Header Page 1 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
.................................................

Đỗ Thị Hiền

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ

Hà Nội - 2016

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
.................................................

Đỗ Thị Hiền - C00230

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Dấu các hàm số lượng giác  ............................................................   08 

1.1.4

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt  .....................................   09 

1.2

Công thức lượng giác .....................................................................   09 

1.2.1   Các hệ thức cơ bản   .......................................................................   09 
1.2.2   Tính chất các cung có liên quan đặc biệt   .......................................   10 
1.2.3   Công thức lượng giác   ...................................................................   10 
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  ..................................   13 
2.1  

Phương trình lượng giác cơ bản   ....................................................   13 

2.1.1    Phương trình  sin x  m  ...................................................................   13 
2.1.2    Phương trình  cos x  m ...................................................................   15 
2.1.3    Phương trình  tan x  m ...................................................................   17 
2.1.4    Phương trình  cot x  m ...................................................................   18 
2.2     Một số dạng phương trình lượng giác  ............................................   20 
2.2.1    Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản  .................................   20 
2.2.2    Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu  ........................................   36 
2.2.3    Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối  ........................   41 
2.2.4    Phương trình lượng giác chứa căn  .................................................   47 
2.2.5    Phương trình lượng giác chứa tham số  ..........................................   52 
KẾT LUẬN ...............................................................................................   78 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................   79 

trình độ chuyên môn của bản thân và góp phần nhỏ vào sự nghiệp giáo dục, 
luận  văn  “Một số dạng phương trình lượng giác và cách giải”  nhằm  hệ 
thống lại kiến thức cơ bản của  phương trình lượng giác, kết hợp với kiến thức 
đại số để chọn lọc và phân loại một số cách giải phương trình lượng giác. Với 
đề tài này tôi mong sẽ giúp cho các học sinh phổ thông có một tài liệu tham 
khảo về chủ đề giải phương trình lượng giác. Luận văn ngoài lời nói đầu, kết 
luận và tài liệu tham khảo gồm chương. 
 

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 
Trình  bày  lại  định  nghĩa  các  hàm  số  lượng  giác,  đồ  thị  các  hàm  số 

lượng giác và một số công thức lượng giác cơ bản. 
 

Chương 2: Phương trình lượng giác
Page 2

Footer Page 4 of 126.

Thang Long University Library


Header Page 5 of 126.

Trình bày các phương trình lượng giác cơ bản: sin x  m,cos x  m,
tan x  m,cot x  m , và một số dạng phương trình lượng giác đưa về dạng cơ

bản, trong đó có phương trình bậc nhất đối với sin và cos, phương trình bậc
hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin


1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1.1.1 Định nghĩa các hàm số lượng giác

 
Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy,  đường  tròn  lượng  giác  gốc  A  là  đường 
tròn  định  hướng  có  bán  kính  R  =  1.  Điểm  M  nằm  trên  đường  tròn  sao  cho 
cung  
AM    khi đó: 
Tung độ  y  OQ   của điểm M  gọi  là sin của α, hoành độ x  OP của

điểm M gọi là côsin của α và được ký hiệu như sau:

Page 4

Footer Page 6 of 126.

Thang Long University Library


Header Page 7 of 126.

sin   OQ.
cos   OP.
sin  OQ

 AR  P  O  .  
cos  OP
cos  OP
cot  

Header Page 8 of 126.

 Hàm số  y  cos x  là hàm số chẵn vì  cos   x   cos x .
Tập xác định:  D   . 
Tập giá trị:   1;1 . 
 Hàm số  y  cos x  tuần hoàn với chu kỳ  2  nên ta có: 
cos  x  k 2   cos x, k  .  

Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  cos x  trên 
   ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên   0;  , sau đó lấy đối xứng đồ 

thị  qua trục Oy,  ta được đồ thị trên đoạn    ;  , cuối cùng  tịnh tiến  đồ thị 
vừa  thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài
2 ,4 ,...  

 
Đồ thị hàm số y  cos x

c. Hàm số y  tan x
 Hàm số  y  tan x  là hàm số lẻ vì  tan   x    tan x .



