BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Ngọc Quang

BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Ngọc Quang

BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. Nguyễn Trung Dũng

của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Trần Ngọc Quang

ii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính của hệ điều
khiển đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học ở
trong nước và trên thế giới. Việc nghiên cứu này có nhiều ứng dụng
trong kỹ thuật như mô phỏng máy tính, thí nghiệm, tính toán . . . Chính
vì thế, nghiên cứu tính ổn định của hệ điều khiển đóng vai trò vô cùng
quan trọng đối với quá trình nghiên cứu lý thuyết các hệ động lực.
Mặt khác trong các mô hình ứng dụng thường xuất hiện trễ thời gian.
Người ta đã chỉ ra rằng sự hiện diện của trễ ảnh hưởng đến sự ổn định
của hệ thống. Vì vậy, việc nghiên cứu sự ổn định cho hệ có trễ là bài toán
có ý nghĩa thực tiễn. Một trong những phương pháp phổ biến nghiên
cứu sự ổn định của hệ điều khiển có trễ là phương pháp hàm LyapunovKrasovskii. Để giảm bớt tính bảo thủ(conservatism) của các tiêu chuẩn
đưa ra, người ta sử dụng các kĩ thuật đánh giá kết hợp với một số bất
đẳng thức Cauchy, Jensen, . . .
Dựa trên sự định hướng của Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn
đề tài: Bất đẳng thức Jensen và ứng dụng trong phân tích sự ổn
định của hệ điều khiển làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.


2. Mục đích nghiên cứu

1.2 Hệ DMJLS với trễ thời gian . . . .
1.2.1 Dạng của hệ . . . . . . . . .
1.2.2 Một số khái niệm ổn định .
1.3 Một số bất đẳng thức . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

iii
2
2
2
4
5
6
6
7
8

2 Ứng dụng của bất đẳng thức Jensen
2.1 Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii . . . . . . . . .
2.2 Tiêu chuẩn ổn định cho hệ DMJLS . . . . . . . . . . . .

16

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.


Chương 1
Một số kiến thức và kết quả bổ trợ

1.1
1.1.1

Xích Markov
Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.1. Cho {rk , k ∈ Z+ } là một dãy các biến ngẫu nhiên xác
định trên không gian xác suất (Ω, A, P ) nhận giá trị trong tập đếm được
E. Ta nói rằng {rk , k ∈ Z+ }là một xích Markov rời rạc và thuần nhất
nếu
P {rn+1 = j|rn = i, rn−1 = in−1 , . . . , r1 = i1 , r0 = i0 }
= P {rn+1 = j|rn = i},

= P {ηn+1 = i − j}.
Vậy {Xn , n ∈ Z+ } là một xích Markov.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

TRẦN NGỌC QUANG

Ma trận xác suất chuyển

Cho {rn , n ∈ Z+ } là một xích Markov thuần nhất với không gian trạng
thái E. Đặt pij = P (rn+1 = j|rn = i), i, j ∈ E. Khi đó, pij được gọi là
xác suất chuyển trạng thái của hệ từ trạng thái i ở thời điểm n(hiện tại)
sang trạng thái j ở thời điểm n + 1(tương lai). Nếu đặt các biến cố
A = (rn+1 = j), B = (rn = i), C = (r0 = i0 , . . . , rn−1 = in−1 )
thì tính Markov có nghĩa là P (A|B) = P (A|BC). Theo công thức xác
suất có điều kiện ta có
P (ABC) P (BC) × P (A|BC)
=
P (B)
P (B)
P (B) × P (C|B) × P (A|B)
=
P (B)

P (AC|B) =


chuyển sang trạng thái j. Ta có, pij = pij . Chúng ta quy ước
(0)

pij


 1, nếu i = j,
=
 0, nếu trái lại.

(n)

và đặt P(n) = (pij ). Ma trận P(n) được gọi là ma trận xác suất
chuyển sau n bước. Từ công thức xác suất đầy đủ và từ tính Markov
ta có:
P(n+1) = P. P(n) ,
P(n+1) = P(n) . P,
P(n+m) = P(n) . P(m) ,
P(n) = Pn .

