Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

LỜI CẢM ƠN
Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, các thầy cô
trong Bộ môn Lý luận và Phương pháp dạy học Toán, cán bộ và nhân viên
phòng sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn nhiệt tình giúp đỡ
và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu cùng tập thể giáo viên trường
THPT Nam Duyên Hà – Thái Bình đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời
gian thực nghiệm sư phạm tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn học viên cùng
nhóm chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán đã luôn
nhiệt tình chia sẻ với em những kinh nghiệm học tập, công tác trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Dũng
đã tận tình giúp đỡ em hình thành, nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn.
Dù đã có nhiều cố gắng, song do hạn hẹp về thời gian, điều kiện nghiên
cứu và trình độ bản thân, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Hà Nội, ngày 10 tháng 09 năm 2013
Phạm Thị Hương

1


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN


Trung học phổ thông
Thực nghiệm
Trang
Vectơ chỉ phương
Vectơ pháp tuyến

2


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

Chƣơng 1
GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI
1.1. VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Vào khoảng những năm 300 trước công nguyên, nhà toán học Ơ-clit
người Hy Lạp tìm cách hệ thống lại toàn bộ các kiến thức toán học mà loài
người tích lũy được từ trước đó cho đến thời của ông. Ông muốn định nghĩa
lại tất cả các khái niệm, chứng minh lại tất cả các mệnh đề. Song khi bắt tay
vào thực hiện, ông gặp phải một trở ngại đó là: khi định nghĩa khái niệm a
ông cần phải dùng đến khái niệm b, rồi khi định nghĩa khái niệm b ông lại
phải cần dùng đến khái niệm a và khi chứng minh mệnh đề a ông cần phải
dùng đến mệnh đề b, rồi khi chứng minh mệnh đề b ông lại phải cần dùng đến
mệnh đề a. Để khắc phục khó khăn đó, trong tác phẩm “Cơ bản”, Ơ-clit đã
thừa nhận không chứng minh 10 định đề và gọi chúng là các tiên đề. Rồi từ
10 tiên đề đó ông đã chứng minh các mệnh đề khác bằng các suy luận logic.
Tập “Cơ bản” của Euclid gồm 13 cuốn trong đó có 8 cuốn nói về Hình học.
Toàn bộ nội dung môn Hình học ở bậc Phổ thông ngày nay là một phần trong
tác phẩm đó. Như vậy Ơ-clit đã xây dựng môn Hình học dựa trên các tiên đề
mà ông đã lựa chọn, vì thế mà người đời sau còn gọi Hình học đó là Hình học

trình hình học ở trường THPT được nghiên cứu bằng ba phương pháp đó là:
phương pháp tiên đề, phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ và được trình
bày theo từng chương riêng rẽ. Theo đó, về mặt lý thuyết mỗi bài toán hình
học trong chương trình phổ thông có thể có ba phương pháp để thực hiện. Tất
nhiên, nếu chọn được phương pháp và công cụ phù hợp thì sẽ có được một lời
giải tốt. Song việc lựa chọn phương pháp nào phù hợp để giải bài tập hình học
không chỉ khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy. Vậy làm thế
nào để giúp HS trƣớc mỗi bài toán hình học có thể lựa chọn phƣơng pháp
và công cụ giải phù hợp? Và đó cũng chính là vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Liên quan đến đề tài nghiên cứu, chúng tôi có tìm thấy nhiều tài liệu khá
bổ ích như: sách tham khảo, báo, tạp chí giáo dục, một số luận văn thạc sĩ:
- Thái Thị Anh Thư [26], trong đó tác giả đã đề cập đến những biện pháp
rèn luyện kĩ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ;
4


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

- Lê Thiều Tráng [27], trong đó tác giả đã đề cập đến việc phát huy các
thành phần của tư duy sáng tạo vào cụ thể từng dạng toán, phân loại các dạng
bài tập, các phương pháp chứng minh từng loại toán bằng PP vectơ và PP tọa
độ trong chương trình hình học 10;
... đó là những tài liệu bước đầu.
1.2. PHƢƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ, PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, PHƢƠNG
PHÁP VECTƠ TRONG CHƢƠNG TRÌNH MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG THPT
1.2.1. Phƣơng pháp tiên đề (PP tổng hợp)
( phần này đƣợc viết dựa vào việc tham khảo các sách:[3], [4], [5], [6], [24])
HS được làm quen với phương pháp tiên đề ngay từ khi bắt đầu được
học về PP chứng minh một bài toán hình học. Có thể nói PP tiên đề giải bài

