TOÁN HỌC VÀ THẾ GIỚI QUANH TA
Bài toán 1: Đề thì giải tích 2006:
Cho tập
*
1
|
n
n
n
 
Α = ∈Ν
 
 
.Tìm tập điểm tụ của A
Giải :
Có nhiều định nghĩa cho điểm tụ , ta sẽ chọn lựa điều nào trong đó ?
Qua một bài toán khởi đầu và vài bài toán khác :
1/Tìm tập điểm tụ của :
1 1 1
A= 1, , ,..., ,....
2 3 n
 
 
 
( thầy Đạt )
2/ Tập hợp bài toán cùng yêu cầu của một bạn TT1
a)
*
( 1)
A= |
n

ε ε ε
⇔ ∀ > − + ≠U
(*)
Việc tìm điểm tụ , bao gồm các thao tác sau:
1/ Cm một giá trị nào đó là điểm tụ : ( Vấn đề này ta chứng minh theo con
đường : a là điểm tụ khi và chỉ khi:
0 : : 0 | |y A y a
ε ε
∀ > ∃ ∈ < − <
)
2/CM một điểm không là điểm tụ , ta chọn theo ý (*), tức là
( ) { }
0, , \θa a A a
ε ε ε
∃ > − + =U
( quá trình này là quá trình chọn lựa , việc làm này , liên hệ với thủ thuật ,
dùng ngôn ngữ
,
ε δ
trong các bài toán giới hạn )
TH1:a<0. Khi đó ta chọn :
0 a
ε
< < −
. Khi đó :
( )
sup , 0a a
ε ε
− + ≤
Suy ra

≤
0 0
1 1
0 : : ,0 | |
n m
N n m N
n m
ε ε
∀ > ∃ ∀ > > < − <
( định lí cauchy , do dãy
hội tụ )
Điều này có tác dụng gì ?
Nếu a là điểm tụ thì : với
0 : : 0 | |y A y a
ε ε
∀ > ∃ ∈ < − <
.
Hay:
{ }
1
0 : \ 0,1 : 0 | |
m
m N a
m
ε ε
∀ > ∃ ∈ < − <
(1)
(1)
1
m

<
, với m là giá trị khởi tạo! Khi ấy :ta chọn :
2 2
1
: 0
m
a
m
ε ε
< < −
Ta có thề xây dựng :
2
1
0
2
m
a
m
ε
−
< =
, khi đó :
2
1
,
k
y k m
k
= ≥
( giá trị k ờ đây có

1
a a
y
ε ε
− < < +
Chọn:
1 1
0 a y
a a
ε
ε ε
< < ⇒ < <
+ −
2 2 2
2 2
2 1 1
1 2 0 1 1a a
a a a
ε
ε ε ε
ε ε ε
− = − < ⇔ + < ⇔ < < + −
− − +
___+++++____
Nếu a>0 thì luôn tồn tại m sao cho :

2
1
0
1