đứt gãy của các hợp kim. Các hợp kim « xen kẽ nhân tạo » được tạo ra
khi chiếu xạ hạt nhân vào các kim loại và nhiều mối liên quan mới có thể sinh ra từ
đó.
Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu
tính nhiệt động của HKXK ba thành phần với cấu trúc LPTD.
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu HKXK AuCuLi với cấu trúc LPTD
o

ở áp suất 0,1 MPa, nhiệt độ 25oC với hằng số mạng a = 4,0785 A và có điểm nóng
chảy là 1064oC. Giản đồ pha của Au được chỉ ra trên Hình 1.2 [28].


khuyết tật được sinh ra bởi sự mất trật tự của kích thước nguyên tử chủ yếu là các
lệch mạng và các phức lệch mạng. Chúng có vai trò quan trọng đối với sự mất ổn
định pha tinh thể. Bản chất của sự chuyển tiếp được xác định bởi các tính chất
khuyết tật như năng lượng tạo thành và mật độ và bởi các điều kiện động học.
Các tính chất nhiệt đã được tính toán trong phép gần đúng chuẩn điều hòa bằng
cách sử dụng các tán sắc phonon từ lý thuyết nhiễu loạn phiếm hàm mật độ (DFPT)
và phương pháp sóng phẳng giả thế (PPWM) [10]. Năng lượng tự do thu được cung
cấp các dự đoán đối với sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng khác nhau như

9


thông số mạng cân bằng và môđun đàn hồi và nhiệt dung. Các kết quả thu được đối
với các tính chất nhiệt phù hợp tốt với số liệu sẵn có trong phạm vi rộng nhiệt độ.
Chẳng hạn như tần số phonon và các đường cong tán sắc thông số Gruneisen trong
công trình này phù hợp tốt với thực nghiệm.
Việc mô hình hóa các hậu quả của các khuyết tật tinh thể đòi hỏi việc lấy mẫu
tương tác có hiệu quả. Các thế kinh nghiệm có thể chỉ ra các cách thức có liên quan
nếu ta bẫy được các khuyết tật cạnh tranh. Trong công trình [19] người ta phát triển
một thế như vậy đối với hợp kim α-Fe có cấu trúc LPTK siêu bão hòa trong C với
nồng độ khuyết tật điểm tùy ý. Thế này đã được tính có kết quả tốt đối với các
khuyết tật có năng lượng cao, dự đoán các năng lượng tạo thành và cấu hình của các
chùm nhiều nút khuyết nhiều cacbon mà chúng không thể đạt được với các thế đang
tồn tại hoặc được chỉ ra trước đây qua các phương pháp ab initio.
Các tính chất cấu trúc, đàn hồi và nhiệt của

đã được nghiên cứu bằng

cách sử dụng thế của phương pháp nguyên tử nhúng biến dạng (MEAM) cho các
hợp kim FeC [21]. Các thế nguyên tử riêng cho Fe và C trước đây đã được dùng để

được nghiên cứu. Người ta phát hiện thấy rằng nút khuyết có năng lượng tạo thành
và di chuyển trong pha LPTK của Cu nhỏ hơn so với trong -Fe và nguyên tử tự
xen kẽ có năng lượng tạo thành rất nhỏ trong pha này của Cu. Năng lượng dịch
chuyển ngưỡng trong Fe được tính như là một hàm của sự định hướng giật lùi
(recoil) đối với những sự giật lùi của cả nguyên tử Fe và nguyên tử Cu. Sự khác biệt
năng lượng đối với hai loại là nhỏ.
Các tính toán năng lượng toàn phần ab initio trên cơ sở các lý thuyết obitan
muffin-tin chính xác được dùng để xác định các tính chất đàn hồi của các hợp kim
mất trật tự Ag1-cZnctrong các pha LPTK và LPTD [22]. Sư mất trật tự thành phần
được nghiên cứu trong phép gần đúng thế kết hợp (CPA). Các hằng số đàn hồi lập
phương B, C và C44 và các nhiêt độ Debye đã được tính toán đối với toàn bộ khoảng
nồng độ. Số liệu thực nghiệm phù hợp rất tốt với các kết quả đưa ra. Những thay đổi
nhanh chóng của C và C44 đã quan sát thấy ở các nồng độ Zn cao mà nó trái với các
quan sát kinh nghiệm chung là sự tạo thành hợp kim chỉ có các ảnh hưởng nhỏ lên
các tính chất đàn hồi.
1.3. Các phƣơng pháp thống kê trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim
1.3.1. Phương pháp phiếm hàm mật độ
Trong phương pháp lý thuyết phiếm hàm mật độ (DFT) [5], mật độ electron
đóng vai trò trung tâm. Năng lượng toàn phần Ee của electron trong trường
tĩnh V(r) là hàm suy rộng của
∫

∫

11

́)

(
|

(1.4)

là một hàm nào đó của mật độ electron được xác định từ lý thuyết khí
electron đồng nhất
( )
Ở đây, thông số

.

(1.5)

được xác định từ thực nghiệm.

Để tính động năng người ta thường dùng 2 phương pháp là phương trình
Kohn-Sham (KSE) và gần đúng mật độ địa phương (LDA). Khi sử dụng KSE, mật
độ electron được viết dưới dạng
∑|
trong đó

| ,

(1.6)

là hàm riêng của phương trình
*

+

(1.7)