năng chứng minh các đường thẳng và mặt phẳng vuông góc, tính khoảng cách
và góc giữa các yếu tố: đường thẳng và mặt phẳng, tính diện tích xung quanh
và thể tích các hình không gian.
1.2.2.Phƣơng pháp tọa độ
( phần này đƣợc viết dựa vào việc tham khảo các sách:[17], [18], [24])
Chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày trong SGK
hình học 10, phương pháp tọa độ trong không gian được trình bày trong SGK
hình học 12. Việc dạy chủ đề này cho HS nhằm các mục đích, yêu cầu sau:
a) Về kiến thức:
HS cần nắm vững: khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và trong
không gian; tọa độ vectơ trong hệ trục tọa độ phẳng và trong không gian; tọa
độ của một điểm và tính chất của chúng. VTPT của đường thẳng trong mặt
phẳng; phương trình tổng quát của đường thẳng; VTCP, phương trình tham
số của đường thẳng, phương trình chính tắc; vị trí tương đối của hai đường
thẳng; góc giữa hai đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng; các dạng phương trình đường tròn; khái niệm về các đường cônic, các
phương trình chính tắc của chúng; các yếu tố xác định các đường cônic. Tiêu
điểm, tiêu cự, tâm sai, các trụ, hình dạng của các đường conic, tiệm cận,
đường chuẩn; các tiếp tuyến của elip, hypebol, parabol; biểu thức tọa độ của
tích vô hướng trong mặt phẳng và trong không gian. Tích có hướng của hai
vectơ trong không gian và ứng dụng. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, thể
6


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

tích hình hộp, phương trình tổng quát của mặt phẳng và các dạng đặc biệt của
nó; vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách giữa các yếu tố: điểm,
đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; góc


phương, khác phương, nhận biết hai vectơ cùng hướng, ngược hướng; hiểu
khái niệm hai vectơ bằng nhau; HS cần nắm việc xác định một vectơ đặt từ
điểm O bằng một vectơ a cho trước và nhấn mạnh chỉ có duy nhất một điểm
A trong mặt phẳng hay không gian thỏa mãn OA  a .
Để có thể sử dụng công cụ vectơ vào việc giải các bài toán, HS cần
nắm được các phép toán trên các vectơ như: phép trừ hai vectơ, nhân vectơ
với một số, tích vô hướng của hai vectơ, ứng dụng của tích vô hướng, các hệ
thức lượng trong tam giác, công thức tính diện tích tam giác, tích có hướng
của hai vectơ (trong không gian) và các tính chất của các phép toán trên.
b) Về kĩ năng:
Kĩ năng thực hiện các phép toán cộng, trừ hai vectơ, xác định vectơ
tổng nhờ quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, kĩ năng tính tích vô hướng,
tích có hướng.
Kĩ năng biểu diễn một vectơ theo một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương; biểu diễn một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong không
gian nhờ sử dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.
Các kĩ năng tính độ dài, tính góc, chứng minh vuông góc, giải tam giác,
tính diện tích nhờ sử dụng tích vô hướng, định lí hàm số sin, hàm số côsin.
1.3. NHU CẦU NGHIÊN CỨU
Chúng tôi đã tìm hiểu thực trạng sử dụng phương pháp tọa độ, phương
pháp vectơ, phương pháp tiên đề trong dạy học GBT hình học ở trường THPT
thông qua việc điều tra, khảo sát, cụ thể là: tham gia dự giờ GV, tham dự các
cuộc họp tổ chuyên môn, trao đổi với đồng nghiêp, phát phiếu điều tra (phụ
lục). Tổng hợp các kết quả thu được, kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy của
bản thân, chúng tôi xin đưa ra một vài kết luận như sau:
+ Về phía GV:
- Đa số GV khuyến khích các em tìm nhiều lời giải cho một bài tập
hình học. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, do phải đảm bảo thời gian
8

vụ yêu cầu nào.

