ĐỀ THI MINH HỌA KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

Đề số 101

Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút

z = 2 − 3i

Câu 1: Cho số phức

ω =4

w = 2 z + (1 + i ) z

. Tìm mô đun của số phức

A.

ω =2

ω = 10

ω =2 2
B.

C.

D.

Câu 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang?

D.

Câu 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình
x2 + y 2 + z 2 + 2x − 4 y + 2z + 2 = 0
. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu
I ( 1; −2;1)
A.

và
I ( 1; −2;1)

C.

và

I ( −1; 2; −1)

R=2

B.

và
I ( −1; 2; −1)

R=4

D.

và


2x

2

+ x −1

Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình

{ −1; 2}
A.

{ 0;1}
.

B.

.
=

D.
1
2

.

{ −1;0}
.

C.


( −∞; −1)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 7: Tìm nguyên hàm
I=
A.
I=
C.

2
3

( 2 x + 1)

1
3

( 2 x + 1)

3

.

I = ∫ 2 x + 1dx

+C

I=

1
+C

1
0
2

−

−∞

1

-1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số giá trị cực đại bằng 3

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1

D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1.

Câu 9: Cho số phức

z = 2+i

.

ω = ( 1− i) z
Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức



r
a = ( −1;1; 2 )

B.

C.

D.

y = x 2 − 2 x2 − 4 x + 1

[ 1;3]

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
max y = −2
A.

trên đoạn

max y = −4

[ 1;3]

r
a = ( 1; 2;3)

max y =

[ 1;3]

có ba nghiệm phân biệt

−4 ≤ m < 0

C.

−4 ≤ m ≤ 0

D.

0 7

2

.

C. -1 < x 0, rút gọn biểu thức


3

−2 < m < 2

 b2 
P = log 2  ÷
a

đồng biến trên R

D.

−2 ≤ m ≤ 2


y = ( x − 5) 3 x2
Câu 16: Cho hàm số

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2

D. Hàm số không có cực đại
y = x3 x

Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số


Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số
y' =

2

x +1 + 1

y'= 3
A.

B.
y' =

2 x ln 3
x +1
2

C.

.3

x 2 +1

y' =
D.

Câu 19: Cho số phức z = a +bi, với a, b

∈


Câu 20: Tìm nguyên hàm

A.

19
5

C.

1
I = ln 2 x + ln x + C
2

B.

I = x + ln x + C
z1

Câu 21: Gọi

D.

a + b = −1

1 + ln x
dx
x

2

4

I = ∫ cos 2 xdx
0

Câu 22: Tính tích phân
I=
A.

π +2
8

I=
B.

I=
C.

1
3

I=
D.

2
3

I = ∫ tan 2 xdx

Câu 23: Tìm nguyên hàm

B.

S = π a2

C.

1
S = π a2
3

S=
D.

4π a 2
3
I ( 1;1; −2 )

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm
M ( 2; −1;0 )
và đi qua điểm
A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 9

B. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 3

C. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 9

D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 3

Câu 26: Cho một hình hộp chữ nhật có 3 mặt có diện tích bằng 12, 15 và 20. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đó


D.

V = a3

Câu 28: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, A = 2a. Quay tam giác
ABC xung quanh cạnh AB ta được một khối nón. Tính thể tích V của khối nón đó

A.

V = 2π a 3

V=
B.

4π a 3
3

C.

V = 4π a 3

V=
D.

2π a 3
3


A ( −1; 2;1)

x y +1 z −1
=
=
1
1
4

d:

x y +1 z −1
=
=
1
3
2

d:

x y −1 z +1
=
=
1
3
2

B.

x y +1 z +1
=
=


m≤2

D.

m

A.

B.

1
I = ln 2 ( x 2 + 1) + C
4

D. 6


C.

1
I = ln ( x 2 + 1) + C
2

I = ln 2 ( x 2 + 1) + C

D.
y = ( x − 1) e x

Câu 36: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

, trục hoành

x=0

và

VH = 9π
B.

C.

D.

Câu 38: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với
mặt đáy và SB tạo với mặt đáy một góc 45o. Tính thể tích V của hình chóp S. ABC

A.

3a 3
V=
2

B.

3a 3
V=
4

C.

3a 3
V=
6

D.


