TÀI LIỆU TOÁN 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

ÔN THI THPT QUỐC GIA 2017



Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm

_01_

Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit

_15_

Phần 3. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

_21_

Phần 4. Số phức

_31_

Phần 5. Khối đa diện

_33_

Phần 6. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

_45_

[ f '( x )  0 với mọi x  K ]

 [ f ( x ) không đổi trên K ]

Định lý 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K
c) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) không đổi trên K


[ f '  x   0 với mọi x  K ]

 [ f ( x ) đồng biến trên K ]



[ f '  x   0 với mọi x  K ]

 [ f ( x ) nghịch biến trên K ]

Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f '( x )  0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .
b) Nếu f '( x )  0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K .
Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  , ta có
f '  x   3ax 2  2bx  c .
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0 
đồng biến trên   f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  
b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0 

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
 Hàm số f nghòch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m .
Chú ý:
1) y   0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y  ax 2  bx  c thì:
 a  b  0
 c  0
 y '  0, x     
 a  0
   0

 a  b  0
 c  0
 y '  0, x     
 a  0
   0

3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :

 Nếu   0 thì g  x  luôn cùng dấu với a .
 Nếu   0 thì g  x  luôn cùng dấu với a (trừ x  

b
)
2a

 Nếu   0 thì g  x  có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g  x  khác
dấu với a , ngoài khoảng hai nghiệm thì g  x  cùng dấu với a .
4) So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:


1

 Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  4 x1 x2  d 2

2

 Sử dụng đònh lí Viet đưa  2  thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện 1 để chọn nghiệm.

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f ( x )  0 (hoặc , ,  ). Xét hàm số y  f ( x ) trên tập
xác đònh do đề bài chỉ đònh.
 Xét dấu f '  x  . Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.

 Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f '  x  thì ta đặt h  x   f '  x  và quay lại
tiếp tục xét dấu h '  x  … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f  a   f  b  .
Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x ) trong khoảng  a; b  .
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f  x   g  x  (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
 Xét các hàm số y  f ( x )  C1  và y = g(x)  C2  . Ta cần chứng minh một hàm số đồng
biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó  C1  và  C2  giao nhau tại một điểm duy nhất có
hoành độ x0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị
 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
 Tìm f   x  .

 Tìm các điểm xi  i  1, 2 , mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f   x  . Nếu f   x  đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trò tại xi .
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.

 Tính f   x  .
 Giải phương trình f   x   0 tìm các nghiệm xi  i  1, 2,  .
 Tính f   x  và f   xi   i  1, 2,  .
Nếu f   xi   0 thì hàm số đạt cực đại tại xi .

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

4


Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
Nếu f   xi   0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi .
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y  f ( x ) đạt cực trò tại điểm x0 thì f   x0   0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y  f ( x ) đạt cực trò tại điểm x0 thì f   x  đổi dấu khi x đi qua x0 .


 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
đònh lí Vi–et.
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d .

 Chia f  x  cho f   x  ta được:

f  x   Q  x  . f   x   Ax  B.

 y  fx  Ax  B

1
1
 Khi đó, giả sử  x1; y1  ,  x2 ; y2  là các điểm cực trò thì:  1
y

fx

Ax
 2
1
2 B

 Các điểm  x1; y1  ,  x2 ; y2  nằm trên đường thẳng y  Ax  B.
P( x ) ax 2  bx  c

2) Hàm số phân thức y  f ( x ) 



Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm

3. GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f   x  .

 Xét dấu f   x  và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn  a; b  .
 Tính f   x  .

 Giải phương trình f   x   0 tìm được các nghiệm x1 , x2 , , xn trên  a; b  (nếu có).
 Tính f  a  , f  b  , f  x1  , f  x2  ,  , f  xn  .
 So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n )
[a; b ]

m  min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a; b ]

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.
 Chứng minh một bất đẳng thức.
 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành
đẳng thức.
Một số kiến thức thường dùng:


(a  b)2
4

3) (a  b)2  2(a2  b2 )  a2  b2 

www.facebook.com/VanLuc168

(a  b)2
2

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

6


Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trò tuỳ ý của f  x  trên D , thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
 f ( x )  y0

x  D

(1)
(2)

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy


VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

7


Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm

4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
1. Đònh nghóa:
 Đường thẳng x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y  f ( x ) nếu
ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x )   ;
lim f ( x )   ;
x  x0 

lim f ( x )   ;

x  x0 

x  x0 

lim f ( x )  

x  x0 

 Đường thẳng y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y  f ( x )
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

 
 
 Nếu bậc  P  x    bậc  Q  x    1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
 Nếu bậc P  x   bậc Q  x  thì đồ thò có tiệm cận ngang.

b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng
các công thức sau:
f (x)
a  lim
;
b  lim  f ( x )  ax 
x  x
x 
f (x)
hoặc a  lim
;
b  lim  f ( x )  ax 
x  x
x 

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

8


Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm


(C ) : y  f ( x )
Trong mp  Oxy  . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số:  1
(C2 ) : y  g( x )

C1  và C2  không có điểm chung

C1  và C2  cắt nhau C1  và C2  tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f  x   g  x           1

* Tùy theo số nghiệm của phương trình 1 mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị  C1  và  C2  .
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của hai đồ thị  C1  và  C2  .
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt 1 bằng số giao điểm của hai đồ thị  C1  và  C2  .
Chú ý 1 :
* 1 vô nghiệm
* 1 có n nghiệm




C1  và C2  không có điểm điểm chung
C1  và C2  có n điểm chung

Chú ý 2 :
* Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hoành độ điểm chung của  C1  và  C2  .


y0 :

tung độ tiếp điểm và y0  f  x0 

k:

hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức: k  f '  x0 

Dạng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
 C : y  f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với  C 
Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f   x0   k , từ đó suy ra y0  f ( x0 )  ?
Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào phương trình: y  y0  k  x  x0  ta sẽ được
phương trình tiếp tuyến cần tìm.

