Ubnd huyện vũ th
phòng GIáo Dục & ĐàO Tạo

Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện

Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 6
(Thời gian làm bài: 120 phút )

Bài 1 (4 điểm):
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016
1 1 1 1
1
1
1

2) B = 1ữ : 1ữ : 1 ữ : 1 ữ : ... : 1ữ : 1ữ :
1ữ
2 3 4 5
98 99 100
Bài 2 ( 4 điểm):
1) Cho C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ... + 42014 + 42015 + 42016
Chứng minh rằng C M21 v C M105
2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc t nhiờn là một
số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Bài 3 ( 4 điểm):
1) Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số
tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4.
x
1

ã
Cho tam giác ABC có BAC
= 1200 . Điểm E nằm giữa B và C sao cho BAE
= 300 .
ã
Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho CAx
= 300 , tia Ax cắt BC ở F.
ã
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của EAF
.
ã
ã
b) Gọi AI là tia phân giác của BAC
. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của EAF
.
Bài 6 (2 điểm): Cho biểu thức: D =

( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

Bµi 1

(4 ®iÓm)

A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ..... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016
A = (- 1 - 2 + 3 + 4)+(- 5 - 6 + 7 + 8)+(- 9 - 10 + 11 + 12)+ ..... +(-2013 - 2014 + 2015 + 2016)
cã tæng A cã 2016 sè h¹ng nªn cã 2016 : 4 = 504 nhãm
1 Ta
A = 4 + 4 + 4 + ….. + 4 (tæng cã 504 sè 4)
A = 4. 504
A = 2016
VËy A = 2016
1  1  1  1 
 1
  1
  1

B =  − 1÷ :  − 1 ÷ :  − 1÷ :  − 1 ÷ : ..... :  − 1 ÷ :  − 1 ÷ : 
− 1÷
2
3
4
5
98
99
100

 
 
 

0,5
2,0
®iÓm
0,5
0,5
0,5

B=-

0,5

B = - 25
VËy B = - 25
Bµi 2
1 Cho C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016
(4®iÓm)
Chøng minh r»ng C M21 và C M105
Chøng minh C M21
Ta cã:
C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016

2,0
®iÓm
0,75

C = 4.( 1 + 4 + 42 ) + 44 .( 1 + 4 + 42 ) + ..... + 4 2014. ( 1 + 4 + 4 2 )

0,25

C = ( 4 + 42 + 43 ) + ( 44 + 45 + 46 ) +.....+ ( 42014 + 42015 + 42016 )


2015

.( 1 + 4 ) + 4

2013

.( 1 + 4 )

0,25

2015

0,25
0,25
0,5


Do đó C M5.21 hay C M105
2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là
một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Gọi số tự nhiên đó là P (P ạ 0)
Nếu P = 1 ta có 1 = 12 ị P là số chính phơng
Nếu P > 1. Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có P = a x .b y .....c z
(với a, b, ... , c là các số nguyên tố)
Khi đó số lợng các ớc của P là (x + 1).(y + 1).....(z + 1)
Theo bài ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) là số lẻ
ị x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 đều là các số lẻ
ị x, y , ... , z đều là các số chẵn
Do đó x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t

=
Ta có:

( x + 5) .( y - 1) = 5.1
5
y -1
5
y- 1
( x + 5) .( y - 1) = 5.1 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5)
Nên ta có bảng sau
x+5
5
1
-5
-1
y-1
1
5
-1
-5
x
0
-4
-10
-6
y
2
6
0
-4

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2,0
điểm
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2,0
điểm
0,5
0,25
0,75

0,5
2,0
điểm

0,75


1
1
1
1

E=
.ỗ
1
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
100
101 2 102 3 103
10 110 ữ
ự
1 ộổ
1 1
1ử ổ
1
1
1
1 ử
ữ
ỗ
ỳ
E=
. ờỗ
1 + + + ..... + ữ

1
1
+
+
+ ..... +
1.11 2.12 3.13
100.110
ử
1 ổ10
10
10
10 ữ
F = .ỗ
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ố1.11 2.12 3.13
ứ
10 ỗ
100.110 ữ
ử
1 ổ 1 1 1 1 1
1
1 ữ
F = .ỗ
1+ + + ..... +

ỗ
ỗ
ỗ
ỗ11 12 13
ứ ố
ứỳ
10 ờ
100 ữ
110 ữ
ởố 2 3
ỷ
ử ổ1
ửự
1 ộổ 1 1
1ữ
1
1
1 ữ
ỗ
ỳ
F = . ờỗ
1
+
+
+
.....
+
+
+
+

=
. =
1
F
100 1 10
10
E
1
Vậy tỉ số =
F 10
Cho tam giác ABC có góc BAC = 1200 . Điểm E nằm giữa B và C
sao cho góc BAE = 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ
tia Ax sao cho góc CAx = 300, tia Ax cắt BC ở F.
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của góc EAF.
c) Gọi AI là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh AI cũng
là tia phân giác của góc EAF.
F=

Bài 5
4 điểm

C

0,5

x
F

I
E

Vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E
ị góc CAF + góc FAE = góc CAE
ị 300 + góc FAE = 900
ị góc FAE = 600
Ta có: AI là tia phân giác của góc BAC
0
Nên góc BAI = góc CAI = gúcBAC = 120 = 600
2
2
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600)
Suy ra tia AF nằm giữa hai tia AC và AI
ị góc CAF + góc FAI = góc CAI
ị 300 + góc FAI = 600
ị góc FAI = 300
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B
Ta có: góc FAE = 600 và góc FAI = 300
ị góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600)
ị Tia AI nằm giữa hai tia AF và AE
0
1
60
0
Hơn nữa góc FAI = góc FAE (vì 30 =
)
2
2
Do đó AI là phân giác của góc FAE.
2
2

2
2
( 2!)
( 2!)
( 2!)
( 2!)
( 2!)
D = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... +
1
3
5
7
20152
22
22
22
22
22
D = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... +
1
3
5
7
20152
ổ2
2
2
2 ử
ữ
D = 4 + 2.ỗ

5.5 3.5 3 5

0,75

0,5
0,25
0,5
2,0
điểm
0,5

0,5

0,5
0,5
2,0
điểm

0,5


Do đó

2
2
2
1 1
=


ố1 3 3 5 5 7
2013 2015 ứ
ổ
1 ử
ữ
D < 4 + 2.ỗ
1
0,5
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2015 ứ
2
D