=
=
−1
1
2

A ( 2; −1;1)
điểm

. Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có

tâm I và đi qua A
x 2 + ( y − 3) + ( z − 1) = 20
2

A.

2

2

B.

( x − 2)
C.

x 2 + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 5

2



4
3

T=
B.

1+ 3
2

T=
C.

1+ 5
2

T=
D.
d1 :

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
d2 :

x −1 y −1 z − 4
=
=
1
2
5


B
M
C
Câu 43: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4km. Trên bờ biển
có 1 cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km. Người gác ngọn hải đăng chèo thuyền từ
ngọn hải đăng đến vị trí M trên bờ biển rồi đi bộ đến C. Biết rằng vận tốc chèo thuyền là
3km/h và vận tốc đi bộ là 5km/h. Xác định vị trí điểm M để người đó đến C nhanh nhất.

A.

MN = 3km

B.

MN = 4km

C. M trùng B

( 1 + i ) z + 1 − 7i
Câu 44: Với các số phức z thỏa mãn

D. M trùng C

= 2

z
. Tìm giá trị lớn nhất của


max z = 3


C.

e4
4

m=

4
e

4

D.

Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, AB = a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và
mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD.
V=
A.

3 3a 3
4

3a 3
8

V=
B.


A.

C.

x − 2 y −1 z +1
=
=
1
1
−3

B.

x + 2 y +1 z −1
=
=
3
1
1

D.

x − 2 y −1 z +1
=
=
3
1
1
x + 2 y + 1 z −1
=

a

b=

a

ex
∫− a x + 2a dx

Câu 49: Cho a là một số thực khác 0, ký hiệu

I=

P=3
dx

∫ ( 3a − x ) e

A.

b
a

I=
B.

b
ea

. Tính


1
2+ 3

T=
B.

1
1+ 3

T=
C.

3
3

T=

D.

1
2


ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1
2
3
4
5

D
D
B
A
D
B
C
A

21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

A
A
B
B
C
C
B
B
A
C

Chọn đáp án C.
Câu 2:
lim y; lim y

x →+∞

x →−∞

- Phương pháp
x2 + 1
x2 + 1
= +∞; lim
= −∞
x →+∞ x − 1
x →−∞ x − 1
lim

- Cách giải:

Vậy hàm số này không có tiệm cận ngang.
Chọn đáp án A.
Câu 3:
- Phương pháp :
Để tìm tâm và bán kính mặt cầu ta đưa phương trình về dạng tổng quát

( x − a)

2

+ ( y − b) + ( z − c ) = R2


⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 4
2

2

2

I ( −1; 2; −1) ; R = 2
Vậy mặt cầu có tâm
Chọn đáp án D.
Câu 4:

( log a u ) ' =
- Phương pháp: Ta sử dụng công thức

( x + 1) '
( log ( x + 1) ) ' = x + 1 ln 2 =
(

2

)

u'
u.ln a

1
( x + 1) ln 2


y ' = 0 ⇔ −4 x + 4 x = 0 ⇔  x = −1
 x = 1
3

Bảng biến thiên:
x

−∞

v'
v

+
−∞

0
2

-

0
0

1

+

1
0
2

( 2 x + 1)

3

+C

Chọn đáp án C.
Câu 8:
- Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong chương 1 khảo sát hàm số.
- Cách giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy
Hàm số không xác định tại

x = −1

nên đáp án A không đúng.

Đáp án B đúng.
Chọn đáp án B.
Câu 9:
- Phương pháp: Ta tìm số phức w biểu diễn ở dạng

w = a + bi

Khi đó điểm biểu diễn số phức w là điểm có toạ độ (a;b).
w = ( 1 − i ) z = ( 1 − i ) ( 2 + i ) = 2 + i − 2i − i 2 = 3 − i
- Cách giải:

( 3; −1)
Vậy điểm biểu diễn số phức z có toạ độ


2

y ( 1) = −4; y ( 2 ) = −7; y ( 3) = −2
Chọn đáp án A.
Câu 12:
- Phương pháp : Ta giải bài này bằng phương pháp đồ thị, số giao điểm của hai đồ thị hàm số
là số nghiệm của phương trình.
- Cách giải: Ta có
x 3 − 3 x 2 + m = 0 ( 1) ⇔ x 3 − 3 x 2 + 3 + m − 3 = 0 ⇔ x 3 − 3 x 2 + 3 = 3 − m
y = x3 − 3x 2 + 3
Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = 3−m

thẳng
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì

−1 < 3 − m < 3 ⇔ 0 < m < 4

Chọn đáp án D.
Câu 13:
- Phương pháp : Trước hết ta tìm tập xác định.
Nếu

a >1

log a x > c ⇒ x > a c

thì



¡

f ' ( x ) ≥ 0 ( ≤ 0 ) ∀x ∈ ¡
+ f(x) có đạo hàm

f '( x) = 0
và số giá trị x để

là hữu hạn

Do y' là một tam thức bậc 2 nên ta sử dụng kiến thức:
a > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
, ∀x ∈ ¡
∆ ≤ 0
Cách giải:
y=

Ta có:

1 3
x + mx 2 + x + 1
3

⇒ y ' = x 2 + 2mx + 1
Ta có: Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi
1 > 0 ( tm )
y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ x 2 + 2mx + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
⇒ −1 ≤ m ≤ 1

5 ( x − 2)
33 x

y'= 0 ⇔ x = 2

y ' > 0 ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ )
y ' < 0 ⇔ x ∈ ( 0; 2 )
x=0

Lập bảng biến thiên ta được: hàm số đạt cực đại tại

; hàm số đạt cực tiểu tại

Chọn đáp án A
Câu 17.

( u ) ' = 2u 'u
Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm căn thức
y' =

(

Cách giải:

 4 12 
 
 2
2
x 3 x ' =   x 3 ÷ ÷' =  x 3 ÷' = 3


- Cách giải: Ta có

u

x=2


( 1 + 3i ) z − 3 + 2i = 2 + 7i ⇒ ( 1 + 3i ) ( a + bi ) − 3 + 2i = 2 + 7i ⇔ a + bi + 3ai − 3b − 3 + 2i − 2 − 7i
a = 2
a − 3b − 5 = 0
⇒ a − 3b − 5 + ( 3a + b − 5 ) i = 0 ⇔ 
⇔
b = −1
( 3a + b − 5) = 0
Chọn đáp án C
Câu 20.

Phương pháp: Ta thấy trong nguyên hàm có chứa hàm lnx và hàm

dx
x

nên ta đưa hàm

1
x

vào trong dx.

∫

– Cách giải

Phương trình bậc 2 đã cho có

∆ ' = 1 − 2 = −1 = i 2 ⇒

Có 2 nghiệm

3π
3π 

z1 = −1 + i = 2  cos
+ i sin
÷
4
4 


π
π

z2 = −1 − i = − 2  cos + i sin ÷
4
4

⇒ z12016 =

( 2)

2016

 


 2016π
÷+ i sin 

 4


1008
1008
÷ = 2 . ( cos 504π + i sin 504π ) = 2


⇒ P = 21009

Chọn đáp án A
Câu 22.
Phương pháp: Biểu thức trong tích phân là hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử dụng
công thức biến đổi lượng giác hạ bậc rồi mới tính tích phân.
Cách giải.
π
4

π
4

π

1


1

∫ tan 2 xdx = ∫ cos 2 x dx = − 2 ∫ cos 2 x . ( −2sin 2 xdx ) = − 2 ∫ cos 2 x .d ( cos 2 x ) = − 2 .ln cos 2 x + C
Chọn đáp án B
Câu 24
– Tính chất

Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng

Diện tích mặt cầu đó là

a
2

a
S = 4π R 2 = 4π  ÷ = π a 2
 2

Chọn B
Câu 25
I ( 1;1; −2 )
Tâm

( x − 1)

, bán kính mặt cầu là R = IM = 3 nên phương trình mặt cầu là
2

+ ( y − 1) + ( z + 2 ) = 9

. Chọn B

Câu 28
Hình nón thu được có bán kính đáy
h = AB = a

r = AC = 2a

, chiều cao

nên có thể tích

1 2
4π a 3
V = πr h =
3
3

. Chọn B

Câu 29
VTPT ( 2; −1;1)
Vì (P) // (Q) nên 2 mặt phẳng có cùng
A ( −1; 2;1)
(Q) đi qua