1.1.3

Phân phối ban đầu

Định nghĩa 1.2. Phân phối của xích tại thời điểm n được cho bởi công
thức sau:
(n)
pj = P (rn = j); n = 0, 1, 2, . . . ; j ∈ E.
(n)

Hệ DMJLS với trễ thời gian
Dạng của hệ

Hệ DMJLS (discrete-time Markovian jump linear system) với trễ thời
gian có dạng:
x(k + 1) = A(rk )x(k) + Ad (rk )x(k − τ (k)), k ∈ Z+ ,

(1.1)

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ2 , 0] ,
trong đó x(k) ∈ Rn là véctơ trạng thái, τ (k) là trễ thời gian thỏa mãn
τ1 ≤ τ (k) ≤ τ2 , τm , τ2 ∈ Z+ , và ϕ(s), s ∈ [−τ2 , 0] là điều kiện ban đầu với
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

chuẩn ϕ = max

TRẦN NGỌC QUANG

ϕ(s) .

s∈[−τ2 ,0]

{rk , k ∈ Z+ } là một xích Markov nhận giá trị trong tập hữu hạn
M = {1, 2, . . . , q} với xác suất chuyển
Pr {rk+1 = j|rk = i} = pij ,
q


điều kiện ban đầu tùy ý ϕ và phân phối ban đầu p, tồn tại các hằng số
α, β > 0 độc lập với ϕ và p sao cho
E

x(k, ϕ, r0 ) 2 |ϕ, r0 ≤ αE

ϕ

2

Định nghĩa 1.5. [2] (Ổn định ngẫu nhiên)
7

e−βk , ∀k ≥ 0.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN NGỌC QUANG

Hệ (1.1) được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu với điều kiện ban đầu
tùy ý ϕ và phân phối ban đầu p
∞

E x (k, ϕ, r0 ) 2 |ϕ, r0 < +∞.
k=0

1.3

Một số bất đẳng thức

I

U
V

V

T

W




Chứng minh. Ta biến đổi vế phải về vế trái, ta có



I −V W
0


=

=

=

−1


−1

V −VW W
W

V −V

W

0

W




I
−1

−W V

0
T

I


.




T

VT

V

T

W

0
W

U − V W−1 V T
0

0
W







I
−1

−W V


V

VT W

 ≥ 0 ⇔ U − V W−1 V T ≥ 0.


Chứng minh. Đặt Q = 

I

0

−W−1 V T I


 . Khi đó, Q là không suy biến.

Từ Bổ đề 1.1 ta có




−1 T
U V
U −VW V
0
Q = 
.


uTk Ruk
k=p

1
≥ (
l

q

q
T

uk ),

uk ) R(
k=p

k=p

trong đó l = 1 + q − p.
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề (1.2), ta có:




uTk Ruk

uTk



l

k=p



T

R−1


 ≥ 0.


k=p

Theo Bổ đề (1.2) ta có


q

k=p

1
uTk Ruk − 
l

T



q

uk  R 
k=p

10


uk  .

k=p

(1.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN NGỌC QUANG

Bằng phương pháp hiệu chỉnh tương tự như chứng minh Bổ đề 4 trong
[4], chúng tôi chứng minh được kết quả sau.
Bổ đề 1.4. Cho R là ma trận đối xứng xác định dương và các hằng số
p, q ∈ Z+ , p < q. Khi đó, với bất kì dãy véctơ uk ∈ Rn , k ∈ Z+ , ta có
q

k=p


1

k=p

q

k

us .
k=p s=p

Chứng minh. Ta xét một dãy véctơ {vk } , vk ∈ Rn định nghĩa như sau
1
vk = uk −
l

q

uk + mk ξ,

(1.3)

k=p

trong đó dãy {mk } ⊂ R, véctơ ξ ∈ Rn được nghĩa như sau.
q

Sử dụng Bổ đề (1.2) với dãy {vk } ta có,

q

vk =


q

uk
k=p

1
l2

T

q

uk
k=p

q

R

+ m2 k ξ T Rξ

uk
k=p

+ 2ξ T Rmk uk − 2l mk ξ T
11

q






q

k=p

=
k=p

m2 k ξ T Rξ
k=p



q





q

2
mk  ξ T R 
uk 
l
k=p
k=p

uk  + 2ξ T R(

uk  R 
k=p

1
+ 
l

T

q

1
− 
l

q

q

k=p

q

mk uk ) −
k=p

2
l


k=p

(1.5)
Thế (1.3) và (1.4) vào hai vế của (1.2) ta có
JR g (uk , l) ≥ RR g (mk , ξ),

(1.6)

trong đó
JRg (uk , l) =

q

vk T Rvk −
k=p


RgR (mk , ξ) =  1l

1
l

mk
k=p

q

R


k=p

Chọn mk =

1+k−p
,k
l

∈ Z[p,q] và định nghĩa

12

,
2
l

q

q

mk
k=p

ξT R

mk
k=p


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

,
2

q

uk = uˆq+1 ,
k=p

(1.7)


1
l

q

2

q
2

mk  −
k=p

m
k=p

k

1 − l2

l+1

RgR (mk , ξ)