9


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

- Bản thân các em HS khi đối mặt với một bài toán cũng thường có
tâm lý tự hài lòng sau khi đã giải quyết nó bằng một cách nào đó, mà chưa
nghĩ đến chuyện tối ưu hóa bài toán.
- Trong quá trình học tập, HS cũng đã biết tự rèn luyện khả năng phát
hiện và lựa chọn phương pháp GBT hình học cho mình nhưng mới chỉ dừng
lại ở mức độ tự phát.
+ Một số khó khăn, sai lầm mà HS thường mắc là:
- Một số HS chưa biết với dạng toán nào thì nên và có thể sử dụng
phương pháp tọa độ. Một số khác thì cứ thấy đề bài cho tọa độ thì áp dụng
phương pháp tọa độ khiến lời giải của một số bài cồng kềnh.
- Một số HS chưa biết chọn hệ trục tọa độ thế nào để thuận lợi cho lời giải.
- Một số HS gặp khó khăn khi chuyển đổi ngôn ngữ hình học thông
thường sang ngôn ngữ đại số. Chẳng hạn: Khi một bài toán yêu cầu chứng
minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng,… HS thường cảm thấy lúng
túng không biết điều cần chứng minh là gì khi chuyển bài toán sang ngôn ngữ
tọa độ.
- Một số HS chưa biết với dạng toán nào thì nên và có thể sử dụng
phương pháp vectơ.
- Một số HS gặp khó khăn khi chuyển đổi một bài toán sang ngôn ngữ
vectơ. Chẳng hạn: Khi một bài toán yêu cầu chứng minh hai đường thẳng
song song,


diễn ra trong tất cả các ngành học, cấp học; đề tài được chọn là:
“Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng
pháp vectơ trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT”.
1.5.

MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

a) Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số dấu hiệu giúp học sinh lựa chọn các phương pháp giải
trước mỗi bài toán hình học ở trường THPT, đồng thời bằng các ví dụ cụ thể,
chỉ ra những ưu điểm, nhược điểm của mỗi phương pháp.
b) Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về: PP tiên đề, PP tọa độ và PP vectơ trong dạy
học giải bài tập hình học.
- Nghiên cứu thực tế việc dạy và học ba phương pháp nói trên trong
dạy học giải bài tập hình học ở trường THPT hiện nay.
- Từ kết quả nghiên cứu trên, đưa ra được dấu hiệu giúp cho việc lựa
chọn phương pháp trước khi giải bài tập hình học.

11


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính
thực tiễn của đề tài.
1.6. Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU
- Nếu có thể đưa ra được những tiêu chí lựa chọn phương pháp giải
trước mỗi bài toán hình học thì việc dạy và học nội dung hình học của GV và

- Tìm hiểu nội dung hình học trong chương trình môn Toán ở phổ
thông nói chung và THPT nói riêng.
- Tìm hiểu việc dạy và học PP tiên đề, PP tọa độ, PP vectơ trong dạy
học GBT hình học ở trường THPT hiện nay.
- Tìm hiểu nhu cầu thực tế cần có những tiêu chí cho việc lựa chọn
phương pháp giải trước mỗi bài toán hình học ở HS và GV.
* Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính hiệu quả, tính thực
tiễn của vấn đề nghiên cứu.
1.8. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn gồm 04 chương:
Chương 1. Giới thiệu chung về đề tài
Chương 2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Chương 3. Một số dấu hiệu giúp cho việc lựa chọn phương pháp trước
khi giải bài tập hình học ở trường THPT
Chương 4. Thực nghiệm sư phạm.
1.9. TÓM TẮT CHƢƠNG 1
Trong chương này, luận văn đã trình bày một cách khái quát về đề tài
nghiên cứu: “Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và
phƣơng pháp vectơ trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT”:
tên đề tài, mục đích của việc nghiên cứu, ý nghĩa của việc nghiên cứu, quy
trình và phương pháp nghiên cứu.
Chƣơng 2
TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.1. NHU CẦU, ĐỊNH HƢỚNG ĐỔI MỚI PPDH MÔN TOÁN
Trong văn kiện của Đảng và Nhà nước đã từng đề cập tới vấn đề đổi
mới PPDH: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
13



học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quy trình
14


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

học tập một cách có hiệu quả. Như vậy, để học tập có hiệu quả thì hiểu lý
thuyết thôi chưa đủ, người học cần vận dụng lý thuyết vào thực hành mà trước
hết là vận dụng lý thuyết vào giải toán. Việc hướng dẫn HS tìm lời giải bài
toán không chỉ đơn thuần là dạy giải một bài toán cụ thể, mà quan trọng là
thông qua bài toán đó GV dạy cho HS chiến lược để giải toán. Qua quá trình
hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán cụ thể, GV cần cài đặt sẵn những tri thức
phương pháp giải toán trong đó. Dần dần, HS lĩnh hội và rèn luyện phương
pháp tìm lời giải cho một lớp các bài toán. Và cao hơn nữa, HS tự mình giải
quyết được các bài toán mới lạ.
2.2. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.2.1. Xây dựng một môn học bằng phƣơng pháp tiên đề
2.2.1.1.Đại cƣơng về phƣơng pháp tiên đề
Hình học sơ cấp là một trong những môn khoa học cổ nhất. Nó ra đời
từ khi nào? Không ai và cũng không thể xác định được. Nó được hình thành
do nhu cầu thực tiễn như đo đạc phân chia ruộng đất, tính toán các công trình
xây dựng, sản xuất các dụng cụ lao động và vật dụng cho sinh hoạt …trong
cuộc sống của con người. Từ thế kỉ thứ 7 đến thế kỉ thứ 3 trước công nguyên,
nhiều nhà toán học như Ta-let, Pi-ta-go, Đê-mô-crat…đã hệ thống lại các kiến
thức hình học mà loài người đã tích lũy được. Chính những hệ thống đó đã
làm cho hình học sơ cấp lộ diện với tư cách là một môn khoa học. Vào
khoảng những năm 300 trước công nguyên, nhà toán học Ơ-clit người Hy Lạp
cũng tìm cách hệ thống lại toàn bộ các kiến thức toán học mà loài người tích
lũy được từ trước đó cho đến thời của ông. Ông muốn định nghĩa lại tất cả các

thế, Hình học từ chỗ dùng thực nghiệm để kiểm tra sự đúng đắn của các sự
kiện hình học đã dần dần trở thành một môn khoa học suy diễn có tính trìu
tượng, khái quát và phổ dụng cao. Có thể nói chính Ơ-clit là người đặt nền
móng cho việc xây dựng một môn học bằng phương pháp tiên đề. Để trình
bày một môn học bằng phương pháp tiên đề, người ta làm như sau:
Bước 1. Chọn ra một số (tối thiểu) các khái niệm không định nghĩa gọi
là các khái niệm cơ bản.
Bước 2. Chọn ra một số (tối thiểu) các mệnh đề không định chứng
minh gọi là các tiên đề.
Bước 3. Hệ thống gồm các khái niệm cơ bản và các tiên đề gọi là một
“Hệ tiên đề”. Từ hệ tiên đề, người ta song song định nghĩa các khái niệm còn
lại gọi là các khái niệm dẫn suất và chứng minh các mệnh đề còn lại mà ta gọi
là các định lý, bằng suy diễn logic. Hệ tiên đề cần thỏa mãn các điều kiện sau:
Điều kiện phi mâu thuẫn: điều này có nghĩa là những điều nói trong
tiên đề và các kết quả suy ra từ chúng không có hai cái nào trái ngược nhau.
Điều kiện độc lập: mỗi tiên đề của hệ phải độc lập với các tiên đề khác,
nghĩa là không thể suy ra được nó từ các tiên đề còn lại.
Điều kiện đầy đủ: hệ tiên đề phải đầy đủ để xây dựng môn học bằng
suy diễn logic.
Chú ý rằng:

16


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

* Trong hệ tiên đề tuy các khái niệm cơ bản không được định nghĩa
song nó cần phải thỏa mãn các tiên đề. Cho nên có thể nói chúng được định
nghĩa gián tiếp qua các tiên đề.