2x − y + z + 3 = 0

nên có phương trình


m < f ( x)
+ Cô lập m, đưa phương trình (*) về dạng

m > f ( x)
hoặc

y = f ( x)
+ Vẽ đồ thị hàm số

hoặc lập bảng biến thiên trên đoạn [a;b], từ đó kết luận ra m

thỏa mãn
– Cách giải
y ' = 3x 2 − 2 mx + m − 1
Có
y ' > 0 ⇔ 3x 2 − 2 mx + m − 1 > 0 ⇔ m ( 1 − 2m ) > 1 − 3x 2 ⇔ m


Vậy giá trị của m thỏa mãn là

m≤2

Chọn C
Câu 32
– Phương pháp:
Tìm m để đồ thị hàm số bậc 3 có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bở là trục
hoành (tức là hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu)
Tìm nhanh:
Điều kiện đề bài tương đương với phương trình bậc ba f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Ta thử từng giá trị m rồi giải bằng máy tính, nếu phương trình bậc 3 có 3 nghiệm thực phân
biệt thì giá trị m đó thỏa mãn.


x 3 + x 2 − 0,5 x − 1,5 = 0

m = −0,5
– Cách giải: Thử giá trị

, giải phương trình bậc ba

tính thấyphương trình chỉ có một nghiệm

x =1

bằng máy

(2 nghiệm kia là nghiệm phức) nên giá trị

cắt đồ thị hàm số

( 2; +∞ )
trên khoảng
2

( x − 2)

2

< 0, ∀x > 2

Có

lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = 1

và

x → 2+

x →+∞

nên ta có các tập giá trị

f ( x ) ∈ ( 1; +∞ ) ⇒ log 2 f ( x ) = ( 0; +∞ )
của các hàm số
Vậy

0 < m < +∞



nên phương trình (*) có 2 nghiệm

và

( x0 ; +∞ )
và

x=2

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7
Chọn A
Câu 35

(

)

d ln ( x 2 + 1) =
Áp dụng công thức nguyên hàm hợp
⇒I =

(

2x
dx
x +1
2

)


1

S = ∫ ( x − 1) e dx = ∫ ( 1 − x ) e x dx = 0, 718... = e − 2
x

0

0

Diện tích cần tính là
trực tiếp và so sánh với các đáp án)
Câu 37
Thiết diện qua trục của hình nón và hình trụ có dạng
như hình bên, với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy
nón, O là tâm đáy, D là 1 giao điểm của đường tròn đáy
hình trụ với BC
BAC = 900 , OB = OC = OA = 4
Có góc

(sử dụng máy, tính


Chiều cao hình trụ bằng 1 nên áp dụng định lý Ta lét ta có
⇒ Bán kính đáy hình trụ là
Thể tích hình trụ là

OC = 4CD ⇒ CD = 1

r = OD = 3

+ Đặt
+ Chuyển hệ thức với z về hệ thức với a, b, rút gọn để tìm hệ thức liên hệ giữa a và b ⇒
Phương trình (đường thẳng, đường tròn) cần tìm.
– Cách giải
z = a + bi ( a, b ∈ ¡
Giả sử

)
. Ta có

z + 1 − i = z − 1 + 2i ⇔ ( a + 1) + ( b − 1) i = ( a − 1) + ( b + 2 ) i

⇔ ( a + 1) + ( b − 1) = ( a − 1) + ( b + 2 ) ⇔ 4a − 6b − 3 = 0
2

2

2

2

4x − 6 y − 3 = 0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
Chọn B
Câu 40


– Phương pháp
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc (d): nhận VTCP của d (u d) làm VTPT

a = 9k

9k 3k
⇒ b = 12k
⇒ 9 k + 12k = 16k ⇒ k + k = 1
16 4
a + b = 16k

t=
Đặt

t 2 + t − 1 = 0
3k
−1 + 5
⇒
⇒t =

k
4
2
t > 0

b 4k 1
5 +1
⇒T = = k = =
a 3
t
2
Chọn C
Câu 42

Đặt
AM = x 2 + 16
Thời gian để người đó đi từ A đến C là

t=

x 2 + 16 7 − x
+
= f ( x)
3
5
f '( x) =

x ∈ [ 0;7 ]
Với

thì

. Xét hàm số f(x) trên [0;7]
x

3 x 2 + 16

=

1
= 0 ⇔ 5x = 3 x 2 + 16 ⇔ x = 3
5

f ' ( x ) < 0, ∀ x ∈ ( 0;3) ; f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 3; 7 )