Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Chương trình Toán lớp 10 và 11 chuyên
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:Từ 9 - 2015 đến 5 - 2016
4. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Giang
Năm sinh: 1986
Nơi thường trú: 19/36 xóm 1, Mỹ Trọng, Mỹ Xá, Nam Định
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định
Điện thoại: 0976138529
5. Đồng tác giả (nếu có): không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị:Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định
Điện thoại: 0350640297

1 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

2016


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

I.

2016


Chứng minh rằng vớ mọi n thì 1997.an2 + 4.7 n +1 là số chính phương.
Đề thi TST năm 2011. Cho dãy số nguyên dương ( an ) xác định bởi:
a0 = 1, a1 = 3 và an + 2

 an2+1 
= 1+ 
 với mọi n ≥ 0 .
 an 

2 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Chứng minh rằng an + 2 an − an2+1 = 2n với mọi số tự nhiên n .
Trong đó [ x ] kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá x .
Đề thi VMO năm 1989. Xét dãy số Fibonacci xác định bởi
a1 = a2 = 1, an + 2 = an +1 + an với mọi n ≥ 1.

Đặt f ( n ) = 1985n 2 + 1956n + 1960.

1. Chứng minh rằng có vô hạn số hạng F của dãy sao cho

f ( F)

chia hết cho 1989.

2. Chứng minh rằng không tồn tại một số hạng G của dãy sao cho f(G)+2 chia hết cho

một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai và nó đã giải quyết được rất nhiều bài
toán hay và khó. Nội dung tiếp theo, tác giả nghiên cứu về một dãy truy hồi tuyến tính
cấp hai đặc biệt và nó có rất nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong thực tiễn, đó
là dãy Fibonacci.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm hai phần
Phần thứ nhất: Kiến thức cơ bản
I.1.

Số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

I.2.

Một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

I.3.

Dãy Fibonacci

Phần thứ hai: Một số phương pháp giải các bài toán về tính chất số học dãy truy hồi
tuyến tính cấp hai
2.1.
2.1.
2.3.

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
Sử dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Một số tính chất số học của dãy Fibonacci

NỘI DUNG

.
2
Bước 2: Đặt r = | z | là module của z, còn ϕ = Argz , ta nhận được
un = r n ( p cos nϕ − q sin nϕ ) với mọi p, q là các số thực.
Bước 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước u0 ; u1 .
Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số
tuyến tính. Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến
thức trung học phổ thông.
Trường hợp 1: ∆ > 0 (**) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 khi đó theo định lí Vi-et
t1 + t2 = a
ta có: 
. Khi đó
t1t2 = −b
un +1 = (t1 + t2 )un − t1t 2un −1
⇔ un +1 − t1un = t2 (un − t1un −1 ) = t2 2 (un −1 − t1un − 2 ) = ... = t2 n (u1 − t1u0 ) .
Như vậy

un +1 − t1un = t2 n (u1 − t1u0 ) (1);

Tương tự un +1 − t2un = t1n (u1 − t2u0 ) (2). Trừ từng vế (2) cho (1) ta có:
(t1 − t2 )un = (u1 − t2u0 )t1n − (u1 − t1u0 )t2 n . Do t1 ≠ t 2 nên

5 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
un =



…………………………….
u1 − tu0 = u1 − tu0

(n+3).

Nhân hai vế của (4) với t, hai vế của (5) với t 2 , …, hai vế của (n+3) với t n và
cộng lại ta được: un +1 = t n +1.u0 + n.t n .(u1 − tu0 ) . Do đó un có dạng xt n + yn.t n −1 với x, y
là hai số thực.
1.2.

Một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Tính chất 1: Cho dãy số (un ) thỏa mãn un + 2 = aun +1 + bun với mọi n ∈ ¥ * . Khi đó ta

(

)

2
n −1
2
*
có hằng đẳng thức sau un + 2 .un − un +1 = (−b) . u3u1 − u2 , ∀n ∈ N (1)

(

)

2


q+m
.
p

Chứng minh: Từ giả thiết ta suy ra c = un + 2 .un − un2+1
Thay n bởi n − 1 ta được c = un +1.un −1 − un2
Suy ra un + 2 .un − un2+1 = un +1.un −1 − un2
Hay un ( un + 2 + un ) = un +1 ( un +1 + un −1 )
Hay

un + 2 + un un +1 + un −1
=
un +1
un

Thay n lần lượt bởi n − 1, n − 2,..., 2 ta được
un + 2 + un un +1 + un −1
u +u
q+m
=
= ... = 3 1 =
=a
un +1
un
u2
p
Suy ra un + 2 = a.un +1 − un .
Tính chất 3: Cho dãy số (un ) thỏa u1 = m, u2 = p, un + 2 = aun +1 − un , ∀n ∈ ¥ *.
Ta có un + 2 .un − un2+1 = u3.u1 − u22 = c


)

2
2
Nếu un ∈ ¢ , ∀n và a ∈ ¢ thì ∆ = a − 4 un +1 − 4c là số chính phương.

Tính

chất

4:

Mọi

(

)

dãy

số

(un )

thỏa

mãn:

u1 = m ,


X 2 − a.un +1 X + un2+1 − c = 0

Suy ra un + 2 + un = a.un +1
Chú ý:
Xét dãy số (un ) thỏa mãn un + 2 = a.un +1 − un và c = u1u3 − u22 . Ta có un + 2un − un2+1 = c .
Xét tiếp dãy số ( vn ) sao cho vn = un2 , ∀n
Ta sẽ có

8 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

vn + 2 = un2+ 2 = a 2un2+1 − 2a.un +1.un + un2
= a 2un2+1 − 2un ( a.un +1 − un ) − un2
= a 2un2+1 − un2 − 2unun + 2

( )
(
= ( a 2 − 2 ) vn +1 − vn − 2c

)

= a 2 − 2 un2+1 − 2 unun + 2 − un2+1 − un2

(


÷ (Công thức Binet)
5  2   2  



Từ sau, để thuận tiện cho việc tính toán, ta quy ước F0 = 0 .
1.3.2. Một vài hệ thức cơ bản của dãy Fibonacci:
1. F1 + F2 + ... + Fn = Fn + 2 − 1
2. F1 + F3 + ... + F2 n −1 = F2 n
9 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
3. F2 + F4 + ... + F2 n = F2 n +1 − 1
4. Fn −1.Fn +1 − Fn2 = (−1) n
5. F12 + F22 + ... + Fn2 = Fn .Fn +1
5. F0 − F1 + F2 − F3 ... − F2 n −1 + F2 n = F2 n −1 − 1
6. Fn2+1 − Fn2 = Fn −1.Fn + 2 .
7. F1F2 + F2 F3 + ... + F2 n −1F2 n = F22n
8. Fn +1.Fn + 2 − Fn .Fn + 3 = (−1) n
9. Fn4 − 1 = Fn − 2 Fn −1Fn +1Fn + 2
10. Fn + m = Fn −1Fm + Fn Fm +1

2. Một số phương pháp giải các bài toán về tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính
cấp hai
2.1. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
Bài toán 1. Cho dãy
mọi


. Đầu tiên ta

với mọi

Do đó ta có hệ sau:

⇔

⇔

Từ đó ta có hướng giải như sau: Ta lập dãy
và

.

được xác định như sau:

với mọi

Sau đó ta sẽ chứng minh

với mọi
Cách 1. Từ dãy truy hồi của

và

ta được:

. Khi đó ta


Bài toán 2. Cho dãy số ( an ) , ( n = 1, 2,...) được xác định như sau:
a0 = 1, a1 = 2,

an + 2 = 4an +1 − an , ∀n ∈ ¥ .
Tìm n để an − 1 là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của dãy
an =

(

1
2+ 3
2 

) + ( 2 − 3)
n

(

ta tìm được công thức tổng quát:

n

 .