gian, với hệ tiên đề Hin-be sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì thế mà hiện
nay nhiều nước trên thế giới không còn dùng hệ tiên đề Hin-be làm căn cứ
chủ yếu cho việc biên soạn sách giáo khoa Hình học ở bậc Phổ thông.
b) Hệ tiên đề (mang tên) Pô-gô-rê-nốp của Hình học Ơ-clit
Viện sĩ người Nga Pô-gô-rê-nốp đã nghiên cứu các hệ tiên đề có trước
đó, cải tiến sắp xếp lại cho phù hợp với trình độ tiếp thu của học sinh. Ông đã
thể hiện điều này trong sách giáo khoa Hình học viết cho học sinh phổ thông ở
Nga. Hệ tiên đề của Hình học Ơclit do Pô-gô-rê-nốp đưa ra có ưu điểm nổi bật
là rất ngắn gọn, được nhiều nước trong đó có Việt Nam sử dụng làm căn cứ
chủ yếu cho việc biên soạn sách giáo khoa Hình học ở bậc Phổ thông. Hệ tiên
đề của Pô-gô-rê-nốp có 7 khái niệm cơ bản: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng,
thuộc, ở giữa, số đo đoạn thẳng, số đo góc và có 13 tiên đề chia thành 6 nhóm.
c) Hệ tiên đề (mang tên) Uây-lơ của Hình học Ơ-clit
Uây-lơ (Weil) nhà toán học người Đức, nhưng từ năm 1933 sinh sống
tại Mĩ. Các tiên đề của hệ tiên đề Uây-lơ đều gắn với khái niệm cơ bản
“Vectơ” do đó hệ tiên đề này còn có tên gọi là Hệ tiên đề (mang tên) không
gian véc tơ của Hình học Ơclit. Các khái niệm cơ bản của hệ gồm: Vectơ,
điểm, tổng của 2 vectơ, tích của một số thực và một vectơ, tích vô hướng của
2 vectơ, phép gắn một cặp điểm với một vectơ. Các tiên đề gồm 5 nhóm:
Nhóm 1 là nhóm tiên đề về không gian véctơ thực gồm 8 tiên đề.
Nhóm 2 là nhóm tiên đề về chiều của không gian véctơ gồm 2 tiên đề.
Nhóm 3 là nhóm tiên đề về không gian vectơ Ơclit gồm 4 tiên đề.
Nhóm 4 là nhóm tiên đề về không gian Ơclit gồm 2 tiên đề.
Có thể nói hệ tiên đề Uây-lơ là hệ tiên đề hiện đại nhất để xây dưng hình học
Ơclit. Với hệ tiên đề này người ta có thể mở rông số chiều của không gian
(Hình học nhiều chiều). Tuy nhiên nếu dạy cho học sinh Hình học Ơclit chỉ
dựa trên hệ tiên đề này thì trí tưởng tượng không gian và trực giác hình học sẽ
mất đi.
18


trong .

Như vậy mỗi hệ tên đề có thể có rất nhiều mô hình trong các môn học
khác nhau thậm trí có nhiều mô hình trong cùng một môn học.
Các mô hình thƣờng dùng của các hệ tiên đề của Hình học Ơclit
* Các hệ tiên đề (mang tên) Hin-be và Hệ tiên đề (mang tên) Pô-gô-rênốp của Hình học Ơclit, đều có 2 mô hình thường dùng là: mô hình vật lý và
mô hình số học.
- Mô hình vật lý lấy không gian vật lý mà ta đang sống làm “vật liệu”
để xây dựng. Chẳng hạn các khái niệm cơ bản điểm và đường thẳng được mô
tả trong SGK Toán 6: Dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnh của một
điểm, sợi chỉ căng thẳng cho ta hình ảnh một đường thẳng.
- Mô hình số học lấy tập các số thực R làm “vật liệu” để xây dựng.
Chẳng hạn khái niệm cơ bản “điểm” được thay thế bởi bộ 3 số thực
và khái niệm cơ bản “ mặt phẳng” được thay thế bởi tập hợp các bộ 3 số thực
là nghiệm của phương trình

trong đó

là các số thực cho trước và a,b,c không đồng thời bằng 0.
* Hệ tiên đề (mang tên) Uây-lơ của Hình học Ơclit có một mô hình
thường dùng cũng lấy không gian vật lý mà ta đang sống làm “vật liệu” để
xây dựng. Chẳng hạn: khái niệm cơ bản “điểm” cũng được mô tả như trong
mô hình vật lý của hệ tiên đề Hin-be còn khái niệm cơ bản “vec-tơ” được
thay thế bởi “Đoạn thẳng có hướng”.