Tập xác định:  D   \   k , k    . 
2

Tập giá trị:   . 
 Hàm số  y  tan x  tuần hoàn với chu kỳ    nên ta có: 
tan  x  k   tan x, k  . 


k   làm một đường tiệm cận. 
d. Hàm số y  cot x
 Hàm số  y  cot x  là hàm số lẻ vì  cot   x    cot x . 

Page 7

Footer Page 9 of 126.


2

 k ,


Header Page 10 of 126.

Tập xác định:  D   \ k , k  .  
Tập giá trị:    
 Hàm số  y  cot x  tuần hoàn với chu kỳ    nên ta có: 
 

cot  x  k   cot x, k  .  
 
 
Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  cot x  trên    

 
ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên  0;  , sau đố lấy đối xứng đồ thị 
 2



(III)

(IV)

+ 

+ 

– 

– 

+ 

– 

– 

+ 

+ 

– 

+ 

– 

+ 

0  

30  

45  

60  

90  

180  

0 

1
 
2

√2
 
2

√3
 
2

1 

0 



0 

|| 

1 

0 

|| 

1.2

6

√3

1
√3

 

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1.2.1 Các hệ thức cơ bản
 ) cos 2 x  sin 2 x  1;
k 

 ) tan x.cot x  1,  x 
;


 ) cot   x    cot x.

b. Cung bù
 ) sin   x   sin x;

 ) tan(   )   tan  ;

 ) cos   x    cos x;

 ) cot(   )   cot  .

c. Cung sai kém π

 ) sin    x    sin x;

 ) cos   x    cos x;

 ) tan   x   tan x;

 ) cot   x   cot x.

d. Cung phụ



 ) sin   x   cos x;
2



 ) tan  a  b  

tan a  tan b
,
1  tan a tan b




 a , b   k  .
2



b. Công thức nhân đôi

Page 10

Footer Page 12 of 126.

Thang Long University Library


Header Page 13 of 126.

 ) sin 2a  2sin a cos a;
 ) cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2cos 2 a  1  1  2sin 2 a;
 ) tan 2a 

2tan a 

, a  
 ) tan 3a 
2
1  3tan a 
6
3


.


Từ đó ta có các công thức hạ bậc

1
1  cos 2a  ;
2
1
 ) cos 2 a  1  cos 2a  ;
2
1  cos 2a
 ) tan 2 a 
;
1  cos 2a
1  cos 2 a
;
 ) cot 2 a 
1  cos 2a

1
 3sina  sin 3a  ;


a
2

 

2t
;
1 t2
1 t2
.
 ) cos a 
1 t2
 ) tan a 

 

c. Công thức biến đổi

Page 11

Footer Page 13 of 126.


Header Page 14 of 126.

 Biến đổi tổng thành tích

ab
ab

) cot a  cot b 
.
sin a sin b
) cos a  cos b  2cos

 
 Biến đổi tích thành tổng 

1
 ) cos a cos b  cos  a  b   cos  a  b   ;
2
1
 ) sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b   ;
2
1
 ) sinacosb  sin  a  b   sin  a  b   .
2

Page 12

Footer Page 14 of 126.

Thang Long University Library


Header Page 15 of 126.

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2.1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN


2

 sin x  1  x  

 k 2 , k  .  


2

II. Bài tập minh họa

Page 13

Footer Page 15 of 126.

 k 2 , k  .


Header Page 16 of 126.

Bài tập 1. Giải các phương trình sau:  
 

a) sin x 

2
;
2


 x    k 2
sin x  sin   
, k  .





2

x
k

 
 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài tập 2. Giải các phương trình sau: 
 

b)sin(3 x  500 )  cos( x  600 )  0.  

a )sin(5 x   )  sin x  0;

Giải

a ) sin(5 x   )  sinx  0  sin x   sin(5 x   )
 sin x  sin(  5 x)
 x    5 x  k 2
, k  .


, k  .
0
0
0
0
3 x  50  180  x  150  k 360
 
 
0
0
 x  50  k180

, k  .
0
0

95

90
x
k
     
Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 
2.1.2 Phương trình cos x  m  
I. Phương pháp
 Nếu  m  1  hoặc  m  1  thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu  1  m  1 . 
+)  Khi  m  được  biểu  diễn  qua  cos  của  góc  đặc  biệt  ,  khi  đó  phương 
trình có dạng: 


Ngoài ra ta có thể viết như sau:  
 

 

 

 x  arccos m  k 2
 x   arccos m  k 2 , k  .  


Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm. 
Các phương trình đặc biệt  

Page 15

Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.

 

 



 k , k  .
2

x



3

24
2
a ) cos 4 x 
 cos 4 x  cos  
2
6
 x     k

24 2

, k  .  

Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 

b) cos3 x  sin 2 x  0  cos3 x  sin 2 x


 cos3 x  cos   2 x 
2




 2 x  k 2

                       
Biến đổi phương trình về dạng: 

Giải

 

Page 16

Footer Page 18 of 126.

Thang Long University Library


Header Page 19 of 126.

cos5x  sin  2  x 


 cos5 x  cos   x  2 
2




5 x  2  x  2  k 2
, k  .


5 x    x  2  k 2

m  tan   ta được: 

tan x  tan   x    k , k .  
Ngoài ra ta có thể viết   x  arctan m  k , k .  
Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. 
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải phương trình: 

tan  x  500   3.  
Giải
Page 17

Footer Page 19 of 126.


Header Page 20 of 126.

tan  x  500   3  tan  x  500   tan 600
 x  500  600  k1800 , k  
 x  1100  k1800 , k  .
Vậy phương trình có một họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  

tan 2 x  tan

2
 0.  
7

Giải


cot x  cot   x    k , k  . 
 Nếu  m  không  biểu  diễn  được  qua  cot  của  góc  đặc  biệt     khi  đó  đặt 
m  cot   ta được 

cot x  cot   x    k , k .  
Ngoài ra ta có thể viết   x  arc cot m  k , k .  
Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Như 
vậy tức là với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. 

Page 18

Footer Page 20 of 126.

Thang Long University Library


Header Page 21 of 126.

II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải các phương trình: 
a) cot  3 x  2   1;

b) sin 3 x  3 cos3 x  0.  

Giải

a ) cot  3 x  2   1  cot  3 x  2   cot
 3x  2 
x





 

3

k
, k .
3

Vậy phương trình có một họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  

x 
x 

 cot  1  cot  1  0.  
3 
5 

Giải
Điều kiện  sin

x
x
 0,sin  0 . Khi đó ta có: 
3
5



Header Page 22 of 126.

x 
 3  4  k
, k 

 x     k
 5
4
3

x

 k 3

4
, k  .  

5

x  
 k 5

4
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã 
cho có hai họ nghiệm. 
2.2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2.2.1 Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản 



cos  2 x    1


2

 cos 2  x   
4
2

 
Page 20

Footer Page 22 of 126.

Thang Long University Library


Header Page 23 of 126.

2

  1 
  1
2

 cos  x    cos  2 x    1  1  sin 2 x   
4 4 
2 

3

k


x

 
2

1
2
  x  arcsin  k
, k  .

2
3

 1
2
 x   arcsin  k

2 2
3
2

Vậy phương trình có ba họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  
cos 2 2 x  cos 2 3 x  cos 2 5 x  1.  


 x 

2
cos x  cos5 x

k
x 

3
Vậy phương trình có ba họ nghiệm. 
Bài tập 3. Giải phương trình: 
  

 

 

 

2 tan 2 x  cot x  tan x.  
Giải

cos x  0
k

Điều kiện:  sin x  0  sin 4 x  0  x 
,k 
4
cos 2 x  0


Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình đã cho có một họ 
nghiệm. 
Bài tập 4. Giải phương trình: 

sin 2 x  4cos 2 x  17 sin10 x  
Giải

Page 22

Footer Page 24 of 126.

Thang Long University Library


Header Page 25 of 126.

Chia cả 2 vế của phương trình trên cho  17  ta được:  

1
4
sin 2 x 
cos 2 x  sin10 x  
17
17
2

2

1
 1   4 

x



8 4

 x       k

12 12 6

 

, k  .  

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm. 
Bài tập 5. Giải phương trình:  

3 3sin x  3cos x  5sin 2 x  11cos 2 x  
Giải
Chia cả 2 vế của phương trình trên cho 6 ta được: 
      

3
1
5
11
sin x  cos x  sin 2 x 
cos 2 x  
2
2

 sin 2 x cos   cos 2 x sin 



 sin  x    sin  2 x   
6

Page 23

Footer Page 25 of 126.