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

11


Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm


www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

12


Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm

8. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Cơ sở của phương pháp
Xét phương trình f  x   g  x   1

Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hồnh độ giao điểm của  C1  : y  f  x 
y
(C1 )
và  C2  : y  f  x 

(C2 )
x

x0

Bài tốn: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng:
f x  m

 *

Dạng: f  x   g  m giải tương tự

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

13


Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm

9. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D.
Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy ) , tập hợp  C  tất cả các điểm có toạ độ  x; f ( x)  với x  D
được gọi là đồ thị của hàm số y  f ( x) .

Từ định nghĩa ta có: (C )  M / M ( x; y ) vôùi x  D vaø y  f(x)
M ( x0 ; y 0 )  (C )  x0  D và y 0  f ( x0 )
Phương pháp chung
Đặt M  x0 , y0   C  với y0  f  x0  là điểm cần tìm;
Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x0 ;
Giải phương trình tìm x0 , suy ra y0  f  x0   M  x0 ; y0  .

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com



Luỹ thừa a
a   a n  a.a......a (n thừa số a)
a  a 0  1
1
a   a n  n
a
m
n

a0

a a

a0

a   lim a rn



 n a m (n a  b  b n  a)

2. Tính chất của luỹ thừa
 Với mọi a  0, b  0 ta có:
a  .a   a   



;

n

ab  n a .n b ;

Nếu

p q
 thì
n m

n

n

ap 

a na

(b  0) ;
b nb

m

n

a q (a  0) ; Đặc biệt

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a  b thì

n



Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n . Kí hiệu

n

a.

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

C  A(1  r )N

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
Đònh nghóa
Số mũ 

Hàm số y  x

Tập xác đònh D

  n (n nguyên dương )

y  xn

D


n x n 1

 u    u 1.u
 với x  0 nếu n chẵn 
 với x  0 nếu n lẻ  .



 n u  

u
n

n u n1

§3. LƠGARIT
1. Đònh nghóa
 Với a  0, a  1, b  0 ta có: loga b    a  b


Chú ý: loga b có nghóa khi a  0, a  1
b  0
lg b  log b  log10 b
 Logarit thập phân:

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN


3. Các qui tắc tính logarit
Với a  0, a  1, b, c  0 , ta có:
b
 loga    loga b  loga c
c

 loga (bc)  loga b  loga c

 loga b   loga b

4. Đổi cơ số
Với a, b, c  0 và a, b  1, ta có:
loga c
 logb c 
hay loga b.logb c  loga c
loga b
 log a b 

1
logb a

 log a c 

1



log a c (  0)

§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LƠGARIT


www.TOANTUYENSINH.com

17


Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Đồ thò:
y

O

y

y=logax

y=logax

1

x

1

x

O

0

§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƠGARIT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản:
b  0
Với a  0, a  1 :   a x  b  
 x  log a b
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a  0, a  1 :   

a f ( x )  a g( x )  f ( x )  g( x )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M  a N  (a  1)( M  N )  0
b) Logarit hoá:
a f ( x )  b g ( x )  f ( x)   log a b  .g ( x)
c) Đặt ẩn phụ:
 Dạng 1:

f ( x)

, t  0 , trong đó P t là đa thức theo t .
P ( a f ( x ) )  0  t  a

 P(t )  0

 Dạng 2:

 a2 f ( x )   (ab) f ( x )   b2 f ( x )  0

 Đoán nhận x0 là một nghiệm của 1 .
 Dựa vào tính đồng biến, nghòch biến của f  x  và g  x  để kết luận x0 là
 f ( x ) đồng biến và g( x ) nghòch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
nghiệm duy nhất: 
 f ( x ) đơn điệu và g( x )  c hằng số
 Nếu f  x  đồng biến (hoặc nghòch biến) thì f (u)  f (v)  u  v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A  0
 Phương trình tích A.B  0  
B  0
A  0
 Phương trình A2  B 2  0  
B  0
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:

f  x   g  x         1


 f (x)  M
Nếu ta chứng minh được: 
 g( x )  M

1 

thì

 f ( x)  M
 g( x )  M


log b c

VanLucNN

c

logb a

www.TOANTUYENSINH.com

19


Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit

§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
 Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.
 a  1
  f ( x )  g( x )
a f ( x )  a g( x )   
 0  a  1
  f ( x )  g( x )
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

III. NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§1. NGUN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác đònh trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x )  f ( x ) , x  K

 Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì họ nguyên hàm của f  x  trên K là:

 f ( x )dx  F ( x )  C ,C   .
 Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
2. Tính chất


 f '( x )dx  f ( x )  C



  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx

  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k  0)

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

ax
 C (0  a  1)
ln a
  cos xdx  sin x  C

  0dx  C

dx  tan x  C
cos2 x
1
  2 dx   cot x  C
sin x
1
  eax  b dx  eax  b  C , (a  0)
a
1
1
 
dx  ln ax  b  C
ax  b
a





4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu

 f (u)du  F(u)  C

và u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:

 f u( x ) .u '( x )dx  F  u( x )  C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: