ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ ANH QUỐC

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI
TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Huế, Khóa học: 2013-2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ ANH QUỐC

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI
TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Ngành học: Sư phạm Toán
Cán bộ hướng dẫn: TS. Trương Văn Thương
Huế, Khóa học: 2013-2017


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
đến thầy Trương Văn Thương đã giúp đỡ, hướng dẫn chu đáo để tôi có thể hoàn


1.1

1.2

1.3

Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Hàm đo được, hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1


2.1.2

Sự hội tụ hầu khắp nơi của dãy hàm đo được . . . . . . . . . 21

2.1.3

Sự hội tụ hầu như đều của dãy hàm đo được . . . . . . . . . . 24

2.1.4

Sự hội tụ theo độ đo của dãy hàm đo được . . . . . . . . . . . 25

2.1.5

Sự hội tụ trung bình của dãy hàm khả tích . . . . . . . . . . . 28

Mối liên hệ giữa các sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1

Mối liên hệ giữa sự hội tụ đều và hội tụ hầu khắp nơi . . . . . 31
1


2.2.2

Mối liên hệ giữa sự hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo . 33

2.2.3

Mối liên hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và hội tụ trung bình . . 35

Phần kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53


DANH MỤC KÍ HIỆU
P(X)

Tập tất cả những tập con của X

Rn

Không gian thực n-chiều

R

Không gian R ∪ {+∞, −∞}

F(C)

σ-đại số chứa C

B

σ-đại số Borel



→
−

Hội tụ hầu như đều
Hội tụ theo độ đo
Hội tụ trung bình


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHẦN MỞ ĐẦU
Lịch sử vấn đề
Các hàm số liên tục trên một khoảng có nhiều tính chất tốt, nhưng không đóng
kín đối với một phép toán cơ bản của giải tích là phép toán lấy giới hạn, vì vậy cần
một lớp hàm mới có các tính chất tốt của hàm liên tục và đóng kín đối với phép
toán lấy giới hạn, đó là lớp các hàm đo được. Từ cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX,
các nhà toán học đã xây dựng lớp các hàm đo được và các định lý về sự hội tụ của
các dãy hàm đo được, từ đó xây dựng nên các dãy hàm cơ bản và tiếp cận các khái
niệm mới hàm khả tích Lebesgue, chuyển giới hạn qua dấu tích phân. Sự hội tụ của
các dãy hàm có ý nghĩa quan trọng, đáp ứng yêu cầu phát triển trong các vấn đề
liên quan giải tích lồi, không gian Orlicz và các lĩnh vực: lý thuyết xác suất, cơ học
lượng tử.

Lý do chọn đề tài
Lý thuyết Độ đo và Tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm số
thực và cùng với Giải tích hàm tạo nên kiến thức giải tích hiện đại cơ bản, thông
qua nghiên cứu lĩnh vực này người học có thể tiếp cận các kiến thức cao hơn của


Nhiệm vụ nghiên cứu
Cần trình bày các kiến thức bổ trợ cần thiết về đại số tập hợp, không gian độ đo,
định nghĩa hàm đo được, hàm khả tích Lebesgue và không gian định chuẩn, không
gian Lp .
Hệ thống lại các định nghĩa sự hội tụ của dãy hàm, các dãy cơ bản và thiết lập
mối liên hệ giữa các dạng hội tụ thông qua sơ đồ, tìm hiểu mối liên hệ giữa các dạng
hội tụ và các dãy cơ bản khi xét trên không gian độ đo vô hạn hay hữu hạn với độ
đo đủ. Chọn các ví dụ, phản ví dụ hay bài tập cần thiết để làm rõ các định nghĩa
sự hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ giữa các dạng hội tụ.

Phương pháp nghiên cứu
Trước tiên, khảo sát các tài liệu đã có, các nghiên cứu về chủ đề sự hội tụ của
dãy hàm đã làm được những gì và còn những thiếu sót gì. Sau đó, tìm và chọn lựa
những tài liệu cần thiết, đọc tài liệu và hệ thống lại kiến thức về định nghĩa, các
định lý về sự hội tụ của dãy hàm đo được, dãy hàm khả tích.

5


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Phạm vi của đề tài
Đề tài: "Một số định lý về sự hội tụ của dãy hàm đo được" nghiên cứu
sự hội tụ của dãy hàm đo được, khả tích. Đồng thời, chỉ ra mối liên hệ giữa các sự
hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ này thay đổi như thế nào khi xét trên không gian
độ đo vô hạn hay hữu hạn(hoặc khi bổ sung vào các điều kiện cần thiết). Bên cạnh
đó, tôi đã lập ra lược đồ mối liên hệ giữa các dạng hội tụ kèm theo các ví dụ hay

trên đại số tập hợp, độ đo ngoài và các tính chất quan trọng, cách xây dựng độ đo
Lebesgue. Tiếp theo, đưa ra định nghĩa hàm đo được, hàm khả tích cùng các tính
chất quan trọng và cách kiểm tra tính đo được khả tích của hàm. Phần cuối, trình
bày không gian định chuẩn và không gian Lp .

1.1

Không gian độ đo

1.1.1

Đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1. [1] Cho X là một tập không rỗng.
Xét C ⊂ P(X) là một lớp khác rỗng những tập con của X, lớp C được gọi là một
đại số trên X nếu:
1. A ∪ B ∈ C với mọi A, B ∈ C;
2. Ac = (X \ A) ∈ C với mọi A ∈ C.
Xét C ⊂ P(X) là một lớp khác rỗng những tập con của X, lớp C được gọi là một
σ-đại số trên X nếu:
∞

An ∈ C với mọi dãy (An )n ⊂ C;

1.
n=1

2. Ac = (X \ A) ∈ C với mọi A ∈ C.
7



Không gian độ đo

Định nghĩa 1.4 (Độ đo trên đại số tập hợp). [1] Cho C là một đại số trên X. Một
ánh xạ µ : C → R được gọi là một độ đo nếu thỏa các điều kiện sau:
1. µA ≥ 0 với mọi A ∈ C;
2. µ(∅) = 0;
3. µ là σ-cộng được, tức là với bất kỳ dãy (An )n ⊂ C sao cho các An là rời nhau
∞

∞

An ∈ C thì µ(

đôi một và
n=1

∞

An ) =
n=1

µAn .
n=1

Lưu ý:
1. Độ đo µ xác định trên σ-đại số F được định nghĩa tương tự độ đo trên đại số
tập hợp.
8



n=1

∞

2. Cho (An )n ⊂ C mà An+1 ⊂ An với mỗi n ∈ N và
∞

thì µ

An ∈ C. Nếu µA < +∞
n=1

An = lim µAn .
n

n=1

Định nghĩa 1.6 (Độ đo ngoài). [1] Một ánh xạ µ∗ : P(X) → R được gọi là một độ
đo ngoài nếu thỏa các điều kiện sau:
1. µ∗ (∅) = 0 và µ∗ (A) ≥ 0 với mọi A ∈ P(X);
2. µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) nếu A ⊂ B;
3. µ∗ (

∞

∞

An ) ≤


∞

là rời nhau đôi một và A ∈ C sao cho

∞

An ⊂ A thì
n=1

5. Nếu A1 , A2 , ..., An là n phần tử của C thì µ∗

n

µAn ≤ µA.
n=1

n

Ai ≤
i=1

9

µAn . Nếu (An )n ⊂ C
n=1

i=1

µ∗ Ai .



µ∗ (A) = inf

∞

|∆i | : ∆i là khoảng mở và A ⊂
i=1

∆i

với mỗi A ⊂ R,

i=1

được gọi là độ đo ngoài Lebesgue trên R.
Hàm µ∗ là độ đo ngoài trên R như vậy có thể áp dụng định lý Caratheodory để
xây dựng một độ đo trên R, đó chính là độ đo Lebesgue. Kí hiệu độ đo này là µ.
Một tập A ⊂ R gọi là đo được đối với độ đo Lebesgue nếu
µ∗ E = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ R.
Kí hiệu L là σ-đại số các tập µ∗ -đo được(Lebesgue đo được). Ngoài ra, nếu A ∈ L
thì µA = µ∗ A.

10


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Định lý 1.10. [1] Độ đo Lebesgue là đủ và σ-hữu hạn. Mỗi gian trên R là một tập



HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

3. Tập {x ∈ A : f (x) ≤ a} là đo được với mỗi a ∈ R.
Nhận xét:
Nếu f là đo được thì các tập {a < f < b}, {a ≤ f ≤ b}, {a ≤ f < b},
{a < f ≤ b}, {f = +∞}, {f = −∞} là đo được.
Định lý 1.15. [1] Cho A ∈ F và f : A −→ R.
1. Nếu µA = 0 và độ đo µ là đủ thì f là đo được trên A.
2. Nếu f đo được trên A thì f đo được trên B, B là tập con bất kỳ đo được của A.
3. Nếu f và g là đo được trên A thì các hàm k.f với k ∈ R; f + g; f g và

f
với
g

g = 0 cũng đo được trên A.
4. Giả sử (An )n là một dãy những tập đo được. Nếu hàm f đo được trên mỗi An
An và

thì hàm f đo được trên

An .

n

n

và chỉ nhận một số hữu hạn những giá trị thực.
Định lý 1.17. [1] Cho A ∈ F và f là một hàm đo được trên A. Lúc đó, tồn tại
một dãy (fn )n những hàm đơn giản trên A sao cho f = lim fn .
n

Nếu f ≥ 0 thì ta có thể chọn dãy (fn )n sao cho 0 ≤ fn ≤ fn+1 với mỗi n ∈ N.

1.2.2

Hàm khả tích

Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ∈ F, kí hiệu L+ (A) để chỉ tập các hàm đo
được nhận giá trị không âm trên A.
12


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Định nghĩa 1.18 (Tích phân của hàm đơn giản không âm). Cho f là một hàm đơn
giản, không âm. Giả sử rằng f (A) = {a1 , a2 , ..., am } ⊂ R. Đặt Ai = {x ∈ A : f (x) =
m

ai } với i = 1, 2, ..., m. Lúc đó, các tập Ai này là rời nhau đôi một và A =

Ai .
i=1

m


ej XEj với các tập Ej là đo được, rời nhau đôi một và A =

2. Nếu f =
j=1

Ej
j=1

nhưng các ej không nhất thiết khác nhau đôi một thì ta vẫn có:
k

f dµ =

ej µEj .
j=1

A

Định nghĩa 1.19 (Tích phân hàm đo được không âm). Cho hàm f ∈ L+ (A), ta
định nghĩa:
ϕdµ : 0 ≤ ϕ ≤ f, ϕ là hàm đơn giản

f dµ = sup
A

.

A


A

A

Nhận xét:
f − dµ là

f + dµ và

1. Hàm f khả tích trên A tương đương cả hai tích phân
A

A

hữu hạn, hay f + và f − là khả tích.
2. Do |f | = f + + f − nên f khả tích trên A khi và chỉ khi |f | là khả tích trên A.
13


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Định lý 1.22. [1] Cho f là hàm đo được trên A.
1. Nếu µA = 0 thì

f dµ = 0.
A

2. Nếu µA < +∞ và f là bị chặn thì f khả tích.

A

Định lý 1.24. [1] Cho f và g là hai hàm có tích phân trên A.
1. | f dµ| ≤
A

|f |dµ.
A

2. Nếu f ∼ g thì

gdµ. Đặc biệt, nếu f ∼ 0 thì

f dµ =
A

3. Nếu f ≤ g thì

A

f dµ ≤
A

f dµ = 0.
A

gdµ. Đặc biệt, nếu f ≥ 0 thì
A

f dµ ≥ 0.

A

f dµ +
A

A

A

gdµ.
A

Lưu ý:
Đẳng thức thứ hai trong định lý trên còn đúng cho n hàm f1 , f2 , ..., fn .
Định lý 1.26 (Tính liên tục tuyệt đối). [1] Cho f là hàm khả tích trên A. Lúc đó,
với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho | f dµ| < ε với mọi E ⊂ A mà µE < δ.
E

Bổ đề 1.27 (Bổ đề Fatou). [1] Nếu (fn )n ⊂ L+ (A) thì
lim inf fn dµ ≤ lim inf
n

fn dµ.

n

A

A



Ta có,

(n)
gn

≤

(n+1)
gn+1

gn(n) dµ ≤
A

fn dµ.
A

với mọi n ∈ N.

Cho n → ∞, ta được:
fk ≤ lim gn(n) ≤ f,

gn(n) dµ ≤ lim

fk dµ ≤ lim

n

n



(n)

fn dµ.

n

(n)

Do đó, lim gn = f và lim gn = lim fn dµ. Nhưng, mỗi hàm gn là đơn giản và
n

n A

n A

(n)

0 ≤ gn đơn điệu tăng nên
gn(n) dµ =

lim
n

A

lim gn(n) dµ =

f dµ.


n A

f dµ.
A

Chứng minh.
• Trường hợp (fn )n hội tụ hầu khắp nơi về hàm f trên A.
Vì |fn | ≤ g nên |f | < g hầu khắp A. Do đó, f khả tích trên A.
Ngoài ra, −g ≤ fn ≤ g với mọi n nên
lim inf fn dµ ≤ lim inf
n

n

fn dµ.

n

A

A

A

A

lim sup fn dµ ≥ lim sup

fn dµ và


f dµ ≤ lim inf

fn dµ ≤ lim sup

n

A

A

Như vậy, lim fn dµ =
n A

fn dµ ≤

n

A

f dµ.
A

f dµ.
A

• Trường hợp (fn )n hội tụ theo độ đo về hàm f trên A.
Theo định nghĩa giới hạn, tồn tại dãy con (fnk )k của (fn )n sao cho
lim

fnk dµ = lim sup

A

Lập luận tương tự, lim inf
n

Như vậy, lim fn dµ =

A

fn dµ =
A

fnki dµ =

i

k

A

n A

fnk dµ = lim

fn dµ = lim

n

f dµ.
A

1.3.2

Không gian Lp

Giả sử (X, B, µ) là không gian độ đo, A ∈ B.
Định nghĩa 1.31 (Không gian Lp ). [2] Cho 1 ≤ p < +∞, gọi Lp (A) là tập tất
|f |p dµ < +∞.

cả các hàm đo được trên A sao cho
A
n

Nếu A = R và µ là độ đo Lebesgue thì ta kí hiệu Lp .
Hàm f (x) đo được trên A được gọi là bị chặn cốt yếu nếu tồn tại tập B có độ
đo 0 sao cho f (x) bị chặn trên tập A \ B, tức là tồn tại K > 0 mà
|f (x)| ≤ K với mọi x ∈ A \ B.
Cận dưới đúng của tập hợp tất cả các số K thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là
cận trên đúng cốt yếu của hàm f (x), kí hiệu: ess. sup |f (x)|.
A

Định nghĩa 1.32. [3] Họ tất cả các hàm bị f (x) chặn cốt yếu trên A được gọi là
không gian L∞ (A).

17


Chương 2
Một số định lý về sự hội tụ của
các dãy hàm
Chương này trình bày định nghĩa sự hội tụ đều, hội tụ hầu như đều, hội tụ hầu

hội tụ đến hàm f (x) = 2x trên R.
1 + n 2 x2
Thật vậy, với mọi ε > 0, tồn tại n0 = 1ε + 1 sao cho với mọi n ≥ n0 , ta có:

Chẳng hạn, dãy hàm (fn )n với fn (x) =

|fn (x)−f (x)| =

1
1
2n2 x3
|2x|
|2x|
= ≤
=
−2x =
≤
2
2
2
2
1+n x
1+n x
2|nx|
n
n0

1
1
ε


Ví dụ:
xn
với mọi x ∈ [0; 1].
n
Hàm fn (x) liên tục trên [0; 1] nên fn (x) đo được trên A = [0; 1].
xn
Với mỗi x ∈ [0; 1], lim fn (x) = lim
= 0. Ta có:
n
n n
1. Xét A = [0; 1], cho dãy hàm (fn )n : fn (x) =

xn
xn
1
sup |fn (x) − 0| = sup
= max
= .
x∈A
n
n
x∈A
x∈A n
Suy ra, lim sup |fn (x) − f (x)| = lim
n

x∈A

n

π( x2 + n2 + n)
= 2 sin
. cos
2
2
πx2
πx2
√
≤ 2 sin
≤ 2. √
2( x2 + n2 + n)
2( x2 + n2 + n)
2
2
πx
πx
≤

n0 và x =
|fn (x) − f (x)| = sin π

4n20 + 2n0 +

2n0 +
1
4

ε2
tồn tại n2 ∈ N, với mọi n ∈ N sao cho n ≥ n2 ⇒ |fn (x) − f (x)| < .
2
Đặt: no = max{n1 , n2 }.
Khi đó, với mọi m, n ∈ N sao cho m, n ≥ no , với mọi x ∈ A, ta có:
|fm (x) − fn (x)| ≤ |fm (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)|
0, tồn tại n0 ∈ N sao cho |fm (x) −
fn (x)| < ε với mọi x ∈ A và m, n ≥ n0 .
Giả sử m ≥ n0 và cho n → ∞, ta được |fm (x) − f (x)| < ε với mọi x ∈ A, tức là
fn ⇒ f trên A.
Định lý 2.4. Cho (fn )n là một dãy những hàm khả tích A với µA < +∞. Giả sử


n

A

fn dµ −

Suy ra, lim
A

f dµ

|fn − f |dµ ≤ ε, ∀n ≥ n0 .
A

= 0.

A

Như vậy, lim fn dµ =
n A

2.1.2

(fn − f )dµ ≤

f dµ =

f dµ.
A

2. Cho dãy hàm (fn )n xác định trên A = [0; 1] như sau:


n nếu x ∈ [0; 1 ],
n
fn (x) =
1

0 nếu x ∈ ( ; 1].
n
Với mỗi x ∈ (0; 1], với ε > 0 tùy ý, tồn tại n0 =
1
=
n0

1
x

1
x

sao cho:

1
1


22