CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO: MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Hình học phẳng là một lĩnh vực quan trọng trong toán sơ cấp ở bậc trung
học phổ thông. Chúng ta gặp các bài toán về hình học phẳng trong rất nhiều
kì thi quan trọng: thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế...
Tuy nhiên để làm được những bài toán đó thì không hề đơn giản, đòi hỏi
phải có một vốn kiến thức phong phú và một tư duy linh hoạt. Bài viết này
giới thiệu một trong những phương pháp giải toán hình học phẳng đó là
phương pháp tọa độ. Trong nhiều bài toán hình học nếu đưa về phương pháp
tọa độ thì bài làm sẽ sáng sủa và rõ ràng hơn cách mà chúng ta dùng tính
chất hình học thuần túy. Ta sẽ thấy phương pháp tọa độ không chỉ đơn thuần
áp dụng cho các bài toán liên quan đến hình vuông, hình chữ nhật mà còn có
thể áp dụng cho các bài toán liên quan đến tam giác, đến đường tròn…
Phương pháp
- Chọn hệ trục tọa độ thích hợp tùy theo bài toán sao cho việc tính toán
đơn giản.
- Tìm tọa độ các đối tượng đã cho và các đối tượng liên quan theo hệ
trục đã chọn.
- Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết và điều cần chứng minh
theo các công thức tọa độ.
- Chứng minh bài toán theo phương pháp tọa độ.
Trước hết ta xét một số bài liên quan đến hình vuông. Hệ trục tọa độ
có thể lấy gốc là một trong bốn đỉnh của hình vuông hoặc là tâm của hình
vuông. Ta xét hai bài toán sau.
Bài 1 (Iran, 2001). Về phía bên trong hình vuông ABCD, ta dựng các tam
giác đều ABK, BCL, CDM, DAN. Chứng minh rằng các trung điểm của KL,
LM, MN, NK và các trung điểm của AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN
tạo thành một đa giác đều 12 cạnh.
Lời giải.
Gọi O là tâm hình vuông, lập hệ trục xOy sao cho các điểm A, B, C, D lần
lượt có tọa độ là (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1). Khi đó, dễ dàng tính được tọa

từ E, F, G, H đến O bằng nhau và bằng k 2 , đồng thời các vectơ gốc O,
điểm mút tương ứng là E, F, G, H hợp với trục hoành các góc lần lượt là
315o , 45o , 135o , 225o.

Tiếp đến, từ tọa độ đã xác định được của các điểm trên, ta dễ dàng tình được
tọa độ tương ứng của các trung điểm P, Q, R, S, R, U, V, X của các cạnh
AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN lần lượt là (h; j), (-h; j), (-j; h), (-j; -h),
1
2

(-h; -j), (h; -j), (j; -h), (j; h), ở đây h = , j = 1 −

3
.
2

Suy ra các điểm P, Q, R, S, R, U, V, X cách O một đoạn bằng
h2 + j 2 =

3 −1
= k 2.
2

Các điểm này cũng là đầu mút của những vectơ gốc O lần lượt hợp với trục
hoành các góc tương ứng 15o , 165o , 105o , 255o , 195o , 345o , 285o , 75o.
Tiếp đến ta cần xét các góc của tam giác vuông có 3 cạnh là k, h, j. Góc x
j
k

h


I

E

H
N

P

B
x
m 
 2m
;
Vì N là giao điểm của MD và AE suy ra N 
÷. P là giao điểm của
m+2 m+2
m 
 2m
;
AE và CM suy ra P 
÷.
 m +1 m +1
A

M

Đường thẳng DP có phương trình: x + 2my - 2m = 0.
Đường thẳng NC có phương trình: 2x + (m-2)y - m(m-2) = 0.

vuông góc với d cắt AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông
góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d.


Lời giải.

y

P
A

x
M

E

F
B

C

D

Q

Rõ ràng chỉ cần xét d ⊥ AD tại D là đủ. Chọn hệ trục Dxy như hình vẽ sao
cho A(0; a), C(2m; 2n), M(2xo, 0). Do B, C đối xứng với nhau qua D nên
B(-2m; -2n).
Phương trình của AB: (2n+a)x – 2my + 2ma = 0.
Phương trình của AC: (2n - a)x – 2my + 2ma = 0.

Dễ thấy đường thẳng này luôn đi qua S 
với mọi xo. Ta có điều
a ÷
 a

phải chứng minh.
Bài 4 (VMO 2006 - 2007). Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và
đỉnh A thay đổi. Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác
ABC. Tìm quỹ tích của điểm A biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường
thẳng BC.
Lời giải.
Chọn hệ trục Oxy với O là trung điểm của BC, trục Ox là đường thẳng BC.
Đặt BC = 2a > 0. Khi đó B(-a; 0), C(a; 0). Giả sử A(xo; yo) yo ≠ 0 .


y
A

G
B

K

O

x

C
H


o
2

thẳng

BC

khi

và

chỉ

khi

2
o
2

x
y
−
= 1( yo ≠ 0).
a
3a
x2 y 2
Vậy quỹ tích điểm A là Hyperbol 2 − 2 = 1 bỏ đi hai điểm B, C.
a
3a
3a 2 − 3xo2 + yo2 = 0 ⇔

y
E

A
D

H
F

O

B

C

x

Ta có
AD =

βa +γ

, BE =

αb + γ

, AD =

αc + γ



2 2

vuông góc với GC. Đường thẳng (d) có phương trình: 3x – y – 1 = 0. Đường
thẳng GC có phương trình: x + 3y -1 = 0.
 2 1
E = ( d ) IGC ⇒ E  ; ÷
 5 5
Suy ra BC = DE = 2 .


y
B

M
G
E
P
D

C

K

A

x




K

I

C

x


Chọn hệ trục Oxy với O trùng I, trục Ox là đường thẳng BC. Đặt BC=2a > 0.
Khi đó B(-a; 0), C(a; 0). Giả sử A (x o; yo), yo ≠ 0 . Khi đó trực tâm H là
 x = xo
 a 2 − xo2 
⇒ H  xo ;
nghiệm của hệ phương trình 
÷.
yo 
( x + a )( a − xo ) − yo y = 0


y 
K là giao của d và AI nên K  −a; −a o ÷, xo ≠ 0 .
xo 

uuur
uuur
Theo giả thiết ta có IH cùng phương với KC . Điều này tương đương với
2
2
yo


B
F

O

Gọi O, K, I, r1, r2, r3 lần lượt là tâm và bán kính của các đường tròn (C), (C 1),
(C2) tương ứng. Giả sử EF cắt KI tại W, đặt IW = x. Ta cần chỉ ra x = r 2.
Chọn hệ trực chuẩn có gốc là I, IK là trục hoành, giả sử O(a; b). Giả sử AB
cắt IK tại V. Gọi X là một giao điểm của (C 1) và (C2), Y là trung điểm của


r2 2
IV IY
=
. Tam giác KYI và XVI đồng dạng suy ra
.
2 r1
IX IO
r
Phép vị tự tâm M, tỉ số r biến K thành O, biến EF thành AB. Do đó
1
r
EF ⊥ IK . Cũng vậy khoảng cách từ K đến EF bằng 1 lần khoảng cách từ O
r
2
r
r 
đến AB, suy ra r1 − x = 1  a − 2 ÷ (*) . Bây giờ ta cần xác định a. Bằng cách
r

O

I

M

J

x

B

Vì góc A, B vuông nên IAJB là tứ giác nội tiếp được. Giả sử IAJB nội tiếp
đường tròn có tâm O là trung điểm của IJ và bán kính R=1. Ta chọn hệ trục


tọa độ vuông góc như hình vẽ. Khi đó, ta có I(-1; 0), J(1; 0). Do A, B thuộc
đường tròn nên A(cosa, sina), B(cosb, sinb), a, b ∈ (0;2π ) . Ta có
IA > IB ⇔ IA2 > IB 2
⇔ ( −1 − cos a )2 + sin 2 a > ( −1 − cos b) 2 + sin 2 b
⇔ cos a > cos b.
MA2 x 2 − 2 x cos a + 1
=
.
Giả sử M(x; 0), ta có
MB 2 x 2 − 2 x cos b + 1
x 2 − 2 x cos a + 1
Xét hàm số y = 2
x − 2 x cos b + 1



y(1)

Ta có

1 + cos a
1 − cos a
> 1, y (1) =

MH : x = cosα
sin α 

K = MH I( d ) ⇒ K  cosα ;
÷
2 

Vậy K nằm trên đường ( E ) : x 2 + 4 y 2 = 1 .

Sau đây là một số bài để bạn đọc tự rèn luyện.
Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Cho tam giác ABC, gọi CL, CM là đường phân giác trong và ngoài
của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu CL = CM thì AC 2 + BC2 = 4R2 (R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh 2a. Một đường thẳng d tùy ý cắt BC,
CA, AB tạo với 3 đường này các góc α , β , γ . Chứng minh rằng
sin 2 α .sin 2 β .sin 2 γ + cos2α .cos2 β .cos2γ =

1
.
16

Bài 3. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, I là trung điểm của AD, M
thuộc DC. Gọi M1 là giao điểm của IC và AM, M2 là giao điểm của IC và
MB, MD=x. Tính diện tích của tam giác MM1M2 theo x.
Bài 4. Trong mặt phẳng cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định. I là
điểm di động trên (O). Đường tròn tâm I luôn đi qua A. Chứng minh rằng
trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc với một đường
tròn cố định.
Bài 5. Cho tam giác ABC có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm


Bài 10. Cho đường tròn ( C ) tâm O và tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) tại một
điểm A cố định trên (C). M là một điểm trên mặt phẳng, kẻ tiếp tuyến MT
với (C) ( T là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d.
a) Tìm quỹ tích các điểm M thỏa mãn MT=MH.
b) Chứng minh rằng các đường tròn tâm M bán kính MT luôn tiếp xúc với
một đường tròn cố định.