19


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ

20


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình
thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với dụng ý khác nhau về
phương pháp dạy học như: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… Đặc biệt là mặt kiểm tra, bài tập
là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy học, khả năng làm việc độc
lập và trình độ phát triển của HS.
2.2.2.2. Các bƣớc giải bài toán theo Pô- li-a
Theo Polya [16], PP chung để giải một bài toán bao gồm 4 bước:
Bƣớc 1: Hiểu rõ bài toán
Để hiểu rõ bài toán chúng ta đi trả lời câu hỏi như: cái gì chưa biết? Cái
gì đã cho? Điều kiện của bài toán là gì? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn
không?... Nếu là bài toán hình học, chúng ta tiến hành vẽ hình hay sử dụng
các kí hiệu thích hợp mô tả bài toán, viết giả thiết, kết luận…
Bƣớc 2: Xây dựng một chƣơng trình
Để giúp HS xây dựng được chương trình giải, GV thường gợi ý HS
bằng các câu hỏi như:
- Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Em có biết bài toán nào gần
giống với bài toán này không?
- Đây là một bài toán có liên quan mà em đã có lần giải rồi. Có thể sử
dụng kết quả hay PP của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ
thì mới sử dụng được nó không? Nếu em chưa giải được bài toán đã đề ra thì
hãy thử giải một bài toán có liên quan. Em có biết bài toán nào liên quan mà
dễ hơn không? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Một bài toán

.

Bƣớc 2: Xây dựng một chƣơng trình
Ta biết PT đường tròn có dạng tổng quát: ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R 2 (1.1)
trong đó: x0 , y0 , R là các số thực, R  0 .
Do đường tròn đi qua ba điểm

nên khi thay tọa độ của chúng

vào phương trình (1.1) ta được hệ 3 phương trình 3 ẩn. Từ đó tìm được
x0 , y0 , R , suy ra phương trình đường tròn cần tìm.

Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trình
Giả sử phương trình đường tròn có dạng: ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R2 (1.1)
Do

thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình:

22


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

(1  x0 ) 2  (2  y0 ) 2  R 2
8 y0  0

 y0  0



- Nghiên cứu sâu lời giải.
+ Phương trình đường tròn còn có dạng: x2  y 2  2ax  2by  c  0 ,
điều kiện: a 2  b2  c  0 . Do đó, ta có cách giải thứ hai như sau:
Giả sử phương trình đường tròn có dạng:

x2  y 2  2ax  2by  c  0 , điều kiện: a 2  b2  c  0 (1.2)
Do

thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình:
12  (2) 2  2a  4b  c  0
 2a  4b  c  5
a  3
 2


2
 1  2  2a  4b  c  0   2a  4b  c  5   b  0
 52  22  10a  4b  c  0
10a  4b  c  29
 c 1




Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2  y 2  6 x  1  0
+ Ta biết đường tròn xác định khi biết tâm và bán kính. Gọi
lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn qua ba điểm
IM  IN  IP Từ đó ta có cách giải thứ ba như sau:

 IM 2  IN 2


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x  3)2  y 2  8 .
+ Ta đã biết, đường tròn qua ba điểm
tam giác

. Đường tròn này có tâm là giao điểm của ba đường trung trực

của tam giác


là đường tròn ngoại tiếp

, bán kính là

. Từ đó ta có cách giải thứ tư như sau:

Viết PT đường trung trực d của
Gọi

là trung điểm của
11

x

1
H


2
K


2

NP  (4;0) là VTPT của đường thẳng 

Phương trình đường thẳng  là: 4( x  3)  0( y  2)  0 hay x  3
Dễ thấy I  d   nên I (3;0) ; R2  IM 2  4  4  8
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x  3)2  y 2  8 .
+Từ cách giải trên ta nhận thấy:
 MN .NP  0 nên

có đường kính là

vuông tại

NP  (4;0)

. Do đó đường tròn ngoại tiếp MNP

. Từ đó ta có cách giải thứ năm như sau:

Ta có: MN  (0;4) ; NP  (4;0)  MN .NP  0 nên
Gọi

MN  (0;4) ;

là tâm đường tròn qua

phân tích các bước của phép chứng minh, trình bày các bước đó có kèm theo
căn cứ suy luận, để HS nhận biết và hiểu rõ đã dùng các quy tắc kết luận logic
như thế nào.
b) Phƣơng pháp tọa độ trong giải bài tập hình học(tham khảo [13])
Quy trình giải bài tập hình học bằng phƣơng pháp tọa độ
Bƣớc 1. Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.
Bƣớc 2. Chuyển bài toán sang ngôn ngữ tọa độ.
Bƣớc 3. Xác định tọa độ các điểm liên quan.
Bƣớc 4. Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải toán.
Bƣớc 5. Phiên dịch từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học (nếu có).
Một số chú ý khi thực hiện quy trình trên:
25