1
Nên suy ra an − 1 =  2 + 3
2

n

3 +1 −

3 −1

n

.



n

Ta xét các trường hợp sau
Nếu n = 0 thì A = 0 ∈ ¥ .
12 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

là số tự nhiên.


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Nếu n = 1 thì A = 1 ∈ ¥ .
Nếu n > 1 và n = 2k , k ∈ ¥ * thì ta xét dãy ( bk ) với

( 2 + 3) − ( 2 − 3)
=
k

( 2)
n

3 +1 −

2k
2k

 3 −1  
3 + 1  3 + 1 
3 +1 
=

÷ −
÷ =
 2 + 3
2  2 

2
2

 


(

3 +1 
2+ 3
2 


Chứng minh rằng x1996 chia hết cho 1997.
13 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

 .


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Hướng dẫn giải
Xét dãy ( yn ) , ( n = 1, 2,3...) được xác định như sau:
 y1 = 7, y2 = 50,

 yn +1 = 4 yn + 5 yn −1 + 22, ∀n ≥ 2.

Dễ thấy yn ≡ xn ( mod1997 ) . Do đó chỉ cần chứng minh y1996 ≡ 0 ( mod1997 )
Ta có 4 yn +1 + 11 = 4 ( 4 yn + 11) + 5 ( 4 yn −1 + 11) .
Đặt zn = 4 yn + 11 ta được zn +1 = 4 zn + 5 zn −1 với z1 = 39, z2 = 211. Dùng phương
trình đặc trưng của dãy truy hồi cấp 2 ta được
8 × ( −1) + 25 × 5n
8 + 25 × 51996
zn =
⇒ z1996 =
.
3
3
Theo định lí nhỏ Fermat 51996 ≡ 1( mod1997 ) .
Vậy
n

vậy

ta

xây dựng dãy

( bn )

được

xác định

như sau:

b0 = 1, b1 = −1

và

bn + 2 = 6bn +1 + 2016bn với mọi n ≥ 0 .
Phương

trình

đặc

trưng

x 2 − 6 x − 2016 = 0 ⇔ x = 48; x = −42 ,

khi

ta được:

(2)
+) Đặt

ta được:

15 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Chú ý:

, trong đó:
(3)

Và

(4)

Dễ dàng chứng minh được:

(5)

Ta có
với mọi



Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
a0 = 1, a1 = −1 và an + 2 = 6an +1 + 5an với mọi n ≥ 0 .
Chứng minh rằng a2011 − 2010 chia hết cho 2011 .
Nhận xét 2. Nếu trong (1) thay n bởi số nguyên tố p > 5 ta được:

90b p = 41.48 p + 49. ( −42 ) ≡ 41.48 − 49.42 ( mod p ) ≡ −90 ( mod p ) ⇒ b p + 1Mp . Từ đó ta
p

có bài toán sau:
Bài 4.2 Cho dãy số nguyên ( an ) xác định bởi:
a0 = 1, a1 = −1 và an + 2 = 6an +1 + 2016an với mọi n ≥ 0 .
Chứng minh a p + 1 chia hết cho p , trong đó p là một số nguyên tố lớn hơn 5.
Nhận xét 3. Nếu trong (1) thay n bởi số p + 1 , trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 5 ta
được:
90b p +1 = 41.48 p +1 + 49. ( −42 )

(

p +1

)

≡ 41.482 + 49.422 ( mod p ) ≡ 180900 ( mod p )

⇒ 90 b p +1 − 2010 Mp ⇒ b p +1 − 2010Mp
Bài 4.3 Cho dãy số nguyên ( an ) xác định bởi:
a0 = 1, a1 = −1 và an + 2 = 6an +1 + 2016an với mọi n ≥ 0 .
Chứng minh rằng a p +1 − 2010 chia hết cho p ,trong đó p là một số nguyên tố lớn hơn 5.
Bây giờ ta tiếp tục suy nghĩ bài toán 4 xem nó phục thuộc vào giá trị ban đầu


b0 = 1, b1 = −1

và

bn + 2 = 6bn +1 + 2016bn với mọi n ≥ 0 .
Phương

trình

đặc

trưng

x 2 − 6 x − 2016 = 0 ⇔ x = 48; x = −42 ,

khi

đó

n
bn = c1 48n + c2 ( −42 ) và kết hợp với b0 = a, b1 = b suy ra

bn =

42a + b n 48a − b
48 +
( −42 ) n ⇔ 90bn = ( 42a + b ) .48n + ( 48a − b ) .( −42 ) n
90
90


Tìm tất cả các số nguyên

được xác định như sau:

với mọi số tự nhiên .
sao cho

chia hết cho

Xét dãy số nguyên ( bn ) xác định bởi
b0 = 1, b1 = −1, bn = 6bn −1 + 2016bn − 2 với mọi n ≥ 2.
18 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

.


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Dễ thấy với mọi n ≥ 0 , ta có an ≡ bn ( mod 2011) .
Dễ dàng suy ra số hạng tổng quát của dãy ( bn ) là
49. ( −42 ) + 41.48n
bn =
, ∀n ≥ 0.
90
Vì 2011 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có
n


2
5 


 ÷


n +1
n +1

1− 5  
1  5 +1
⇒ un =

÷ −
÷ ÷− 1
2
5  2 

 ÷



(

)

⇒ u p + 1 .2 p =
=


2016

p
p
p
1 p k
1
k
k
k
p−k
k
k
= ( ∑ C p ( 5) − ∑ C p ( 5) ( −1)
)+
( ∑ C p ( 5) − ∑ C kp ( 5) k ( −1) p − k )
2 k =0
2 5 k =0
k =0
k =0
p −1
2

( u p + 1) .2 p = 12 ( ∑ C 2pk 2(

5) 2 k +

k =0

( u p + 1) .2

p−1
5 2

Nếu

+1 ≡ 0

( ∑ C 2pk +1 2( 5) 2 k +1
k =0

C kp =

+ C 2pk +1 )5k ;

p −1
p
+ C p .5 2

p −1
2

p!
≡ 0 (mod p)∀1 ≤ k ≤ p − 1
( p − k )!k !

+ 1 (mod p) (2)

p −1
2


(mod p)

)

p
Từ (2): 2 . u p + 1 ≡ 2 (mod p) ; (2,P)=1 ⇒ 2 p = 2(mod p) ⇒ 2 p.u p ≡ 0(mod p) ,

(2,p)=1 ⇒ u p ≡ 0(mod p ) ⇒ u p (u p + 1)Mp (Đpcm).
Bài toán 6. (TST 2012). Cho dãy số nguyên dương ( xn ) xác định bởi
 x1 = 1, x2 = 2011

 xn + 2 = 4022 xn +1 − xn , n ∈ N *.
Chứng minh rằng

x2012 + 1
là số chính phương.
2012

Bài toán tổng quát: Cho p là số nguyên dương lẻ lớn hơn 1. Xét dãy số nguyên dương
( xn ) xác định bởi

20 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

 x1 = 1, x2 = p


p 2 − 1, t2 = p − p 2 − 1.

t1n −1 + t2n −1
.
2

2

.

Ta có t1 + t2 = 2 p, t1.t2 = 1 ⇒ t1 + t2 = t1 + t2 + 2 t1t2 = 2 ( p + 1) .
Lại có Sn = t1n + t2n ∈ ¥ , ∀n ≥ 1 vì S1, S 2 ∈ ¥ và Sn + 2 = 2 pSn +1 − S n .
t1 = a, t2 = b ⇒ a + b = 2 ( p + 1) , ab = 1 và t1p / 2 + t2p / 2 = a p + b p .

Đặt

p/2
p/2
Ta chứng minh t1 + t2 = N 2 ( p + 1) , ( N ∈ ¥ *) bằng phương pháp quy nạp theo p.

Ta có a + b = ( a + b )
p

p

p −1

∑ ( −1)

i i p −1−i



Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
2.2. Sử dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Việc tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai tương đối đơn giản.
Tuy nhiên cái khó của bài toán là ở phần tính chất số học của nó. Trong quá trính nghiên
cứu cũng như tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia, tôi nhận thấy rằng việc sử
dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đã xử lí được rất nhiều bài toán hay
và khó về tính chất số học của dãy số mà lời giải của bài toán lại rất ngắn gọn và dễ hiểu.
Từ các tính chất này các em học sinh có thể sáng tác ra rất nhiều bài toán khác nhau, từ
đó tạo cho các em có hứng thú và say mê trong học tập. Sau đây là một số bài toán sử
dụng các tính chất này.
Bài toán 1. Cho dãy số (an ) được xác định như sau:
a0 = 1, a1 = 1

an +1 = 14an − an −1, ∀n ≥ 1.
Chứng minh rằng mọi n ≥ 0 thì 2an − 1 là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Cách 1 : áp dụng tính chất 1
Ta có 2a1 − 1 = 1, 2a2 − 1 = 52 , 2a3 − 1 = 19 2 , 2a4 − 1 = 712.
u1 = 1, u2 = 5

Kết quả trên gợi ý ta đi xét dãy (un ) : 
un + 2 = xun +1 + yun , ∀n ≥ 2
 5 x + y = 19
Với u3 = 19, u4 = 71 ⇒ 

(

)

= 2an +1 − 1 + 2 un2 − 4unun −1 + un2−1 − 6 .
Tiếp theo, ta chứng minh : un2 − 4unun −1 + un2−1 − 6 = 0 ( 2 )
Thật vậy :
un2 − 4unun −1 + un2−1 − 6 = 0 ⇔ un2 − un −1 (4un − un −1 ) − 6 = 0 ⇔ un2 − un −1un +1 − 6 = 0 ( 3 )
(3) đúng theo tính chất 1. Từ đó ta có đpcm.
Cách 2 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số
x = 7 − 4 3
2
x
−
14
x
+
1
=
0
⇔
Xét phương trình đặc trưng :

 x = 7 + 4 3

(

Suy ra an = x 7 + 4 3

)


2 n −1

.

4


Do đó 2an − 1 = 

Đặt vn =

)

2 n −1


2− 3
x =

4
⇔
y = 2 + 3

4

)

3 +1


2 n −1  2

 , n ≥ 0.



, ta chứng minh với mọi n ≥ 1 thì vn M2n.

23 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Từ công thức tổng quát của vn ta có được hệ thức truy hồi : vn = 2 ( vn −1 + vn − 2 ) .
Bằng quy nạp và dựa vào hệ thức truy hồi ta chứng minh được với mọi n ≥ 1 thì vn M2n.
Do đó : 2an − 1 là số chính phương với mọi n ≥ 0.
Cách 3 : Áp dụng tính chất 3.
Ta có an2 − 14an an −1 + an2−1 + 12 = 0. (4)
Thay n bởi n + 1 ta có : an2+1 − 14an +1an + an2 + 12 = 0. (5)
Từ (4) và (5), ta có an +1, an −1 là nghiệm của phương trình : t 2 − 14ant + an2 + 12 = 0.

(

)

2
Suy ra ∆ ' = 12 4an − 1 là số chính phương nên tồn tại m ∈ ¥ sao cho




Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Giả sử:
an > an −1 > 0
an +1 = 3an − an −1
an +1 − an = 2.an − an −1 > 0
Vậy (an ) tăng và an > 0, ∀n. Lại có c = a1.a3 − a22 = 5.4 = 1 .
Nên an + 2 =

an2+1 + 1
(theo tính chất 3).
an

Suy ra an + 2 + an =

an2+1 + 1
a2
a2
1
+ an = n +1 +
+ an ≥ 2 + n +1 .
an
an
an
an

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 3. Cho dãy số (un ) thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:
1. un ≠ 0, ∀n = 1, 2...