=

q

uk+1 )
k=p

l+1 T
1 − l2 T
ξ Rξ −
ξ Rη.
12l
l

Ta xác định véctơ ξ dạng ξ = −λη, λ ∈ R, khi đó
RgR (mk , ξ) = (

1 − l2 2 l + 1
λ +
λ)η T Rη.
12l
l

2

l+1

(1.10)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN NGỌC QUANG

Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.5. [5] Cho R là ma trận xác định dương đối xứng và p, q ∈
Z+ , p ≤ q. Khi đó, với mọi α ∈ (0, 1) và dãy véctơ uk ∈ Rn , k ∈ Z+ , ta
có bất đẳng thức


q

T

q

αk uTk Ruk ≥ αp,q 
k=p

trong đó αp,q =





q







k=p

q

αk uTk Ruk



uTk
k=p

q

uk
k=p

1−αq−p+1 −1
(1−α)αq R


 ≥ 0.


Theo Bổ đề 1.2, ta có
q


TRẦN NGỌC QUANG

R1 X
X



T

1
R
µ
 1

0

R2


 ≥ 0, bất đẳng thức

0
1
1−µ R2






2

≤ V (xk , rk ) ≤ λ2 xk 2 , k ≥ 0,

(ii) E [V (xk+1 , rk+1 )|xk , rk ] − αV (xk , rk ) ≤ 0, k ≥ 0,
trong đó xk = {x (k + s) : s ∈ Z [−τ2 , 0]}. Khi đó, hệ (1.1) là ổn định
ngẫu nhiên.
Chứng minh. Để đơn giản, ta kí hiệu V (k) = V (xk , rk ) . Từ (ii) ta có
E [V (k + 1) |xk , rk ] ≤ αV (k) , k ≥ 0.

(2.1)

Lấy kì vọng E [.|ϕ, r0 ] cả hai vế của (2.1) và sử dụng tính chất của kì
vọng có điều kiện, ta có

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN NGỌC QUANG

E[V (k + 1)|ϕ, r0 ] ≤ αE[V (k)|ϕ, r0 ] = αE [E[V (k)|xk−1 , rk−1 ]|ϕ, r0 ]
≤ α2 E[V (k − 1)|ϕ, r0 ].
Bằng quy nạp ta có
E [V (k) |ϕ, r0 ] ≤ αk E (ϕ, r0 ) , ∀k ≥ 0.
Từ bất đẳng thức trên và phần (i) dẫn đến
E

x (k; ϕ, r0 ) 2 |ϕ, r0 ≤


2

< ∞.

Từ đó, định lý được chứng minh.
Chú ý 2.1. Điều kiện (i) và (ii) trong Định lý 2.1 cũng đảm bảo sự ổn
định hầu chắc chắn của hệ (1.1).
Thật vậy, từ Định lý 2.1 ta có bất đẳng thức
∞

x (k; ϕ, r0 ) 2 |ϕ, r0 ≤

E
k=n

λ2 αn
ϕ 2,
λ1 (1 − α)

(2.3)

với mọi n ∈ Z+ .
Ta kí hiệu biến ngẫu nhiên ξ = lim sup x (k; ϕ, r0 ) . Theo bất đẳng
k→∞

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

(2.4)

Với bất kì > 0 từ (2.4) ta có:
∞

Pr{ξ > 0|ϕ, r0 } =

Pr {∪∞
n=1 [ξ

≥ 1/n ]|ϕ, r0 } ≤

Pr{ξ ≥ 1/n |ϕ, r0 }
n=1

∞

2

≤

Chú ý rằng

√
n

λ2 ϕ
λ1 (1 − α)

2


TRẦN NGỌC QUANG

(Ai − In )e1 + Adi e3 ,







x(k)




a





(k)
x

1






 x(k − τ )

xa1 (k)

1
=
σ(τ1 )

k

x(s),
s=k−τ1

2

xa2 (k)

1
=
σ(τ − τ1 )

k−τ1

x(s),

xa3 (k)

s=k−τ


τ2
α F2   R2 X  F2 
,
Π4 =
τ12 F
T ˜
X R
F
Π3 =

3

2

˜ 2 = diag{R2 , 3R2 },
R

3

Φi = Π0i + Π1i + Π2 − Π3 − Π4 ,
trong đó, để đơn giản trễ τ (k) sẽ được kí hiệu bởi τ và σ(.) kí hiệu là
σ(t) = t + 1, t ∈ Z0 .
Chúng ta có kết quả như sau.
Định lý 2.2. Giả sử tồn tại các hằng số α ∈ (0, 1), ρi > 0, các ma trận
+
đối xứng xác định dương Pi ∈ S+
n , i ∈ M, Qj , Rj ∈ Sn , j = 1, 2, và ma
19